北师大数学必修四新素养同步练习：第三章 23 两角和与差的正切函数 含解析

[A 基础达标]

1．若tan ????

π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－1

2

C.12

D ．2

解析：选B.tan α＝tan ???

?π4－???

?π

4－α ＝1－tan ????π

4－α1＋tan ???

?π4－α＝1－31＋3＝－1

2.

2．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ????α－π

4等于( ) A ．－1

3

B.13 C ．－3

D ．3

解析：选B.a·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2. tan ????α－π4＝tan α－tan

π

41＋tan αtan

π4

＝2－11＋2＝13

. 3．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( ) A.π4 B.3π4 C ．－π4

D ．－3π4

解析：选B.由题意可知，tan α＝12，tan β＝－1

3，

所以0<α<π2，π

2<β<π.所以0<β－α<π，

所以tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝－13－12

1－13×1

2＝－1.

所以β－α＝3π

4

.

4．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝23

3

，则tan A ·tan B ＝( )

A.14

B.13

C.12

D.53

解析：选B.因为C ＝120°，则A ＋B ＝60°， 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B

1－tan A tan B

，

故

233

1－tan A tan B

＝3，所以tan A tan B ＝1

3.

5．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 的形状是 ( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形

D ．无法确定

解析：选A.由题意，知tan A ＋tan B ＝5

3，

tan A ·tan B ＝13，所以tan(A ＋B )＝5

2，

所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－5

2，

所以C 为钝角，故选A.

6．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________．

解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2. 答案：2 7.

tan 20°tan （－50°）－1

tan 20°－tan 50°

＝________．

解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°

＝

1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°）

＝

1

tan 30°

＝ 3.

答案： 3

8．已知tan ????π

4＋α＝2，则1

2sin αcos α＋cos 2α

＝________．

解析：因为tan ????π4＋α＝2，所以1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝1

3，

所以1

2sin α·cos α＋cos 2α

＝sin 2α＋cos 2α

2sin α·cos α＋cos 2α ＝tan 2α＋12tan α＋1＝1

9＋123＋1＝2

3

. 答案：23

9．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝1

5，求tan α·tan β的值．

解：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1

3，①

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1

5，②

由①②整理得?

??

cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，

则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415

＝－1

4

.

10．已知A ＋B ＝45°，求证：(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，并应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)的值． 解：因为tan A ＋tan B

＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )且A ＋B ＝45°， 即tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ， 所以(1＋tan A )(1＋tan B ) ＝tan A ＋tan B ＋1＋tan A tan B ＝1－tan A tan B ＋1＋tan A tan B ＝2，

即(1＋tan A )(1＋tan B )＝2.

因为1°＋44°＝45°，2°＋43°＝45°，…，22°＋23°＝45°， 所以(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2， (1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝2，…， (1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，

所以原式＝2×2×2×…×2,22个 ＝222.

[B 能力提升]

11．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4

D ．2

解析：选C.由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.

12．已知tan α＝13，cos β＝55且0<α<π2，3π

2<β<2π则α＋β的值为________．

解析：因为3π2<β<2π且cos β＝55，所以sin β＝－25

5，

所以tan β＝

sin β

cos β

＝－2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1

3－21＋2

3＝－1，又因为0<α<π

2，

所以3π2<α＋β<52π，

所以α＋β＝74π.

答案：74

π

13．已知tan ????π4＋α＝2，tan β＝12，求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值． 解：由tan ????α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13

.

所以sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）

＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α） ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13

＝1

7

.

14．(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点，已知A ，B 两点的横坐标分别是

210和255

. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．

解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得 cos α＝

210，cos β＝255

. 由于α，β为锐角，所以sin α＝

1－cos 2α＝

72

10

，sin β＝1－cos 2 β＝

5

5

.从而tan α＝7，tan β＝1

2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋1

21－7

2

＝－3. (2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121＋3

2＝－1，又0＜α＜π

2，0＜β

＜π2，所以0＜α＋2β＜3π2，从而α＋2β＝3π4.