如何建立一个数学模型

一般分三种情况. 1)给出了明确的优化目标 2)有些问题本身的性质(如图与网络中的NPC问题) 决定了无法找到最优解.应从实际出发,设计近似算法, 使目标尽可能优化. 3)没有提出明确的优化目标,应根据实际需要, 提出合理的优化目标. (2)微分方程模型 所研究对象与已知因素之间的关系可以用微分方程 的形式加以表示. 如AMCM-85A动物群体的增长.CMCM-96A最优捕鱼策 略等.这类模型的求解主要是利用所给数据确定模型参 数.
如何建立一个完整的数学模型
数理信息工程学院
一个完整的数学建模过程主要由三部分组成: 1,用适当的数学方法对实际问题进行描述 2,采取各种数学和计算机手段求解模型 3,从实际的角度分析模型的结果,考察其是否合理, 是否具有实际意义?
一,模型准备
了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征
形成一个比较 问题" 清晰的"问题 问题
(3)Байду номын сангаас计分析模型
如AMCM-89A可以用统计学中的Fisher判别法对蠓虫 加以分类. (4)插值与拟合模型 这是离散数据连续化处理时常用的方法.如 AMCM-86A题海底地形的描绘,AMCM-91A水塔水流 量的估计等. (5)其它.如计算机模拟,神经网络等.
方法总结:
用的最多的方法是:微分方程, 用的最多的方法是:微分方程,优 化方法和概率统计的方法. 化方法和概率统计的方法 插值与拟合, 插值与拟合,随机模拟在数据处理时 很有必要. 很有必要. 灰色系统理论,神经网络, 灰色系统理论,神经网络,模糊数学 经常被乱用. 经常被乱用. 层次分析只能做半定量分析
例2.3:双层 玻璃窗的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是 双层的,如图所示:两层厚度为d 的玻璃夹着一层厚度为 l 的空气, 试建立一个模型描述热量通过窗 户的传导(即流失)过程.
假 设
1,热量传播只有传导,没有对流 ,热量传播只有传导, 2,T1,T2不变,热传导过程处于稳态 不变, 不变 3,材料均匀,热传导系数为常数 ,材料均匀,
2,基本原则: (1)多数的原则.如曲线拟合时,可根据多 数点的分布趋势来确定曲线,经验证后, 选择误差少的曲线. (2)发展的原则.观察事物的发展方向. (3)主导性的原则.分析何种因素起主导作用. 如修盘山公路,主导性因素是公路坡度在一个 合理范围内. (4)相对性的原则.
3,假设的分类: (1)简化问题的假设.
由于统计方法的应用必须建立在对大量样本进行分 析的基础上,而我们面临的问题是,题中所给的数 据(15个学习样本)太少,因此优秀论文作者清醒 指出,这些假设未必一定可靠,这显示了他们对实 际问题及所用方法的深刻见解,
例2.5:AMCM-86A题—水道测量数据.
对海底地形图的插值拟合,其成立的条件是曲面 必须光滑,因此有必要假设,海底地形无陡峭形状, 可当作光滑曲面处理,在实际中,由于海水的不断冲 蚀,这个假设是近似成立的,这样就为模型的合理性 提供了依据.
l j = ∑ kij xi + a j ( j = 1,2,,6).
i =1
8
2.采用适当的数学方法建立模型
主要有以下几种类型
(1)优化模型 根据已知信息,对某一目标进行优化,如费用最小,时间最短 等.如AMCM89B设计飞机排队起飞的系统, CMCM-96B节水洗 衣机,CMCM-010B钢管订购和运输,等等.
基本 模型
w( k + 1) = w( k ) + αc ( k + 1) ( β + αγ t ) w( k )
四,模型简化
根据赛题的实际情况, 根据赛题的实际情况,对建立的模型作出合 理的简化是解决问题的关键. 理的简化是解决问题的关键.
例4.1 CMCM-98B
根据题意,得到购买Si的金额为xi的交易费为 根据题意,得到购买Si的金额为xi的交易费为 Si的金额为xi
第二条假设为我们利用连续函数的零点定理奠定了基础.
建立数学模型就是采用或建立某种数学方法来解决 具体的问题,而每种理论的应用都必须满足一定的理 想化条件,因此能否应用某种数学方法的关键在于所 研究对象是否近似满足理想化条件.必须着重指出的 是,对于一个假设,最重要的是它是否符合实际情况, 而不是为了解决问题的方便,即假设必须合理.
例2.2:椅子能否在不平的地面放稳?
模 型 假 设 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连 四条腿一样长,椅脚与地面点接触, 四条腿一样长 线呈正方形; 线呈正方形 地面高度连续变化,可视为数学上的连续 地面高度连续变化, 地面高度连续变化 曲面; 曲面 地面相对平坦,使椅子在任意位置至少 地面相对平坦, 地面相对平坦 三只脚同时着地. 三只脚同时着地.
三,模型的建立
1,分析问题,阐明建模的依据.
不同性质的问题需要采用不同的数学方法加以解决, 建立什么样的模型是由问题的本质决定的. 例3.1,Logistic模型. 资源,环境等因素对人口增长的阻滞作用随人 口数量增加而变大,即增长率是人口数的减函数. 最简单的假设是 r ( x ) = r sx ( r , s > 0). 例3.2 CMCM-04B 电力市场输电阻塞模型
总之,抓住了本质的东西,建立的模型才是有合理性,一个 总之 模型的优与劣,最根本的是在于是否采用恰当的方法,合理地 描述了实际问题,而不是取决于是否用到了高深的数学知识.
二,模型假设 针对问题特点和建模目的, 针对问题特点和建模目的, 作出合理的,简化的假设设, 作出合理的,简化的假设设, 在合理与简化之间作出折中 1,假设的依据: (1),对问题内在规律的认识. (2),对数据或现象的分析.
例1.3 CMCM-92A题(施肥效果分析)
农学家已经总结出肥料对作物生长作用的一些规 律,如米采利希学说:只增加某种养分x时,引起产 量的增加与该种养分供应充足时达到的最高产量A与 现有产量W的差成正比: dW = C( A W ) dx 其中C为常数,综合运用这些农学家的经验规律,结合 所给实验数据,就容易建立施肥量与产量关系的模型.
0, xi = 0 c i ( x i ) = p iu i ,0 < x i < u i p x ,x ≥ u i i i i
但因M相当大,Si若被选中,其投资额xi一般都超过ui, 交易费可简化为
ci ( xi ) = pi xi
五,模型求解及结果的分析
数学模型的建立是一个从实际——数学——实际的过 程,用恰当的数学方法对实际问题进行抽象化描述后, 可编写计算机程序或运用各种软件包 (Matlab,Mathematica,Lingo等是非常有用的数学软 件包)对模型进行求解,得到数学结果之后,问题并 未完全解决,前已述及,我们在建立数学模型的过程 中,作了各种近似和简化,而且更重要的是,我们建 立的数学模型仅用到了题中给出的数据,因此,模型 的结果是否具有实际意义或满足实际要求,有待于细 致的分析.
∑
18
i =1
aimi = M ,
计算结果表明,当蛋白质的分子量为1000时,解的个 数已达到28268个,这样的模型对于实际的工作而言并 无多大的意义.
要想建立一个合理的有用的模型, 要想建立一个合理的有用的模型,首先应该了解生 物学中关于蛋白质组成以及化学中关于分子结构测试 方面的知识,例如原题中提到了质谱仪的使用, 方面的知识,例如原题中提到了质谱仪的使用,质谱 仪可以精确测定分子量和分子式, 仪可以精确测定分子量和分子式,即可以知道蛋白质 分子中包含的C, , , , 每一种原子的数目 每一种原子的数目, 分子中包含的 ,N,O,H,S每一种原子的数目, 利用这些信息, 利用这些信息,不仅可以大减少解的数目和计算机运 行时间,而且便模型更具有实用性. 行时间,而且便模型更具有实用性. 有些问题可能是某一领域中早已存在的问题,专家 有些问题可能是某一领域中早已存在的问题, 们已经有过许多研究,充分利用他们的研究结果, 们已经有过许多研究,充分利用他们的研究结果, 对于建模有很大的帮助.例如: 对于建模有很大的帮助.例如: CMCM-91B题(施肥效果分析)
例1.2: CMCM-92B题.
组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形 成不同的组合.通过质谱实验测定分子量来 分析蛋白质分子的组成时,遇到的首要问题 是如何将它的分子量X分解为几个氨基酸的已 知分子量 m i ( i = 1, 2 , ,18 ) 之和.
分析:题目要求根据蛋白质的分子量给出所有的氨基 酸组合方式. 令M为蛋白质的分子量, mi 表示第i种氨基酸的分子 量,ai表示第i种氨基酸的数目,问题归结为求解下列 不定方程
以上假设为我们利用热传导定理奠定了基础.
例2.4:AMCM-89A题要求对蠓虫加以分类. 在采用概率判别方法建模之前,作了如下假设:
1,两类蠓虫的触角与翅膀长度的总体均值,标准差
和相关系数与学习样本所能反映的值是相符的, 2,触角长度x和y服从二维正态分布
这两条假设为从概率论的角度对蠓虫进行分类提供了根据, 这两条假设为从概率论的角度对蠓虫进行分类提供了根据
拿到需要解决的问题之后,首先应该做的事情是: 了解有关背景知识,查阅前人在这方面的工作, 并在此基础上探讨解决问题的方法.
例1.1 CMCM-96B题:节水洗衣机
由于淡水资源的短缺以及洗衣机的广 为普及,节约洗衣机用水十分重要.假 为普及,节约洗衣机用水十分重要. 设放入衣物和洗涤后洗衣机的运行程序 为:加水一漂洗一脱水一加水一漂洗一 脱水一, 脱水一, (称"加水一漂水一脱水"为 称 加水一漂水一脱水" 一轮. 现为洗衣机设计一种程序 现为洗衣机设计一种程序(包括 一轮.)现为洗衣机设计一种程序 包括 运行多少轮,每轮加水量等), 运行多少轮,每轮加水量等 ,使得在满 足一定洗涤效果的条件下, 足一定洗涤效果的条件下,总用水量最 选用合理数据计算. 少,选用合理数据计算.
例3.5 减肥问题
在以下假设下: 在以下假设下: 1,体重增加正比于吸收的热量; ,体重增加正比于吸收的热量; 2,代谢引起的体重减少正比于体重; ,代谢引起的体重减少正比于体重; 3,运动引起的体重减少正比于体重,且 ,运动引起的体重减少正比于体重, 与运动形式有关. 与运动形式有关. 得到下面的基本模型: 得到下面的基本模型:
3.创造性地改造已有模型.
数学建模的问题一般来自解决的实际问题,没有现成 的模型可直接套,能否提出自己见解是评价一个数学 模型优劣的重要标准.因为时间和知识水平的限制, 一般在现有的模型上对已有的模型进行必要的修正, 或者创造条件而使用这些模型. 例3.3:AMCM-96A,北卡罗米纳队利用等高线图确定目 标的方法很有创造性,尽管有其他不足,仍被评为特奖. 例3.5:CMCM-00A题DNA序列分类问题,需要做的是提 DNA序列的分类特征.
关于有功潮流近似表达的确定,有一篇优秀论文是怎样分析的: 根据功率叠加原理,我们认为各线路上的有功潮流应为各发电机 组出力的线性组合.
随机抽取两组数据进行检验.如线路1受机组1的影响, 线路3受机组4的影响,可以发现,有功潮流受到各机组 的影响近似成线性关系.因此假设有功潮流关于各个机 组出力的函数关系为
洗衣的基本原理
洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物 溶于水中,通过脱去污水而带走污物. 溶于水中,通过脱去污水而带走污物.无论是 如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基 础的. 础的.洗衣的过程就是通过加水来实现上述 溶污物一脱污水"动作的反复执行, "溶污物一脱污水"动作的反复执行,使得残 留在衣物上的污物越来越少,直到满意的程度. 留在衣物上的污物越来越少,直到满意的程度 通常洗衣要加入洗涤剂, 通常洗衣要加入洗涤剂,它帮助衣物上原 有的污物溶解. 有的污物溶解 洗涤剂本身也是不希望留在衣 物上的东西.因此 污物" 因此" 物上的东西 因此"污物"应是衣物上原有污 物与洗涤剂的总和. 物与洗涤剂的总和
(2)对所研究对象进行近似,使之满足建模所用数学 方法必需的前提条件. 例2.1:AMCM-92B题,在应急系统的研制过程中,优 秀论文作者作了如下假定: (1),从派遣中心到事故发生地点的距离以两地横坐 标和纵坐标之差的绝对值之和度量 (2),修理队总以30里/小时的平均速度行驶 (3),在紧急情况下,修理队随时可供派遣 (4),修理队的车辆无损坏情况…… 这些假设给应急系统的设计带来了方便