磁异常的处理解释及应用

第三篇磁异常的处理、解释及应用
为便于学习和掌握磁异常处理和解释的理论与方法，本篇首先介绍磁异常处理、解释的理论基础：磁性体磁场的数学解析与定量计算和埸的分布规律，即已知磁源求磁场的正问题。

其次介绍根据不同磁埸的分布特征消除干扰、分离出目标体磁异常的数据处理方法，在此基础上深入讨论不同磁异常确定不同磁源分布的方法即磁异常的反问题。

根据磁异常的正、反演问题所确定的磁源分布模型的过程称为数学物理解释，进一步对磁模型赋以地质含义的工作称为地质解释。

最后阐明磁异常解释推断的基本方法及其在国民经济建设中多方面的应用。

第一章磁异常正问题
本章在一般情况下论述了磁性体磁位、磁场的积分表达式及其数值规律，以此奠定正问题的理论基础。

在众多的磁异常正演方法概述基础上，重点对基本、实用的规则形体及其组合的不规则形体的磁异常正演方法，分别在空间域与频率域加以论述，使读者有清晰、完整概念并便于掌握和应用。

第一节概述
一、研究磁异常正问题的意义
磁力勘探的主要解释任务根据测得的磁异常来判断确定该磁性体的几何参数（位置、形状、大小、产状）及磁性参数（磁化强度大小、方向）。

根据静磁场理论，运用数学工具由已知的磁性体求出磁场的分布，这个过程称为正（演）问题；反之，由磁异常求磁性体的磁性参量和几何参量，叫做反（演）问题。

显然，只有求出不同磁性体磁场的分布，并总结出磁场特征与磁性体几何参数及磁性参数之间相互联系的内在规律，才能运用这些规律对磁异常作解释推断。

特别是对磁异常进行磁性体磁性与几何参数的反（演）问题求解时，必需建立在正（演）问题给出场的数学表达式基础上才能进行，所以“正（演）问题是”反（演）问题的基础，更是磁力勘探解释推断的理论基础。

当然，要完成磁力勘探解释推断的全部解释任务，仅仅依靠数学计算是不够的，还必需掌握可靠的地质、物性及其它物化探资料，进行综合分析及解释，才能得出比较符合客观实际的地质结论，为查明地下矿产资源或其它探测目标体提供依据。

二、磁异常正演的基本途径
自七十年代以来，磁异常正演计算方法已由单一空间域发展到空间域与频率域两大正演计算系列，两者各有特点，相辅相成，丰富和完善了正（演）问题的基本内容。

一般而言，频率域的正演可由空间域的磁异常表达式经傅里叶变换得到，所以空间域的正演是基础。

（一）空间域正演途径
1、以基本磁源出发导出规则形体磁场
单磁极与磁偶极子是磁力勘探的最基本场源。

与磁偶极子场等效的是均匀磁化球体磁场，将磁偶子场沿某一方向线积分即可得到偶极线磁场，与之等效的是圆柱体磁场。

将磁偶极线沿横向积分即可得偶极面的场，与之等效的是薄板体场。

将单磁极沿走向方向线积分即可导出水平单极线场，相当于顺层磁化无限延深薄板体场。

将单极线沿横向积分则可得磁荷面磁场，相当于顺层磁化无限延深厚板状体磁场。

分别求出板体所围的四个磁荷面磁场，叠加求和，即可得到有限延深厚板状体磁场。

类似地可获得许多简单规则几何形状磁性体磁场。

2、从联系重磁位的泊松公式出发计算磁性体磁场
借助于重力勘探已建立的多种形体引力位公式，利用泊松公式求出磁位，进而导出磁场表达式。

这对二次曲面所围形体特别方便。

3、基于磁偶极体积分与磁荷面面积分公式，用数值方法计算不规则形体的磁场
对于实际问题中的非规则形体，要用解析方法求出这些积分是困难的，因而我们只能采用数值解法求其近似值。

4、用有限元和边界元等方法求微分方程边值解导出复杂条件下磁场
由于重磁位场求取可归结为偏微分方程的边值问题的解，因而也可以通过用有限元和边界元方法求取泛函的极值解。

也即偏微分方程的数值解。

方法较复杂，计算量大，主要用于二度情况使用尚不普遍。

此外还可由解积分方程出发导出非均匀磁化磁性体的磁场，一般仅在计算强磁性体磁场应用。

（二）频率域正演途径
1、直接对各种形体的空间域磁场表达式进行傅里叶（简称傅氏）变换。

2、基于频率域的特性，从一些基本形体的磁场理论频谱导出其他形体的磁场频谱。

三、磁异常正演方法概述
这里，按照磁性体由简单到复杂（由形状规则到任意、单体到多体、磁性均匀到不均匀）的发展过程，对有关正演方法作概略叙述。

（一）均匀磁化规则磁性体磁场的正演方法
研究磁力勘探正问题的初期，人们首先致力于求解最为简单的均匀磁化规则形体的正问题。

这些规则形体有球体、水平圆柱体、板状体、长方体、断层、对称背斜等。

正演求解时，假定磁化强度为常向量，即体内各点磁化强度大小相等，方向相同。

磁化均匀和形态规则的假设，使磁性体的正问题大为简化，并给出了解析表达式。

求得它的解析表达式的方法有如下几种：
1、直接积分法：由磁性体磁位和磁场的积分表达式出发，在确定了积分上、下限之后，直接通过积分运算，求得磁位和磁场的解析表达式。

为了减少重复性的积分运算，根据位场迭加原理，人们找到了这样一种积分求解途径：先求得简单形体磁位、磁场表达式，再由其
表达式出发进一步积分，求解更复杂形体磁位、磁场表达式。

例如：由球体→水平圆柱体→薄板状体→厚板状体，等等。

2、泊松公式法：由已有的重力位表达式，借助于联系重力和磁场的泊松公式，直接给出磁位、磁场表达式。

3、表面磁荷积分法：由磁性体表面磁荷积分表达式出发，在求得磁性体各磁荷面面磁
荷密度n M G
K ⋅=σ后，代入积分表达式、给定积分限，通过积分运算，即可求得磁位、磁场表达式。

同样，为了减少重复性的积分运算，也可以采取前面所述的积分求解途径。

（二）均匀磁化或分区均匀磁化、任意形态磁性体磁场的正演方法
磁异常正问题的进一步研究，涉及到了均匀磁化或分区均匀磁化任意形态磁性体的正问题。

由于形态任意，不可能给出严格的解析表达式，只能采取近似的数值计算方法。

有关的数值计算方法很多，现概述如下几种：
1、多边形面多面体近似法：把任意形态磁性体的外表面用多个多边形面构成的封闭面代替。

计算出每个多边形面上磁荷面密度，代入对应多边形面磁场解析表达式，解析地求得其磁场值。

把所有面的场值相加，即为该磁性体正演结果。

具体实现时，常采用统一的水平多边形平面磁场解析式，通过与各面对应的坐标转换算出其场值，然后再迭加起来。

2、三角形面多面体近似法：这是与多边形面多面体近似法类似的近似正演方法。

该方法正演时，首先，把任意形态磁性体外表面用多个三角形平面构成的封闭面代替；其次，由已知的磁化强度算出每个三角形面的磁荷面密度；然后，采用高斯求积公式，对每一个三角形面的磁场作数值计算，再迭加起来。

为了应用三角形的高斯求积公式对每个三角面进行数值积分，采取了一种将任意三角面上的坐标变为二维坐标的方法。

3、组合体近似法：把磁化强度均匀或分区均匀的任意形态磁性体，用多个均匀磁化规则形体的组合形体近似代替；各个均匀磁化规则形体的磁化强度可以相同或不同。

该磁性体磁场的近似值，等于各规则体解析场值之和。

作为组件的规则形体有正方体、直立长方体、倾斜长方体、有限长水平n 棱柱体等。

因为直立长方体的多个ln 项可以合并成一项计算，而且在一定条件下多个tg -1项亦可合并计算，使计算速度大大加快，又因其组合任意形体的能力较强，故直立长方体组合法得到了普遍应用。

4、多边形截面法：把均匀磁化任意形态的磁性体用许多平行于O xz 的垂直面截出许多横断面。

再把每个横断面用多边形代替，称为多边形截面。

计算多边形截面体的磁场并把各体磁场相加。

5、谱正演法：磁性体磁场的傅里叶变换称为场的频谱。

而谱的反傅里叶变换是磁性体的磁场。

因频谱表达式远比场表达式简单，又因出现了快速傅里叶变换（简称FFT ），故可先按场频谱表达式算这些谱的离散值，然后作反变换求得场的离散正演值。

称这种正演方法为“谱正演法”。

上述组合体近似法往往可借助于这种算法来实现，即：把作为组件的规则体离散谱正演值迭加起来，再作反FFT ，所得值就是该任意形态磁性体磁场的正演值。

（三）剩余磁化强度和磁化率为常量的任意形态强磁性体磁场的正演方法
前述两类正问题及相应的正演方法，均假定磁性体内磁化强度均匀或分区均匀。

事实上，由于退磁作用，既使是磁化率在体内处处均匀的磁性体，也只当其表面为二次闭曲面时，才可能均匀磁化，否则磁化强度是不均匀的。

因此，随着正演方法的深入研究，出现了考虑磁性体自身退磁的磁场正演方法，即剩磁均匀、磁化率为常量的任意形态磁性体磁场的正演
方法。

在本问题中，磁化外场、剩磁和磁化率k 为已知，但因退磁影响，感应磁化强度0H K
i M K 已知。

为了解正问题，需利用边界条件并解积分方程求出表面磁荷密度进而求得磁场。

（四）磁化率和剩磁各向异性、形态任意的磁性体磁场的正演方法
这种磁性体的参数k 和需用张量来描述，其正演问题是磁法中最复杂的正问题。

从
70年代后期，国内外学者相继研究出一些数值正演方法。

我国学者把有限元和边界元等数值计算方法引用到这一复杂正演问题中来，取得了一系列有理论和实际价值的成果。

r M K
（五）磁场的模拟测定
前述各类正问题的求解还可以通过实验室模拟测定来解决。

模拟测定方法分为静磁场模拟方法与低频交变场模拟方法。

实践已经证明，两类模拟测定方法是可行的。

上面，简单概述了磁异常各类正问题及其正演方法。

其中，均匀磁化规则形体正（演）问题、正演方法及场的解析表达式，是磁法的基础，具有重要的理论意义和实际意义将重点讨论。

第二节 有效磁化强度矢量与总磁场异常T 的一般表达
Δ
一、有效磁化强度矢量
已知总磁化强度矢量由感应磁化强度与剩余磁化强度两矢量组成。

设总磁化强度矢量M 的空间分布如图3.1-1所示。

直角坐标系xyz 中z 轴向下，按右手螺旋系放置，在x 、y 、z
三轴上单位坐标矢量对应为i k M j M i M M z y x K K K K ++=k K K
、、j K ；它在
，磁性体磁化强度矢量
图3.1-1 磁化强度矢量及其分量关系
oxy 面上投影为，在oxz 面上投影为H M K
s M K ，当二度体走向沿y 分布则其磁异常，主要由引起，故称为有效磁化强度。

s M K s M H M K 与ox 轴夹角为A ′，磁性体走向与的夹角为A （y 方向为走向），H M K
H M K 与M K 夹角为I ，设M K
的方向余弦为（α，β，γ）；的方向余弦为（s M K ），与ox 轴夹角为i s M K s α，s γs ；则有：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪
⎪
⎪⎬⎫=++===′===′==++=1sin cos cos sin cos sin cos cos cos )(2222
/122
2γβαγβαI
M A I A I M M A I A I M M M M M M z y
x
z y x
（3.1-1）
⎪⎭
⎪⎬
⎫=′===+=+=−−−−)csc ()sec ()()()(1
1112
/1222/122
A tgI tg A tgI tg tg M M tg i M M M M x z s z x s αγγα （3.1-2）
⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=++===+==
=1
)(sin )(cos 222/1222/122
s s s y s s s x s s M i M M i γαγαγγγααα （3.1-3）
以上关系式表明，仅考虑磁性体的感应磁化强度时，上列各式的I 即为当地的地磁倾角，A 角即为磁性体走向与磁北的夹角。

可以看出磁性体走向或剖面方向不同则磁性体被磁化的情况不同，即磁性体表面磁荷的分布也不同，由其引起的磁异常也不同。

在中高纬度区，当南北走向A=0º时，在东西剖面内由（3.1-2）式得i s =90º，相当于垂直磁化；当东西走向A=90º，在南北剖面内有i s =I ，相当于斜磁化。

因此分析地磁场对磁性体不同走向的磁化作用是十分重要的。

二、总磁场异常△T 的一般表达
实际磁测一般更易于精确测定总磁场的模量异常△T ，而磁异常正演则能更方便的计算出磁场三分量Z ，H a ax ，H ay ，因此需要研究△T 与Z ，H a ax ，H ay 的关系，以便通过磁场三分量来正演△T 。

（一）△T 的物理意义
磁异常总强度矢量T 是磁场总强度T 与正常场T a 0的矢量差，即： T =T -T
（3.1-4） a 0而△T 是T 与T 0的模量差，即：
△T =|T |-|T 0|
（3.1-5）
△T 既不是T 的模量，也不是T 在T a a 0方向的投影，如图3.1-2所示。

图3.1-2 △T 与Ta 关系图
根据矢量三角形的余弦定理 θcos 20220a a T T T T T ++=
上式中θ是T 与T a 0间的夹角。

根据（3.1-5）式，上式可写为： 2/102200)cos 2(θa a T T T T T T ++=Δ+对上式两端取平方，并除以，则得
20T θcos 2202
002
0⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ΔT T T T T T T T a a
（3.1-6）
当时，上式中的平方项可略去。

例如，在中纬度地区，T =50000nT ，若T 0T T a ≤0a ≤2000nT 时，则：（T a /T 0）2≤0.0016。

又因△T <T a ，故（△T <T 0）2项也可略去。

因此，（3.1-6）式可
简化为：
（3.1-7）
),cos(cos 0T T a a a T T T ==θΔ 上式表明，当磁异常强度T 不大时，可近似把△T 看作是T 在T a a 0方向的投影；航空磁测中一般T <1000nT ，在进行高精度地面磁测的地区，一般T 也不大。

因此将△T 近似看作T a a a 在T 0方向的投影，有足够的精度。

另外，T 在相当大的区域内，方向是不变的（10000km 20内变化1º左右），因此，可把△T 看作是T 在固定方向的投影。

这样，△T 的物理意义与Z 、H a a a 类似，都是T 在固定方向的分量。

a （二）△T 与Z a 、H a 的关系
由于△T 是T 在T a 0方向的分量，令t 0表示其单位矢量，其方向余弦为cos （x ,t ）=L 00，cos （y ,t 0）=M 0,cos(z ,t 为T )=N ;又因为H 00ax 、H ay 、Z 在三个坐标轴上的分量，因此
a a
（3.1-8）
000N Z M H L H T a ay ax ++=Δ上式表示，△T 是T 的三个分量分别投影到T a 0方向之和。

因为T 0在XOY 面的投影为H 0，T 与H 00的夹角为I ，测线方向X 轴与H 0的夹角为A ′。

则有：L =cos I cos A ′，M 00=cos I sin A ′，N 0=sin I ，故（3.1-8）式可写为：
I Z A I H A I H T a ay ax sin sin cos cos cos +′+′=Δ
（3.1-9）
上式即为△T 与H ax 、H ay 、Z 的基本关系式。

它表明，知道了H a ax 、H ay 和Z a 的磁场表达式，由上式即可求得△T 的磁场表达式。

从理论上说，当磁性体沿走向方向无限延伸，且在走向方向上该磁性体的埋藏深度、截面形状、大小和磁化特点皆是稳定不变，则称此种形体为二度体。

显然，这种磁性体的磁场沿走向方向不变，仅需计算剖面上的磁场即可。

对于二度体，由于磁性体沿y 方向无限伸长，磁位沿y 方向无变化，磁位对y 的微商为零，即H ay =0，故（3.1-9）式简化为：
I Z A I H T a ax sin cos cos +′=Δ （3.1-10） （3.1-9）式对任何形体都适用，而（3.1-10）式只适用于测线垂直走向的二度体。

三度体是指没有明显走向的磁性体或沿走向方向磁性体的埋深、形状、大小有明显变化的磁性体。

对于三度体异常只研究其在某一剖面上的变化特征是不够的，必须研究异常的平面特征，因此场与空间的三个坐标方向皆有关系。

事实上，自然界并不存在这种理论上的二度体，一般来说当磁性体走向长度比起磁性体截面的线度与埋藏深度大得多时，且将研究的剖面取在沿走向的中部，就可以当作二度体来计算。

如有一些虽然在走向方向延伸有限但埋藏较浅的磁性体也可以近似地看成二度体，反之，若埋藏较深，则可看成三度体。

因此，二度与三度是个相对的概念。

在野外经常遇到的二度体往往有：层状、脉状、似层状、岩脉、岩墙、向斜、背斜等磁性地质体。

三度体则有：囊状、透镜状、巢状地质体及岩筒等。

第三节 磁异常正问题的基本理论
本节研究的基本理论，是指磁位、磁场的积分表达式、表面磁荷积分式、泊松关系式和由其进一步导出的位与场的数值规律，其中包括等值互换规律和规格化表达式。

这些基本理论公式为具体磁性体的正演奠定了基础，并为简化场的正演与场的转换提供了依据。

一、计算磁性体磁场的一般积分表达式
（一）三度体
任何一个三度磁性体可以看作许多体积很小的磁体元组成。

每一个磁体元相当一对磁量相等，符号相反，相距极近的磁偶极子。

如图3.1-3所示，观测点为P ，偶极中心位于点
Q ，磁量为dm ′，极距为dl ，偶极方向为（-dm ′）→（+dm ′），即l K
γβα,,，其方向余弦为（）。

设其磁位为dU ，根据磁库伦定律，有
图3.1-3 偶极子及距离标量示意图
dl r r dl m d r m d r m d dU 11(
41
)(41−+−+−⋅⋅′=′−′=π
π 分别为（+dm ′）,（-dm ′）到P 点的距离。

因为dl 很微小，则
，r 其中，r +-)1(r l Q ∇⋅=K )1(/)1
1(lim 0r l dl r r dl K ∂∂=−−+→ ζ
ηξ∂∂+∂∂
+∂∂=∇k z i Q K K K 式中l dl m d m d K K
⋅⋅′=)1(41r
m d dU Q ∇⋅=
K π ，所以有：dv M m d K K
=)1()1(r
r p Q −∇=∇，因此，上式变为
由场论已知，磁体元磁矩，又因dv r M dU p Q )1
(41∇⋅−=K π
（3.1-11）
把磁性体所包含的所有磁体元的磁位积分求和，就得到整个磁性体磁位U 的积分表达式
dv r
M U v p Q ∫
∇⋅=
)1(41
K π
（3.1-12）
Q M K
代表体内Q 点的磁化强度矢量，故上式是M 数值和方向均可变化的普遍公式。

式中，、H 、H 磁性体的磁场是磁位方向导数的负数，以Z a ax ay 等符号分别表示磁场的垂直分量、
沿x 轴的水平分量，沿y 轴的水平分量；用T {}2
/12
22ay
ax a a H H Z T ++=表示总磁异常模，即a 。

现引用T 表示总场沿单位矢量k N j M i L t K
K K K ++=方向的磁场分量；前已指出航磁△T 近似为总场
沿地磁场方向k N j M i L t o o o o K K K K
++=的分量模。

在上述规定下，有如下各式成立：
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧
∇⋅=∂∂−=∇⋅=∂∂−=∇⋅=∂∂−=∇⋅=∂∂−=),,(,)0,1,0(,)0,0,1(,)1,0,0(,0000
0000N M L U t t U T U j y U
H U i x U H U k z U Z p p ay p ax p a 方向余弦方向余弦方向余弦方向余弦K K K K K μμμμμμμμ （3.1-13） t K =时，T 即为△T ，
0t K
当{}
)()()()(000U k N U j M U i L U k N j M i L U t T p p p p p ∇⋅+∇⋅+∇⋅=∇⋅++=∇⋅=K K K K K K K
μμμ另外，由，可得
关系式：
（3.1-14）
a ay ax Z N H M H L T ⋅+⋅+⋅=下面给出T 的表达式：由（3.1-12）立刻得到：
∫∇⋅∇⋅=∇⋅=v p Q p p dv r
M t U t T )1
(400K K K πμμ
（3.1-15）
Q Q Q l M M K K
=磁位U 与磁场T 表示为矢量积分表达式具有重要意义。

设，的方向余弦
为（Q l K 3)1
(r
r l M r M Q Q p Q K K K ⋅−=∇⋅3)1(r r r p K −=∇，故
Q Q Q γβα,,），又因，则dv r r l M U Q v Q 3
41
K K ⋅=∫π
（3.1-16） p t ∇⋅K
在（3.1-15）式中，是对P 点求导，而积分是对Q 点进行，微积分变量不同，可以交
换微分与积分顺序，则有：
∫∫⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅−∇⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∇⋅∇⋅=v Q p Q v p Q p dv r r l t M dv r M t T )(4)]1([43
00
K
K K K K
πμπ
μ {}
Q Q Q p p Q Q p l r r r l r r l r r r l r r l K K K K K K K
K K
K ⋅−⋅⋅=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⋅∇+∇⋅−=⋅−
∇25333
)(31)(1)1()()(
而{}
dv l t r r t r l r M T v Q Q Q ∫⋅−⋅⋅=
)())((3425
0K K K K K K πμ （3.1-17）
故得：利用（3.1-13）式与r 的直角坐标表达式，则可得均匀磁化情况磁场各分量表达式
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎪⎬⎫
⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−−+−−+−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−+−−−−−+−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−+−−+−−−−−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫v v v z y x a v v v z y x ay v v v z y x ax dv r y x z M dv r z y M dv r z x M Z dv r z y M dv r z x y M dv r y x M H dv r z x M dv r y x M dv r z y x M H 52
22550552
22505552220)
()()(2))((3))((34))((3)()()(2))((34))((3))((3)()()(24ηξζζηζξπμζηζξηηξπμζξηξζηξπμ
（3.1-18）
式中：
[]
2
/12
22)()()(ζηξ−+−+−=y y x r （二）二度体
二度体磁位U 、磁场T 与y 无关。

由（3.1-16）式出发，当磁性体为二度时，取y =0，则有：
ζηξζηξππζηξd d d r z M y M x M dv r r
l M U v v Q Q ∫∫⎭
⎬⎫⎩⎨⎧−+−+−=⋅=3
3)()()(4141K K ζξηηπζξηζξπ
ηζξd d d r o M d d r d z M x M s s ∫∫∫∫∫∫⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−+
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−+−=
∞
∞−∞
∞−3341)]()([41 ，分别为M Q Q Q Q Q Q M M M M M M γβαζηξ⋅=⋅=⋅=,,其中：Q 在x 、y 、z 轴上的分量。

上式第二个积分为奇函数在对称区间上的积分，其值为0，而积分
∫∞
∞
−−+−−=223)()(2
ζξηz x r d s s s s s s l M k i M k M i M M K K K
K K K ⋅=+=+=)(γαζξ为二度体的有效磁化强度，取
若取k z i x r K K K
)()(ζξ−+−=，则由上面二式可得。

{}{
}
∫
∫∫
∇⋅−=⋅−=−+−−+−−
=s
p s s s s s
ds r M ds r r l M d d z x z M x M
U )(ln 2121)()()()(212
2
2K
K
K π
πζξζξζξπ
ζξ
（3.1-19）
s l K 可由（3.1-2）、（3.1-3）二式求出。

上边的、s M s αs γ的方向余弦和s t K
，方向余弦为，则有 ),(s s N L 取二度体磁场有效分量方向为∫
∫
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⋅∇⋅−=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧
∇⋅∇⋅=
∂∂−=s s p s s s p s p s ds r r l t M ds r M t t U T )(24)1(ln 242000K
K K K K π
μπμμ 因为
{}
s s s p p s s p l r r r l r r l r r r l r r l K K K K K K K
K K
K 24222)(21)(1)1()()(−⋅⋅−=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⋅∇+∇⋅=⋅∇
所以有 {}
∫⋅−⋅⋅=
s s s s s s ds l t r r t r l r M T )())((2224
0K K K G K K πμ （3.1-20）
类似于（3.1-13）或（3.1-14），有
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧+=∂∂−=∇⋅=∂∂−=∇⋅=∂∂−=a s a s s p a p a Z N H L t U T U i x U H U k z U Z K K K 00
00
0)0,1(,)1,0(,μμμμμ方向余弦方向余弦 （3.1-21）
二、磁荷面积分公式
已知散度公式为
1(1
)(
γ
γ
γ
Q Q Q Q Q
Q M M div M div ∇⋅+⋅=
K K K
Q Q Q Q Q M div M div M K K
K γ
γγ1
)()1(−=∇⋅，则
移项得：∫∫∫−
=∇⋅=v v v
Q Q
Q Q Q dv M div dv M div dv M 1(41
)(
41
)1(41γπγ
π
γπK
K K
U 按照格林定理
ds n M dv M div v
s
Q
Q Q
Q ∫
∫
⋅=γ
γ
K K K
)(
式中，S 为包围磁性体的表面，为S 面Q 点的外法线方向。

因此
Q n K
dv M div ds n M U Q v
s
Q
Q γ
π
γ
π
14141⋅−
⋅=
∫
∫
K K K
（3.1-22）
Qn Q Q Q M N M =⋅=K
K
σ上式表明，磁性体在P 点的磁位，等于磁荷面密度的各个表面和磁荷体密度为Q Q Q M div K
−=ρ的磁体在P 点引起的磁位之和。

M M Q K K
=当均匀磁化时为常矢量（包括磁化率均匀且剩磁为常矢量），此时，因此
0=Q Q M div ⎪⎩
⎪⎨⎧⋅==∫Q Q Q s Q
n M ds U K K σγσπ41
（3.1-23）
上式为均匀磁化体在P 点的磁位，等于该磁体外表面磁荷在该点磁位的总和。

凡是由一
些平表面所围成的形体，利用磁荷面积分公式计算其磁场是方便的，每一面的M 是一常量。

Qn 根据位场关系式，可得磁场T 的表面磁荷积分形式
∫⋅=∂∂−=s Q ds t t
U T 30
04γγσ
πμμK K K （3.1-24） 若将U 分别对x 、y 、z 求导数即可求得磁场各分量积分式：
⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎪⎬⎫
−==−==−=
=
∫∫∫∫∫∫s s Qn
Qn az s
s Qn Qn ay s
s Qn Qn ax ds z M ds z M H ds y M ds y M H ds x M ds x M H 3020
3
020
3
020
)(4),cos(4)(4),cos(4)(4)
,cos(4γζμγγμγηπμγγπμγξπμγγπμ （3.1-25）
由以上公式可知，当形体给定以后，只要确定M Qn 与积分限，代入上式完成面积分后即
可求出磁性体磁场。

若对（3.1-23）、（3.1-24）式沿η−∞∞方向，由积分到，不难得到二度体表面磁荷积分表达式：
∫
∫⋅=−
=Γ
ΓΓΓγ
σπ
μσπ
dl
r t T dl r
ln U 20
21
21K K
（3.1-26）
式中，是二度体的边界。

Γ三、重磁位场的泊松公式
一个均匀磁化且密度均匀的物体，其磁位和引力位的解析式间存在一定的关系式，利用这种关系式，可使我们较方便地计算磁性体的磁场。

一个体积为v 、密度均匀的物体之引力位为
∫=v dv r
G V 1
σ
（3.1-27）
式中G 为引力常数，为密度差。

同一均匀磁化物体的磁位由（3.1-12）式为
σ∫∇⋅−=v p dv r M U 1
41K π
（3.1-28） 将（3.1-27）式代入（3.1-28）式，可得：
V M G U p ∇⋅−=K σ
π41
（3.1-29）
上式即为磁位与引力位间的泊松公式。

该式表明，同一个既均匀磁化又密度均匀物体的磁位，可由其引力位来计算。

若已知物体的引力位，利用泊松公式可求得计算磁场各分量的表达式，根据场位关系有
[][][]⎪⎪⎪⎭⎪
⎪⎪⎬⎫
++=
++=++=
zz z yz y xz x a zy z yy y xy x ay zx z yx y xx x ax V M V M V M G Z V M V M V M G H V M V M V M G H σπμσπμσ
πμ4440
00 （3.1-30）
对二度体（即沿走向为无限长的物体），因引力位与坐标变量y 无关，故有 ⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫+=
=+=
][40
][40
zz z xz x a ay zx z xx x ax V M V M G Z H V M V M G H σπμσπμ
（3.1-31）
（3.1-30）和（3.1-31）式是利用给定磁性体的引力位导出磁性体磁场表达式的基本公
式。

因而对于一些已知重力位表达式的二次曲面围成的形体，利用泊松公式，即可方便地得到磁场表达式。

四、磁性体磁场的数值规律
通过对磁场积分表达式的进一步研究，可以得到下面几种规律性的认识。

这些规律，可以给出求解磁场正演问题的具体途径，可以简化场的转换，因而是很重要的。

（一）三度体磁场等值互换和规格化公式
l l Q K
K =，此时（3.1-17）式变为：
若整个磁性体磁化方向为固定方向，即有
{
}
∫
⋅−⋅⋅=v
Q
dv l t r r t r l r M T )())((3425
K K K K K K π
μ
（3.1-32）
按规定：l 为磁化方向、K t K
为磁场方向，为了讨论方便，记T 为。

考虑到
lt T ))(())((),()(r l r t r t r l l t t l K K K K K K K K K K K K ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅
故二矢量在上式中处于同等地位。

因此当磁化方向为t t l K K ,K
、磁场方向为，即T 为l K tl
T 时，T 数值不变，就是说有下式成立：
（3.1-33）
tl lt T T =l K
于是得到如下重要规律：具有固定形状、位置和M Q 值的磁性体，其方向磁化在P 点产
生的t K 方向的磁场，恰等于其t K
方向磁化在P 点产生的l K 方向的磁场。

用图3.1-4，示意如下：
图3.1-4 磁场方向与磁化方向等值互换示意图
在特殊情况下，由（3.1-32）直接得到 kj jk ki ik ji ij T T T T T T ===,,
（3.1-34）
另外，由（3.1-32），很容易推导出
)(kk ii jj T T T +−=
（3.1-35）
还可以把（3.1-32）写成如下形式：
{}{}
kt
jt it v v Q Q lt T
T T dv
t r r t r r
M k j i dv t r r t r r M l T γβαγβαπμπμ++=−⋅⋅++=
−⋅⋅=
∫∫
K K K K K K K K K K K K 25025
0)(3)(4)(34 （3.1-36） 其中，γβα,,为l 磁化方向余弦，T K
it 、T jt 、T kt 分别为沿x 方向磁化、沿y 方向磁化、垂直
磁化的P 点处方向的场。

t K
l K t K
（3.1-36）式表明：具有磁化强度模为M 方向磁化在P 点产生的的磁性体，其沿Q 方
向的场，恰等于该磁性体沿x 方向磁化在P 点产生的t K
方向场乘α加该磁性体沿y 方向磁化在P
点产生的t K
加该磁性体垂直磁化在P 点产生的场乘γβ方向场乘之和。

T 的方向余弦为L 、M 、
N 则T it 、T jt 、T kt 可进一步写为
⎪⎩⎪⎨⎧++⋅=++⋅=++⋅=kk kj ki kt jk jj ji jt ik ij ii it NT
MT T L T NT MT T L T NT MT T L T （3.1-37）
把上式代入（3.1-36），考虑到（3.1-36）~（3.1-35）各式，经整理得： l I t t I l T T
T
lt ==
（3.1-38）
⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=N M L t T T T T T T T T T I l kk kj
ki jk jj ji
ik ij ii ,,γβα
（3.1-39）
是3×3的场分量对称矩阵。

因为
I t l ,式中，分别为磁化方向向量与磁场方向向量，
⎪⎩
⎪⎨⎧=========)
(,,)(,,)(,,垂直磁化轴磁化沿轴磁化沿k a kk k ay kj k ax ki j
a jk j ay jj j ax ji i a ik i
ay ij i ax ii Z T H T H T y Z T H T H T x Z T H T H T （3.1-40）
因此，考虑到对称性，有
⎟
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=k a k ay k ax
k
ay j ay j ax k
ax j ax i ax Z H H H H H H H H I （3.1-41）
),(),(),(),(),(),(k k 、j k 、i k 、i j 、
i i t l K
K K
K K
K K
K K
K K
K =，容易得出： 由（3.1-36）式，令{}
{}{}{}
{
}
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧+−=−+−−−=−−=−−=−−=−+−−−=∫∫∫∫∫)
(])()[()(24))((34))((34))((34])()[()(2422250
2
5050502
2250k a i ax j ay
v Q k a v Q k ay v Q
k ax v Q j ax v Q i ax Z H H dv y x z r
M Z dv
y z r M H dv
x z r M H dv x y r M H dv
z y x r M H ηξζπμηζπμξζπμξηπμζηξπμ （3.1-42）
此式与（3.1-38）结合使得T lt 的正演过程规格化。

（二）二度体磁场等值互换和规格化公式
k N i L t K K K
+=设，即磁性体磁化方向不变，且l l s K K =s t K ，则（3.1-20）式变为
简记为{}
∫⋅−⋅⋅=
s s ds l
t r r t r l r M T )())((2224
0K K K K K K πμ （3.1-43）
类似对（3.1-32）式论述，由（3.1-43）得场互换公式 ki ik kk ii tl lt T T T T T T =−==,,
（3.1-44）
而场的规格化公式为
⎪⎩
⎪
⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===N L t Z H H Z T T T T I l l I t t I l T k a k a k a k a kk ik ki ii T T lt ,,,,γα （3.1-45）
{}{}
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧−−−=−−=∫∫s s k a s s
k a ds x z r M Z ds x z r M H 2
2404
0)()(2))((22ξζπμξζπμ 当时，其特殊形式为
k i t K
K K ,=⎩⎨⎧+=−=k a
k a a k
a k a a Z H Z Z H H γααγ （3.1-46）
（3.1-45）、（3.1-46）式表明，只要求得垂直磁化场分量，即可求得斜磁化的以及T 。

k
a k a Z H ,a
a Z H ,二度体中某些规则形体具有一定的倾向，沿倾向磁化称为顺层磁化。

我们把顺层磁化的
场分量写为，其方向余弦为（a a Z H ′′′′,a a Z H ′′′′,////,γα）。

也可以给出以为场基本元素的规格化公式，推导如下：
由（3.1-46）式可给出如下二式：
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛k a k
a a a k a k a
a a Z H Z H Z H Z H ////////,γααγγααγ 因为是单位正交矩阵，其逆为其转置，故 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−////////γααγ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛a a a a a a k a k
a
Z H Z H Z H Z H ////////////////,γααγγααγγααγ，进而有
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛a a
a a Z H Z H ////////////
////γγαααγγαγααγααγγ，即
()()(⎩⎨
⎧′′++′′−=′′−−′′′′+=a a a
a a
a Z H Z Z H H ////////////////)(γγααγααγγααγγγαα) （3.1-47）
（3.1-47）就是以为基本元素的规格化公式。

a a
Z H ′′′′,a a Z H ′′′′,代替（3.1-45）中的，有
k
a k a Z H ,另外，以t Z H Z H Z H Z H l T a a a a
a a a a
T lt ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛′′−′′−′′+′′′
′+′′′′−′′=)(////////////////γααγαγγα
（3.1-48）
)sin ,(cos ),(),sin ,(cos ),(////ββγαγα==s s i i β，取为二度体倾角，（3.1-46），（3.1-47）二式变为
⎩
⎨⎧+=−=k a s k a s a k
a s k a s a Z i H i Z Z i H i H sin cos cos sin （3.1-49）
⎩⎨⎧′′−+′′−−=′′−+′′−=a s a s a
a s a
s a Z i H i Z Z i H i H )cos()sin()sin()cos(ββββ
（3.1-50）
T Δlt T 当时，)sin ,(cos ),(),(D D s s i i N L ==γα即为特殊情况时的，代入（3.1-45）式，经整理易得
k a s k a s s k a s k a Z i H i i Z i H T )902sin()902cos(2cos 2sin D D D D D D −+−=−=Δ
（3.1-51）
式中，是地磁场在O D s i xy 面内的有效磁倾角。

lt T 当时，)sin ,(cos ),(),sin ,(cos ),(s s s s i i i i N L ==γαD D 为磁化方向与地磁场方向不同时的最。