二项分布及泊松分布

(3)此人多数会愤然离去的概率。
P (Y 5) 1 P (Y 5)
1 C 0.223 (1 0.223)
k 0 k 10 k 5 10 k
二、二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变 得很麻烦，若 X ~ B(300,0.01)要计算
P( X 1) P( X k ) C (0.01) (0.99)
(3) 若使设备发生故障时不能及时维修的概 率小于0.01，至少应配备多少工人? 我们先对题目进行分析：
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理. 设X为300台设备同时发生故障的台数， 300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努利概型.
(3)设需配备N个维修工人，使得设备发生故 障而不能及时维修的概率小于0.01，有
P(X>N) 1 P ( X N )
k 1 C 300 0.01k (1 0.01)300 k 0.01 N k 0
通过计算可知，
P ( X 8) 0.039 0.01 则要使设备发生故障而不能及时维修的概 率小于0.01，只需配备8名工人，平均每人负责 38台。
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”
新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”

再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重 复”是指这次试验中各次试验条件相同 )，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率 都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努利 试验，简称贝努利试验或贝努利概型.
1 P ( X 0) P ( X 1) P ( X 2) P ( X 3)
0.0091 由(1)(2)结果，可看出后者的管理经济效益要 好得多。
例6 某人去一服务单位办事，排队等候的时 间(分钟)为一随机变量，设其概率密度为： x 1 10 x0 e ( x ) 10 x0 0 若此人等候时间超过15分钟则愤然离去。假 设此人一个月要到该服务单位办事10次，则 (1)此人恰好 有2 次愤然离去的概率； (2)此人至少有2次愤然离去的概率； (3)此人多数会愤然离去的概率。
4k
P{X k}C p (1 p) ,
k 4 k
k 0,1,2,3,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数 不难求得， X的概率函数是：
1 k 5 3k P{ X k}C ( ) ( ) , 6 6
k 3
k 0,1,2,3
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A或 A ， 或者形象地把两个互 逆结果叫做“成功”和“失败”.
用X表示n重贝努利试验中事件A（成功） 出现的次数，则
k k P( X k )Cn p (1 p)n k , k 0,1,, n
P( X k ) 0 不难验证： （1）
（2） P( X k ) 1
k 0 n
当n=1时， k(1-p)1-k,k=0,1 P ( X = k )= p 称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 称X服从0-1分布
下面给出正式求解过程： 解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
P ( X 1) 1 P ( X 1)
1 P ( X 0) P ( X 1)
0 1 1 C 300 0.010 (0.99)300 C 300 0.01(0.99)299
一、 贝努利概型 和 二项分布 例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数. 我们来求X的概率分布.
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p. 男 女 X =1 X =2 X =3 X =4 X=0
X的概率函数是：
X可取值0,1,2,3,4.
2 2 8 即P(Y 2) C10 0.223 (1 0.223)
(2)此人至少有2次愤然离去的概率；
P (Y 1) 1 P (Y 0) P (Y 1)
0 1 C10 0.2230 (1 0.223)10 1 C10 0.223(1 0.223)9
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问(3) 需配备多少工人，若使设备发生故 障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01 设需配备N个工人，所求的是满足 P(X>N) < 0.01 或 P(X N) 0.99 的最小的N.
0.81
由此结果知，配备一名工人，设备发生故 障而不能及时维修的概率很大，故配备一名工 人不合理。
P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X 1) P ( X 2)
0.81 C 0.01 (1 0.01)
2 300 2
298
0.58
可见，配备两名工人，设备发生故障而 不能及时维修的概率仍然很大，故配备两名 工人仍不合理。
n



n( n 1)( n k 1)
k
k!
n
k
1 2 [1 (1 )(1 )(1 )](1 ) (1 ) k k! n n n n n
n k
n( n 1)( n k 1) k n k ( ) (1 ) k! n n n( n 1)( n k 1) k n k ( ) (1 ) k! n n

n( n 1)( n k 1)
k
k!
n
k
(1 ) (1 ) k n n
X~B(n,p)
例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取 的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
则 X ~ B (3, 0.05)， 于是，所求概率为：
C p q P( X k ) P ( X k 1) C p q
k k n k n k 1 k 1 n k 1 n
( n k 1) p kq
( n 1) p k (1 q ) ( n 1) p k kq kq kq
( n 1) p k 1 ( k 1,2 , n) kq 当k ( n 1) p时，P ( X k ) P ( X k 1)，
此时P ( X k )随着k的增加而上升；
当k ( n 1) p时，P ( X K ) P ( X K 1), 此时随着k的增加而下降 ;
当k ( n 1) p为正整数时, P ( X k ) P ( X k 1), 此时P ( X k )在 k ( n 1) p及( n 1) p 1都达到最大值 ; 若( n 1) p不是整数，则 k [( n 1) p]时 达到最大值。
, P(X 1) =P(X=0)+P(时数看作一次试验 X=1)
k 3 k
3k
“使用到1000小时已坏” 视为“成功” .每次试验 2 =(0.2)3+3(0.8)(0.2) “成功”的概率为0.8
=0.104
二项分布的图形特点： X~B(n,p) P k 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 当(n+1)p不为整数时，二项概 率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最 大值；
解： “此人愤然离去”由随 机变量
“X 15”表示，则 1 x P ( X 15) e 10 dx 15 10
e
e
x 10

15
3 2
0.223
设随机变量Y表示“此人来服务单位办事 10次中愤然离去的次数”，则 Y ~ B(10,0.223)
(1)此人恰好 有2 次愤然离去的概率；
若将该例改为： (1)若由一人负责20台设备，求这20台设备 发生故障而不能及时维修的概率；
解：(1)设随机变量X表示20wenku.baidu.com设备在同一 时刻发生故障的台数，则 X ~ B( 20,0.01)
P ( X 1) 1 P ( X 1)
1 P ( X 0) P ( X 1)
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
. . . 0
n=10,p=0.7
n
二项分布的图形特点： X~B(n,p) P 对于固定n及p，当k增 k 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, . . 随后单调减少. 0
n=13,p=0.5
.. n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
可见， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
问(1)若只配备一名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？ “若只配备一名工人”那么只要同时发生故 障的设备的台数X大于1，其中的X-1 台设备就 会得不到及时维修。即所求为 P ( X 1)
同理，“若只配备两名工人”那么只要同时 发生故障的设备的台数X大于2即可。所求为 P ( X 2)
P( X 2)C (0.05) (0.95) 0.007125
2 3 2
注：若将本例中的“有放回”改为”无放 回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝 努里概型，此时，只能用古典概型求解.
C C P( X 2) 0.00618 C
可以简单地说，
1 2 95 5 3 100
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
k2 k 2 k 300 k 300 300 300 k
或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.
我们先来介绍二项分布的泊松近似， 下一讲中，我们将介绍二项分布的正态近 似.
泊松定理 p ，则有 设 是一个正整数， n
limC p (1 p)
n k n k
n k
e


0 1 1 C 20 0.010 0.9920 C 20 0.01 0.9919
0.0176
(2)若由3人共同负责维修80台设备，求这 80台设备发生故障而不能及时维修的概率。 解：设随机变量X表示80台设备在同一时刻 发生故障的台数，则 X ~ B(80,0.01)
P ( X 4 ) 1 P ( X 4)
例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏 的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P( X k )C (0.8) (0. 2) , k 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
想观看二项分布的图形随参数n,p的 具体变化，请看演示
二项分布
例5 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修工人 . 设共有300台设备，每台的工 作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下，一台设备的故障可由一 人来处理 . 问: (1)若只配备一名工人，则设备发生故 障而不能及时维修的概率是多少？ (2)若配备两名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？
k
k!
, k 0,1,2,
(证明见下一页). 定理的条件意味着当 n很大时，p 必定 很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：
C p (1 p)
k n k
n k

e
k
其中 np
k!
证明： p n
P C p (1 p)
k n k n k