球与多面体的内切、外接
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棱 相切，叫棱切
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D A
D1 A1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
B1
设棱长为a
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S 4 R22 =2 a2
定义3：若一个多面体的各顶点都在一
个球的球面上，则称这个多 面
体是这个球的内接多面体，
球。
这个球是这个多面体的外接
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球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
正三棱柱的内切球
如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中 点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底 面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。
设正三棱柱侧棱长为l（即为其高h ) , 底面正边长为a , 正三棱柱内切球半径为 r ,则 :
h l 2r a 2 3 r
6b 3
PO KO
hr r
sP i n O O K PP HD Dhr r6 h 3 b
r 3 bh 6h 3 b
把有关立体几何的计算转化为平面几何(截面图为直角三角形)的计算，
是最基本的策略。
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球与正四面体
两心合一 设正四面体棱长为AB=a，外接圆半径为R，内切圆半径为 r，
OA=OP=R，OH=ห้องสมุดไป่ตู้K=r，
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球与其他特殊的棱锥
方法：
球与其他特殊的棱锥，一定要抓住棱锥的几何 性质，可综合利用截面图、补形法等进行求解， 如四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直 角三角形斜边中点几何性质，巧定球心位置， 在由几何性质找出半径
例：在三棱锥 的中，满足SA垂直面ABC， AB 与BC垂直，取SC的中点为O，
3、找球心及半径（构造直角三角形）
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
实用文档
前言
有关多面体与球的外接、内切 问题，是立体几何的一个重点，同时 也是难点，也是高考考查的一个热 点。研究多面体与球的外接、内切问 题，既要运用多面体的知识，又要运 用球的知识，并且还要特别注意多面 体的有关几何元素与球的半径之间的 关系，而多面体的外接球、内切球半 径的求法在解题中往往会起到至关重 要的作用。
设SC SC为/2a，求其外接球的半径（）
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方法：
球与球
解决本类问题基础的立体图，综合运用截面 图、补形、立体的几何性质等方法，将空间 问题转化平面问题求解
例：在半径为R的球内放入大小相等的4个球， 则小球半径的最大值是（ ）
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球与多面体的内切、外接 心法总则
1、找准切点 2、画出截面图（将空间问题转化平面问题）
O
设棱长为a
C1
A1
B1
C
2R 3a
O
2a
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
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S 4 R32 =3 a2
注意：长方体没有内切球
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步骤： 1、球心的位置：轴截面的方法
2、半径：构造直角三角形，通常是棱 与半径的关系
3、方法：将立体转化为平面，找截面图
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球与其他棱柱切接问题
a2 ( 3 b)2 h 2
D
3
B
h2 ( 3 b)2 h2
6
有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH 中进行。
OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。
RtPHD ∽ RtPKO PD HD
h
PA 2 PH PM , 即 a2 h 2R
或在RtΔAHO中， AH 2 HO2 AO2
,
即 （ 3 b)2 (h R)2 R2 3
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正三棱锥的内切球的球心在它的高上 (与外接球的球心不一定重合）
P
P
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，
A
OK C O
H
D
H
K
高为PH=h，斜高为PD=h ́，内切圆半 径为r，
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球与正三棱锥
正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上
P
P
P
A
O•
CA
HD
A
O•H
C
D
B
B
HC •O B D
M
球心在高PH上， 即在锥体内部
M
球心与底面正Δ中心H重合
度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h， 外接圆半径为R，
M
球心在高PH的延 长线上，即在锥 体外部
a2 ( 3 b)2 h 2 3
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定义1：若一个多面体的各面都与一个球的 球面相切，则称这个多面体是这
个 球的外切多面体，这个球是这个
多 面体的内切球。
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设棱长为a
D
C
A D1
A1
B
中截面
O
C1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
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S 4 R12 = a2
定义2：:一个几何体各个面分别 与另一个几何体各条
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P
A
OK C
H
D
B
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球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是 体现在球为三棱锥的外接球。
方法： 补形法（主线）： 把三棱锥补形为正方体或长方体。常见的两种形式：
1、三条侧棱互相垂直且相等，补形为正方体 2、三条侧棱互相垂直且不相等，补形为长体 例：在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC上侧面SAB，侧棱 SC=2 ， （方则法此：补正成三长棱方体锥）的外接球的半径为（ ）
正三棱柱的外接球
A
MC
球心在上下底面中心连线的中点。
B
O•
设球半径为R，球心到底面ABC的距离 为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三
A1
C1
棱柱高AA1=h，底面边长为a。
B1
在RtAOM中 ， OA R , AM r 3 a ，OM d 1 h ， r2 d2 R2
3
2
ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=R
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D A
D1 A1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
B1
设棱长为a
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S 4 R22 =2 a2
定义3：若一个多面体的各顶点都在一
个球的球面上，则称这个多 面
体是这个球的内接多面体，
球。
这个球是这个多面体的外接
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球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
正三棱柱的内切球
如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中 点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底 面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。
设正三棱柱侧棱长为l（即为其高h ) , 底面正边长为a , 正三棱柱内切球半径为 r ,则 :
h l 2r a 2 3 r
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sP i n O O K PP HD Dhr r6 h 3 b
r 3 bh 6h 3 b
把有关立体几何的计算转化为平面几何(截面图为直角三角形)的计算，
是最基本的策略。
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球与正四面体
两心合一 设正四面体棱长为AB=a，外接圆半径为R，内切圆半径为 r，
OA=OP=R，OH=ห้องสมุดไป่ตู้K=r，
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球与其他特殊的棱锥
方法：
球与其他特殊的棱锥，一定要抓住棱锥的几何 性质，可综合利用截面图、补形法等进行求解， 如四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直 角三角形斜边中点几何性质，巧定球心位置， 在由几何性质找出半径
例：在三棱锥 的中，满足SA垂直面ABC， AB 与BC垂直，取SC的中点为O，
3、找球心及半径（构造直角三角形）
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
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前言
有关多面体与球的外接、内切 问题，是立体几何的一个重点，同时 也是难点，也是高考考查的一个热 点。研究多面体与球的外接、内切问 题，既要运用多面体的知识，又要运 用球的知识，并且还要特别注意多面 体的有关几何元素与球的半径之间的 关系，而多面体的外接球、内切球半 径的求法在解题中往往会起到至关重 要的作用。
设SC SC为/2a，求其外接球的半径（）
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方法：
球与球
解决本类问题基础的立体图，综合运用截面 图、补形、立体的几何性质等方法，将空间 问题转化平面问题求解
例：在半径为R的球内放入大小相等的4个球， 则小球半径的最大值是（ ）
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球与多面体的内切、外接 心法总则
1、找准切点 2、画出截面图（将空间问题转化平面问题）
O
设棱长为a
C1
A1
B1
C
2R 3a
O
2a
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
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S 4 R32 =3 a2
注意：长方体没有内切球
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步骤： 1、球心的位置：轴截面的方法
2、半径：构造直角三角形，通常是棱 与半径的关系
3、方法：将立体转化为平面，找截面图
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球与其他棱柱切接问题
a2 ( 3 b)2 h 2
D
3
B
h2 ( 3 b)2 h2
6
有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH 中进行。
OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。
RtPHD ∽ RtPKO PD HD
h
PA 2 PH PM , 即 a2 h 2R
或在RtΔAHO中， AH 2 HO2 AO2
,
即 （ 3 b)2 (h R)2 R2 3
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正三棱锥的内切球的球心在它的高上 (与外接球的球心不一定重合）
P
P
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，
A
OK C O
H
D
H
K
高为PH=h，斜高为PD=h ́，内切圆半 径为r，
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球与正三棱锥
正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上
P
P
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A
O•
CA
HD
A
O•H
C
D
B
B
HC •O B D
M
球心在高PH上， 即在锥体内部
M
球心与底面正Δ中心H重合
度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h， 外接圆半径为R，
M
球心在高PH的延 长线上，即在锥 体外部
a2 ( 3 b)2 h 2 3
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定义1：若一个多面体的各面都与一个球的 球面相切，则称这个多面体是这
个 球的外切多面体，这个球是这个
多 面体的内切球。
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设棱长为a
D
C
A D1
A1
B
中截面
O
C1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
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S 4 R12 = a2
定义2：:一个几何体各个面分别 与另一个几何体各条
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P
A
OK C
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球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是 体现在球为三棱锥的外接球。
方法： 补形法（主线）： 把三棱锥补形为正方体或长方体。常见的两种形式：
1、三条侧棱互相垂直且相等，补形为正方体 2、三条侧棱互相垂直且不相等，补形为长体 例：在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC上侧面SAB，侧棱 SC=2 ， （方则法此：补正成三长棱方体锥）的外接球的半径为（ ）
正三棱柱的外接球
A
MC
球心在上下底面中心连线的中点。
B
O•
设球半径为R，球心到底面ABC的距离 为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三
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C1
棱柱高AA1=h，底面边长为a。
B1
在RtAOM中 ， OA R , AM r 3 a ，OM d 1 h ， r2 d2 R2
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ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=R