2020届江苏省南通市高中名校数学内部资料：数列的结构破解和综合应用学案(无答案)

数列的结构破解及综合应用

1. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －()－1n ，n ∈N *.

(1) 在数列{a n }中，是否存在连续的三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由；(2) 试证明在数列{a n }中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r ，s ，使得a 1，a r ，a s 成等差数列，并求出正整数r ，s 之间的关系；

(3) 在数列{a n }中是否存在某四项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．

1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，n ∈N *.(1) 求证：数列{a n }为等比数列；

(2) 判断数列{3n －a n }中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．

2. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1，n∈N*，数列{b n}满足nb n＋1－(n＋1)b n＝n(n＋1)，n∈N*，且b1＝1.

(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式；

(2) 是否存在正整数m，n，使得b1，a m，b n(n>1)成等差数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由．

1. 若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a n＋1(n∈N*)．

(1) 求数列{a n}的通项公式；

(2) 若正项等比数列{b n}满足b2＝2，2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n；

(3) 对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜1

2n＋1

(T n＋21)恒成立，求实数λ的取值范围．

1. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝()－1n

·n ，若对任意正整数n ，(a n ＋1－p)(a n －p)＜0 恒成立，则实数p 的取值范围是__________．

1. 已知集合A ＝{x|x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，将A ∪B 中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________．

1. 数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －

1，数列{b n }是等差数列，令集合A ＝{a 1，a 2，…，a n ，…}，B ＝{b 1，b 2，…，b n ，…}，n ∈N *.若A ∪B ＝C ，则称A ，B 为集合C 的一个分拆，若A ∪B ＝C 且A ∩B ＝∅，则称A ，B 为集合C 的一个完美分拆．

(1) 若A ，B 是N *的一个分拆，求数列{b n }的通项公式；

(2) 若A ，B 为集合C 的一个完美分拆，将集合C 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c n }，且数列{c n }的前5项成等比数列，c 1＝1，c 9＝8，求数列{b n }的通项公式．

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1. 设正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a n ·a m ，则m ＋n 的值为________．

2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2

，n ∈N *，设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，则数列{b n }的前2n 项和为______________．

3. 已知数列{a n }的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…有a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3a n

＋5，a n 为奇数，a n 2k

， a n 为偶数(其中k 是使a n ＋1为奇数的正整数)，则当a 1＝1时，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 20＝________．

4. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3

，则使得a 2n b n 为整数的正整数n 的个数是________．

5. 若数列⎩

⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋4）⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________．

6. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S 6＝36，且a m ，a m ＋2，a k 成等比数列，则m ＋k 的值为________．

7. 设数列{a n }满足a 1＝38

，且对任意的n ∈N *，都有a n ＋2－a n ≤3n ，a n ＋4－a n ≥10×3n 恒成立，则a 2 017＝________．

8. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1

，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n

－4n)≤3恒成立，则实数x的取值范围是________．

9. 已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2·a3＝15，S4＝16.

(1) 求数列{a n}的通项公式；

(2) 数列{b n}满足b1＝a1，b n＋1－b n＝

1

a n·a n＋1

.

①求数列{b n}的通项公式；

②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

10. 已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n＋1－a n＝2(b n＋1

－b n)恒成立．

(1) 若A n＝n2，b1＝2，求B n；

(2) 若对任意n∈N*，都有a n＝B n及b2

a1a2＋

b3

a2a3＋

b4

a3a4＋…＋

b n＋1

a n a n＋1

<

1

3成立，求正实数b1

的取值范围；