桥梁影响线
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x
F1
x1 c x1 a b1
x1
为1的坐标
FQ ( FBy F2 )
a x1 c
d b b1
a b1 x1 a
A
c a a1 F2
C
a
FQ I . L.
k a1 b1
D
B
l+
b
1 I . L. b
x F1 1 x l F2 l
a
xa xa
简支单跨梁：
A B
M k 影响线
l
M k FBy b M k FAy a
xa xa
+
反力影响线是基本的。
弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出。
静力法作影响线（二）
静力法作静定梁影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程， 由函数作图的方法称作静力法。
悬臂单跨梁：
机动法作影响线（一）
机动法（虚功法）作影响线的原理
单自由度体系
次数减一的结构
因为Mk是单位荷载下实际受力，所以k处变形光滑。
单自由度刚体位移
不变体系变形位移
k FP 1
M k Pk
由此得结论：影响线等于单位虚位移 图（注意形状、控制值和符号）。
机动法作影响线（二）
机动法作影响线的实质是什么？
这就是临界荷载判别式
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
临界荷载判别式
三角形影响线情况（作为多边形的特例）
' R左
Pk
' R右
为使向左移动时 Z 为负，必须左移时 ' ' ( R左 Pk ) / a R右 / b 为使向右移动时 Z 为负，必须右移时 ' ' R左 / a ( Pk R右 ) / b
单击此处选择运行各种 练习和演示程序
结 束
机动法作影响线（五）
试作图示连续梁的 M A、FBy、MC、F M 1、FQ1 影响线。
L QC
* 作静定结构变形影响线（一）
作简支梁相对转角θAB影响线的例子
移动荷载弯矩图
单位弯矩图 图乘可得
AB
1 l x (1 ) x EI 2 l
* 作静定结构变形影响线（二）
作简支梁挠度vC影响线的例子
第5章 影响线及其应用
§5§5§5§5§51 基本概念 2 静力法作影响线 3 机动法作影响线 4 影响线的应用 5 结论和讨论 教学程序说明
下载“影响线.rar”并释放； 教学小程序的说明：JDL.exe——静 定梁练习；LXLLX.exe——连续粱练 习；LXL.exe——连续粱计算； NLBLT.exe——简支梁最不利荷载位 置、绝对最大弯矩、包络图等； BLT.exe——连续粱弯矩包络图 影响线.exe——可选择运行上述教学 小程序。
1. 基本概念
移动荷载 荷载大小、方向不变，荷载作用点随 时间改变，结构所产生加速度的反应与 静荷载反应相比可以忽略，这种特殊的 作用荷载称移动荷载。(吊车、车辆) 特点 结构的反应（反力、内力等）随荷载 作用位置而改变。 主要需要解决的问题 移动荷载下的最大响应问题。 线弹性条件下解决方案是利用影响线。
a
b
理解为 均布荷 载集度
这就是临界荷载判别式
影响线的应用举例（一）
求图示简支梁K截面弯矩的最不利荷载位置。
作出Mk影响线如图 利用判别式确定临界荷载
教材上还有 M 一个例子 I.L. 请大家自学！ 一种临界荷载 另两种情况不是临界荷载
K
k
4.5 2 2 4.5 0; 6 6 10 7 3 2 4.5 3 7 2 4.5 ; 6 10 6 10
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
临界荷载判别式
多边形影响线情况
R1
R
' 2
Pk
Ri'
Rn
左、右移 x影响量 的改变量 Z为：
Z x Ri tg i
1
2
i
n
为使向左移动时 Z 为负，必须左移时（右移 Z 为正） Ri tg i 0 为使向右移动时 Z 为负，必须右移时（左移 Z 为正） Ri tg i 0
机动法作影响线（四）
L 试作图示结点传荷主梁的 M1、M B、FDy、FQB 影响线。
作超静定结构影响线
超静定结构影响线也可按静力法来作，因 为应用中一般并不需要具体竖标值，所以 多用机动（虚功）法。这部分大家可自学 李廉坤等的教材中有关内容。 机动（虚功）法作影响线 关键在记住：变形图即为影响线形状， 一些支座左右侧内力影响线，先按跨中内 力影响线作，然后考虑往支座移。
A
k l
试列方程
A
多跨静定梁：
B
b
B 1
C
b b
D
l
FAy I . L.
M A I . L. M k I . L.
l
FAy I1. L. M A I . L. FAy I . L. Ay
M A I ..L.. MA I L
l
FQk I . L.
b 1
多跨静定梁： 取整体，列竖向投 荷载在基本部分时, FAy=1。荷载在附属 影方程可得 FAy=1 坐标自左向右，取 部分时，FAy取决于 B处的反力，而由简 整体，列力矩方程 支梁可知反力线性 可得 MA=-x 变化，荷载在C时为 取部分，列竖向投 0，由此可作出I.L. 影方程，荷载在截 弯矩影响线的分析 面左 FAy=1，否则0 与反力影响线的分 取部分，列力矩方 析一样。基本部分 程， MA=-(x-l+b)， 同悬臂梁，附属C 否则为0 时为0。
影响线的应用举例（二）
求图示简支梁绝对最大弯矩。
FP1 FP1 FP1 FP1 Байду номын сангаас 324.5 kN m
2 M max
649kN [(6 0.725)m]2 4 6m 0 752.5kN m
跨中截面弯矩影响线 a= 中间两荷载是临界荷载
a为 负值
3 经计算 M max 752.5kN m
经试算可得
1 M K 19.375 kN m 3 M K 35.47 kN m
另一种临界荷载
所以最不利荷载位置是
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
活荷载的最不利布置
对一些可任意分段布置的活荷载，利用某 量的影响线可确定活载如何布置使其达最大 或最小。
包络图的概念
给定移动荷载下各截面某量最大（或最 小）值的连线称该量的包络图。 可分段布置的活荷载和恒载共同作用下， 使各截面某量最大（或最小）值的连线也称 该量的包络图。
将平衡问题化为几何问题来解决。
结论“虚位移图即影响线”是否恒正确？
只适用于垂直杆轴单位移动荷载情况
试作图示外伸梁的 FBy、M 2、FQ2、FQ3、M B L R FQB、FQB 影响线。
机动法作影响线（二）
机动法作影响线（三）
L R 试作图示多跨梁的M A、FGy、FDy、M D、M D R L FQB、FQB 影响线。
+
M
静力法作影响线（四）
静力法作静定桁架影响线
按定义实质为求移动荷载下某杆轴力。因此 关键是熟练掌握桁架在单位力位于任何x 位置 时指定杆内力如何求。 内力可用结点投影方程、截面力矩方程或联 合用投影和力矩方程求，与其对应可投影、力 矩和联合法列影响量方程并作图。
思路就是如此简单，关键在多练和总结规律、 经验！！ 教材（P.156） （P.157）中有一些桁架和三铰 拱的例子，请大家自己看，有问题请提出。
静力法作影响线（一）
静力法作静定梁影响线
按影响线定义，用静力平衡方程建立影响 量方程，由函数作图的方法称作静力法。 FAy 反力影响线 简支单跨梁：
A
+
l
B
FAy
x 1 l
简支单跨梁：
FBy 反力影响线
A
l
+
B
FBy
x l
FQk 影响线
A B
l
+
FQk FBy FQk FAy
设计最关心的是最大值
FP FPFP FP FP F P A FP FP l FP P F B FP a FP
FPa/l
FP(2-a/l) FP
FBy随小车位置变化的情况 移动荷载不同，变化规律也不同
基本概念
影响线定义 单位移动荷载下某物理量随荷载位置 变化规律的图形。 应注意的问题 由上述定义可知， 物理量是固定的， 单位移动荷载位置是变动的，影响线图 需作影响线的物 形的竖标是荷载作用于此处时物理量的 理量称为影响量 值， 横标是单位移动荷载作用位置。 物理量影响线要注意：外形、数值 （单位）和符号——三要素。 影响线作法 其一是静力法，另一为机动法（虚功 法）。
影响线的应用
F （只讲基本概念，请大家自学） F
P P
FR 位 绝对最大弯矩的概念 示 置 弯矩包络图中最大的弯矩值即为整个结构 意
中最大的，因此称作绝对最大弯矩。 图 图 简支梁绝对最大弯矩可按如下思路来求： 首先，移动荷载在某位置弯矩图是凸多边 形，因此绝对最大弯矩必在某力下。 设某力在x位置其下弯矩达极值，则M(x)对 x的导数应等于零，由此可求得x=(l-a) /2 。 在这些极值中寻找最大的（以跨中弯矩影 响线为据判断临界荷载，只对临界荷载试 算），自然是绝对最大的。
A
a
1 C EI , l
b
B
单位弯矩图
x 1a x
b
移动荷载弯矩图
xa
1
单位弯矩图
lx
a
移动荷载弯矩图
图乘法计算，可得移动荷载在C左、右的影响系数
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
确定最不利荷载位置和最大影响量
假定移动荷载下结构处线弹性状态，迭加原 注意： 理适用。 最大影响量 给定移动荷载处于某位置时，需求量的值 可通过该量影响线由迭加原理得到。 绝对最大弯矩 给定移动荷载使某量达最大的位置称最不 利荷载位置。确定它的步骤是： 是要考的！ 作所求量的影响线； 根据影响线确定临界荷载判别式，用它排 除非临界荷载； 对临界荷载试算，找最大。
悬臂单跨梁：
静力法作影响线（三）
静力法作静定梁影响线
经结点传荷的主梁：由静力法可证明 荷载在次梁上移，主梁内力线性变化。
次梁 主梁
a
l+
b
1 FQ I . L. 因此，将结点投影到主梁直接受荷影响 线（或基线），连投影点可得主梁影响线。 M I . L. b a
+
FQ FBy FQ FAy FQ FAy F1
F1
x1 c x1 a b1
x1
为1的坐标
FQ ( FBy F2 )
a x1 c
d b b1
a b1 x1 a
A
c a a1 F2
C
a
FQ I . L.
k a1 b1
D
B
l+
b
1 I . L. b
x F1 1 x l F2 l
a
xa xa
简支单跨梁：
A B
M k 影响线
l
M k FBy b M k FAy a
xa xa
+
反力影响线是基本的。
弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出。
静力法作影响线（二）
静力法作静定梁影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程， 由函数作图的方法称作静力法。
悬臂单跨梁：
机动法作影响线（一）
机动法（虚功法）作影响线的原理
单自由度体系
次数减一的结构
因为Mk是单位荷载下实际受力，所以k处变形光滑。
单自由度刚体位移
不变体系变形位移
k FP 1
M k Pk
由此得结论：影响线等于单位虚位移 图（注意形状、控制值和符号）。
机动法作影响线（二）
机动法作影响线的实质是什么？
这就是临界荷载判别式
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
临界荷载判别式
三角形影响线情况（作为多边形的特例）
' R左
Pk
' R右
为使向左移动时 Z 为负，必须左移时 ' ' ( R左 Pk ) / a R右 / b 为使向右移动时 Z 为负，必须右移时 ' ' R左 / a ( Pk R右 ) / b
单击此处选择运行各种 练习和演示程序
结 束
机动法作影响线（五）
试作图示连续梁的 M A、FBy、MC、F M 1、FQ1 影响线。
L QC
* 作静定结构变形影响线（一）
作简支梁相对转角θAB影响线的例子
移动荷载弯矩图
单位弯矩图 图乘可得
AB
1 l x (1 ) x EI 2 l
* 作静定结构变形影响线（二）
作简支梁挠度vC影响线的例子
第5章 影响线及其应用
§5§5§5§5§51 基本概念 2 静力法作影响线 3 机动法作影响线 4 影响线的应用 5 结论和讨论 教学程序说明
下载“影响线.rar”并释放； 教学小程序的说明：JDL.exe——静 定梁练习；LXLLX.exe——连续粱练 习；LXL.exe——连续粱计算； NLBLT.exe——简支梁最不利荷载位 置、绝对最大弯矩、包络图等； BLT.exe——连续粱弯矩包络图 影响线.exe——可选择运行上述教学 小程序。
1. 基本概念
移动荷载 荷载大小、方向不变，荷载作用点随 时间改变，结构所产生加速度的反应与 静荷载反应相比可以忽略，这种特殊的 作用荷载称移动荷载。(吊车、车辆) 特点 结构的反应（反力、内力等）随荷载 作用位置而改变。 主要需要解决的问题 移动荷载下的最大响应问题。 线弹性条件下解决方案是利用影响线。
a
b
理解为 均布荷 载集度
这就是临界荷载判别式
影响线的应用举例（一）
求图示简支梁K截面弯矩的最不利荷载位置。
作出Mk影响线如图 利用判别式确定临界荷载
教材上还有 M 一个例子 I.L. 请大家自学！ 一种临界荷载 另两种情况不是临界荷载
K
k
4.5 2 2 4.5 0; 6 6 10 7 3 2 4.5 3 7 2 4.5 ; 6 10 6 10
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
临界荷载判别式
多边形影响线情况
R1
R
' 2
Pk
Ri'
Rn
左、右移 x影响量 的改变量 Z为：
Z x Ri tg i
1
2
i
n
为使向左移动时 Z 为负，必须左移时（右移 Z 为正） Ri tg i 0 为使向右移动时 Z 为负，必须右移时（左移 Z 为正） Ri tg i 0
机动法作影响线（四）
L 试作图示结点传荷主梁的 M1、M B、FDy、FQB 影响线。
作超静定结构影响线
超静定结构影响线也可按静力法来作，因 为应用中一般并不需要具体竖标值，所以 多用机动（虚功）法。这部分大家可自学 李廉坤等的教材中有关内容。 机动（虚功）法作影响线 关键在记住：变形图即为影响线形状， 一些支座左右侧内力影响线，先按跨中内 力影响线作，然后考虑往支座移。
A
k l
试列方程
A
多跨静定梁：
B
b
B 1
C
b b
D
l
FAy I . L.
M A I . L. M k I . L.
l
FAy I1. L. M A I . L. FAy I . L. Ay
M A I ..L.. MA I L
l
FQk I . L.
b 1
多跨静定梁： 取整体，列竖向投 荷载在基本部分时, FAy=1。荷载在附属 影方程可得 FAy=1 坐标自左向右，取 部分时，FAy取决于 B处的反力，而由简 整体，列力矩方程 支梁可知反力线性 可得 MA=-x 变化，荷载在C时为 取部分，列竖向投 0，由此可作出I.L. 影方程，荷载在截 弯矩影响线的分析 面左 FAy=1，否则0 与反力影响线的分 取部分，列力矩方 析一样。基本部分 程， MA=-(x-l+b)， 同悬臂梁，附属C 否则为0 时为0。
影响线的应用举例（二）
求图示简支梁绝对最大弯矩。
FP1 FP1 FP1 FP1 Байду номын сангаас 324.5 kN m
2 M max
649kN [(6 0.725)m]2 4 6m 0 752.5kN m
跨中截面弯矩影响线 a= 中间两荷载是临界荷载
a为 负值
3 经计算 M max 752.5kN m
经试算可得
1 M K 19.375 kN m 3 M K 35.47 kN m
另一种临界荷载
所以最不利荷载位置是
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
活荷载的最不利布置
对一些可任意分段布置的活荷载，利用某 量的影响线可确定活载如何布置使其达最大 或最小。
包络图的概念
给定移动荷载下各截面某量最大（或最 小）值的连线称该量的包络图。 可分段布置的活荷载和恒载共同作用下， 使各截面某量最大（或最小）值的连线也称 该量的包络图。
将平衡问题化为几何问题来解决。
结论“虚位移图即影响线”是否恒正确？
只适用于垂直杆轴单位移动荷载情况
试作图示外伸梁的 FBy、M 2、FQ2、FQ3、M B L R FQB、FQB 影响线。
机动法作影响线（二）
机动法作影响线（三）
L R 试作图示多跨梁的M A、FGy、FDy、M D、M D R L FQB、FQB 影响线。
+
M
静力法作影响线（四）
静力法作静定桁架影响线
按定义实质为求移动荷载下某杆轴力。因此 关键是熟练掌握桁架在单位力位于任何x 位置 时指定杆内力如何求。 内力可用结点投影方程、截面力矩方程或联 合用投影和力矩方程求，与其对应可投影、力 矩和联合法列影响量方程并作图。
思路就是如此简单，关键在多练和总结规律、 经验！！ 教材（P.156） （P.157）中有一些桁架和三铰 拱的例子，请大家自己看，有问题请提出。
静力法作影响线（一）
静力法作静定梁影响线
按影响线定义，用静力平衡方程建立影响 量方程，由函数作图的方法称作静力法。 FAy 反力影响线 简支单跨梁：
A
+
l
B
FAy
x 1 l
简支单跨梁：
FBy 反力影响线
A
l
+
B
FBy
x l
FQk 影响线
A B
l
+
FQk FBy FQk FAy
设计最关心的是最大值
FP FPFP FP FP F P A FP FP l FP P F B FP a FP
FPa/l
FP(2-a/l) FP
FBy随小车位置变化的情况 移动荷载不同，变化规律也不同
基本概念
影响线定义 单位移动荷载下某物理量随荷载位置 变化规律的图形。 应注意的问题 由上述定义可知， 物理量是固定的， 单位移动荷载位置是变动的，影响线图 需作影响线的物 形的竖标是荷载作用于此处时物理量的 理量称为影响量 值， 横标是单位移动荷载作用位置。 物理量影响线要注意：外形、数值 （单位）和符号——三要素。 影响线作法 其一是静力法，另一为机动法（虚功 法）。
影响线的应用
F （只讲基本概念，请大家自学） F
P P
FR 位 绝对最大弯矩的概念 示 置 弯矩包络图中最大的弯矩值即为整个结构 意
中最大的，因此称作绝对最大弯矩。 图 图 简支梁绝对最大弯矩可按如下思路来求： 首先，移动荷载在某位置弯矩图是凸多边 形，因此绝对最大弯矩必在某力下。 设某力在x位置其下弯矩达极值，则M(x)对 x的导数应等于零，由此可求得x=(l-a) /2 。 在这些极值中寻找最大的（以跨中弯矩影 响线为据判断临界荷载，只对临界荷载试 算），自然是绝对最大的。
A
a
1 C EI , l
b
B
单位弯矩图
x 1a x
b
移动荷载弯矩图
xa
1
单位弯矩图
lx
a
移动荷载弯矩图
图乘法计算，可得移动荷载在C左、右的影响系数
影响线的应用
（只讲基本概念，请大家自学）
确定最不利荷载位置和最大影响量
假定移动荷载下结构处线弹性状态，迭加原 注意： 理适用。 最大影响量 给定移动荷载处于某位置时，需求量的值 可通过该量影响线由迭加原理得到。 绝对最大弯矩 给定移动荷载使某量达最大的位置称最不 利荷载位置。确定它的步骤是： 是要考的！ 作所求量的影响线； 根据影响线确定临界荷载判别式，用它排 除非临界荷载； 对临界荷载试算，找最大。
悬臂单跨梁：
静力法作影响线（三）
静力法作静定梁影响线
经结点传荷的主梁：由静力法可证明 荷载在次梁上移，主梁内力线性变化。
次梁 主梁
a
l+
b
1 FQ I . L. 因此，将结点投影到主梁直接受荷影响 线（或基线），连投影点可得主梁影响线。 M I . L. b a
+
FQ FBy FQ FAy FQ FAy F1