高中数学-公式-概率与统计

概率

一、基本知识

在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；

在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；

在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随即事件。

在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n

m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这是就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A)。

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常试验中的某一事件A 由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是n 1。如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)= n m . 事件A 与B 不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。一般地，如果事件A 1、A 2、……A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1、A 2、……A n 彼此互斥。

事件A 与A 中必有一个发生，这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。 一般地，如果事件A 1、A 2、……A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+……+A n (即A 1、A 2、……A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1+A 2+……+A n )= P(A 1)+ P(A 2)+ ……+ P(A n )。

对立事件的概率的和等于1，即1)()()(=+=+A A P A P A P 。

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)。 一般地，如果事件A 1、A 2、……A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =。

一般地，在n 次独立重复试验中，如果事件A 在其中1次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)

1()(。

二、等可能事件的概率公式：

(1)P(A)＝m n ； (2)互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；

(3)相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；

(4)独立重复试验概率公式Pn(k)=;)1(k n k k n p p C --⋅

(5)如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；

(6)如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P(AB)＝1－P(A)P(B)；

(6)如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P(A B )＝1－P(A )P(B )；

统计

1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：(1)p i ≥0,i=1,2,...; (2) p 1+p 2+ (1)

2.二项分布：记作ξ～B(n,p),其中n,p 为参数，,)(k n k k n q

p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-； 3.

(1)期望值1 1 2 2 n n

(2)方差D ξ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;

(3)标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=；

(4)若ξ～B(n,p),则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p;

4.掌握抽样的三种方法：(1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；(2)系统抽样，也叫等距离抽样；(3)分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；

5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；

6.正态总体的概率密度函数：,,21)(2

2)(R x e x f x ∈=-σμσ

π式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数与标准差； 7.正态曲线的性质：(1)曲线在x ＝μ 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；(2)曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；(3)曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称；

8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布),(2σμN 的概率 P(x 1<ξ

t x =-σμ而得)()(σμ

φ-=x x F ，于是有P(x 1<ξ

φσμ

φ---x x ；

9.假设检验的基本思想：(1)提出统计假设，确定随机变量服从正态分布),(2σμN ；(2)确定一次试验中的取值

a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；(3)作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设；如果a ∉)3,3(σμσμ+-,由于这是小概率事件，就拒绝假设；