高等土力学 土工试验与测试：1.3 实验本构关系

1.3-1（a）σ1-σ3∽ε1双曲线
§1 土工试验与测试
邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一 种目前被广泛应用的增量弹性模型，一般被称为邓 肯—张（Duncan-Chang）模型。
邓肯-张双曲线模型的本质在于假定土的应力应 变之间的关系具有双曲线性质，见图1.3-1(a)。
(2)切线变形模量Et邓肯—张计算公式 在常规三轴压缩试验中，式（1）也可以写成
图1.3.12 亚粘土的(σ1-σ3)~ε1和 ε1~εv关系曲线
§1 土工试验与测试
不同周围压力σ3下的试样破坏应力值列于表1。
表1 亚粘土在不同围压下的破坏应力值
σ3 /Mpa
σ1 /Mpa
(σ1-σ3)f /Mpa
0.1
0.3420
0.2420
0.2
0.6179
0.3179
0.3
0.8257
Et
= Ei
⎡
⎢1 ⎢⎣
−
R
f
σ1 −σ3 (σ1 − σ 3 ) f
⎤2 ⎥ ⎥⎦
(12)
§1 土工试验与测试
又根据莫尔－库仑强度准则，有:
(σ1 − σ 3 ) f
=
2c cosϕ + 2σ3 sinϕ 1− sinϕ
(13) lgEi/Pa
如果绘出lg(Ei/Pa)与lg(σ3/Pa)
直线，则其截距等于lgK，斜率等
或者
b= 1
(σ1 − σ 3 )ult
（5） （6）
§1 土工试验与测试
由此可看出b代表的是双曲线的渐进线所对应的极 限偏差应力(σ1-σ3)ult的倒数。
在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线
关系，则往往是根据一定的应变值（如ε1=15%）来确 定土的破坏强度(σ1-σ3)f，而不可能在试验中使ε1 无限大来求取(σ1-σ3)ult；对于有峰值点的情况，取 (σ1-σ3)f =(σ1-σ3)峰，这样(σ1-σ3)f<(σ1σ3)ult。于是要定义破坏比Rf为：
n 1
于n，参见图1.3-2。
注：Pa为大气压，单位与Ｅi相 lgk
同，以便使Ei/Pa、/Pa成为无量
lg 3 /Pa
纲数
图1.3-2 lg(Ei/Pa)与lg(σ3/Pa) 间的试验关系图
§1 土工试验与测试
K、n为无因次基数和无因次指数,是决定于土质的 试验常数，由lg(Ei/Pa)与lg(σ3/Pa)直线关系确 定，其截距为lgK、斜率为n。
σ
Stress
strength Strain ε
§1 土工试验与测试
①土的典型应力-应变关系
σ1
σ
弹性塑性应变硬化 理想弹性塑性 弹性塑性应变软化
②普通三轴试验所获 应力应变关系曲线
σ2=σ3
ε
轴向应变ε (1%)
§1 土工试验与测试
土的本构模型大体上可分为弹性模型、弹塑性模 型、粘弹塑性模型、内时塑性模型等几类。
Ei为初始切线模量，Ei＝1/a, Pa大气压力。
由图1.3-2可知,上述参数可用下如关系表达:
lg Ei = lg k + n lg σ 3
Pa
Pa
Ei
=
KPa
σ
(
3
Pa
)n
（14）
§1 土工试验与测试
将式（13）和式（14）代入式（12）则得到任一应力
（σ1，σ3）时的切线模量的邓肯－张计算公式：
⎫2
⎪⎪⎨1 − ⎪ ⎪⎩
Kpa
(σ3
pa
)n
D(σ1 − σ3 )
⎡ ⎢1 ⎣
−
Rf (σ1 −σ3)(1− sinϕ 2c cosϕ + 2σ3 sinϕ
)
⎤ ⎥ ⎦
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
（20）
这样在切线泊松比Vt的计算公式中又引人了G、F、D等3 种材料常数，加上Et中的5个常数，共有8个常数： K、n、c、φ、Rf、G、F 、D
=
a + bε1
在常规三轴压缩试验中，由于
dσ2=dσ3，所以切线模量为：
Et
= Δσ 1 Δε1
=
Δ(σ1 − σ
Δε1
3
)
=
d (σ1 − σ3 )
dε1
图 1.3-1（b）ε1 /(σ1 − σ 3 ) ~ ε1
因为 σ1 − σ 3 = 1
ε1
a + bε1
所以
Et
=
d (σ1 − σ 3 ) dε1
土的应力应变关系十分复杂，除了受时间影响 外，还受温度、湿度等因素影响。其中时间是个主要 影响因素，与时间有关的土的本构模型主要是反映土 流变性的理论。而在大多数情况下，可以不考虑时间 对土的应力-应变和强度（主要是抗剪强度）的影响。
§1 土工试验与测试
What is constitutive law?
Stress-strain relationship
(σ − ε )
Stress-strain-strength relationship (σ − ε − τ f )
Stress-strain-time relationship
(σ − ε − t )
Stress-strain-temperature relationship (σ − ε − T )
将式（10）代入式（3），得：
Et
=
a
⎡ ⎢a ⎣
+
ab(σ1 − σ 3 ) 1− b(σ1 − σ 3 )
⎤ ⎥ ⎦
2
=
1
a
⎡ ⎢1 ⎣
+
1
b(σ1 − σ 3 ) − b(σ1 − σ 3
)
⎤ ⎥ ⎦
2
=
1
a
⎡ ⎢⎣1
−
1
b(σ1
⎤2
−
σ
3
)
⎥ ⎦
(11)
将式（8）、式（4）代入式（11），得:
§1 土工试验与测试
(1)邓肯-张双曲线模型的本质 1963年，康纳（Kondner）根据大量土
的三轴试验的应力应变关系曲线，提出可以 用双曲线拟合出一般土的三轴试验 (σ1 −σ3) ~ εa 曲线，即
σ1
−σ3
=
a
εa + bε a
（1）
σ1
σ2=σ3
其中，a、b为试验常 数。对于常规三轴压缩 试验，轴应变εa=ε1。
σ1
−σ3
=
a
εa + bε a
（1）
εa σ1 −σ3
= a + bε a
即：
ε1 σ1 −σ3
= a + bε1
（2）
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将常规三轴压缩试验的结果按
ε1 σ1 −σ3
~ ε1
的关系进行
调整，则二者近似成线性关系，如图1.3-1(b)。其
中，a为直线的截距；b为直线的斜率。
ε1 σ1 −σ3
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1.3.3 三轴试验确定邓肯-张双模型８大参数的方法
(1)所需试样数量(固结排水剪切试验) 为了能通过三轴试验的数据推导出邓肯-张模型的参数，需
要分别在至少4级围压下做实验，每级围压应做3个试件，因 此，至少要做12个试样：
注：围压σ3大小应与工程的实际荷载相适应，尽可能使最大围 压与土体的最大实际荷载大致相等，也可按100、200、300、 400kPa施加周围压力（TB10102-2004）。
Rf
= (σ1 −σ3 ) f (σ1 − σ 3 )ult
（7）
研究表明，破坏比Rf值一般在0.75—1.0之间。
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由式(7)求得(σ1-σ3)ult并代入(6)得：
b=Fra Baidu bibliotek
1
=
Rf
(σ1 − σ 3 )ult (σ1 − σ 2 ) f
（8）
将式（8）、式（4）代入式（3）中，得：
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1.3.3 三轴试验确定邓肯-张双模型８大参数的方法
(2)读数方法 对每个试样，实验结束
后，可得到轴力N，轴向变形ε 和体积变形V系列值，如以试样 S3-1-1为例：
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(3)主要试验步骤为 ①记录体变管的初始读数； ②对试样加围压σ3，并在围压下固结，并记下排
§1 土工试验与测试
(4)试验数据整理 对试验数据进行整理，
可得周围压力σ3分别为 100kPa，200kPa，300kPa， 的主应力差σ1-σ3与轴应变 ε1之间的关系，以及轴应变 ε1与体积应变εv 之问的关 系(见图1.3.12)。在试验 中，取轴向应变为15％所对 应的主应力差为试样的抗剪 强度。
这些模型有的是理论推导模型，有的主要是根据 试验成果拟合推导模型。
本节介绍的是与时间无关的试验本构模型－邓肯张双曲线模型。
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1.3.2邓肯-张双曲线模型 到目前为止，国内外学者提出的土体本构模型
不计其数，但是真正广泛用于工程实际的模型却为数 不多，邓肯-张模型为其中之一。该模型是一种建立在 增量广义虎克定律基础上的非线性弹性模型，可经反 映应力～应变关系的非线性，模型参数只有８个，且 物理意义明确，易于掌握，并可通过静三轴试验全部 确定，便于在数值计算中运用，因而，得到了广泛地 应用。
试验表明土的初始泊 松比Vi与试验围压σ3有 关，将它们画在单对数坐 标中，可假设是一条直 线，见图1.3.3（c）。
（c）ν i ~ lg(σ3 / pa ) 关系
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由图1.3-3（c）可知：
vi = f = G − F lg(σ3 / p3) （18）
G，F为试验常数，其确定见图1.3-3（c）。
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§ 1.3 土的试验本构关系模型－Duncan-Chang模型 1.3.1 概述
土力学问题可分为二大类：变形问题和稳定问题。 变形计算中必须用到土的本构关系，即土的应力应 变关系式，也称本构定律（constitutive law）、本 构方程（constitutive equation）。
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(4)切线泊松比Vi邓肯—张计算公式
邓肯等人根据一些试验资料，发现在常规三轴压缩试
验中，轴向应变ε1与侧向应变ε3之间也存在双曲线关 系，见图1.3-3（a）。
ε1 =
f
−ε 3 + D(−ε3 )
（16）
或者
−ε3 / ε1 = f + D(−ε3 ) = f − Dε3
（17）
将式（16）微分，得：
vt
= −dε3 dε1
= (1− Dε1) f + Dε1 f (1− Dε1)2
=
vi
(1− Dε1)2
（19）
将式（4）、式（8）、式（10）和式（18）代入式（19）， 则得到任一应力（σ1，σ3）时的泊松比的邓肯－张计算 公式：
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vt = ⎧
G − F lg(σ3 / pa )
=
a
(a + bε1)2
（3）
§1 土工试验与测试
在试验曲线的起始点，ε1=0，Et=Ei，则
( ) Ei = Et ε1 →0 =
a
a + bε1
2
=
1 a
（4）
这表明a代表的是在这个试验中的起始变形模量(初始切 线模量)的倒数。在式（1）中，如果ε1→∞，则：
(σ1
− σ 3 )ult
=
1 b
水管的读数； ③开动马达，合上离合器，（若是固结排水剪）
按0．0065%/min的剪切应变速对试样加载。按百分表 读数为O，30，6O，90，120，150，180，210,240， 300，360，420，480，540，600，660 ⒝⒝的间隙记读 排水管读数和量力环量表读数，直到试样破坏为止。 取低应变速率的目的是保证剪切过程中不产生孔隙水 压力。
Et
=
Kpa
σ
(
3
pa
)n
⎡⎢1 − ⎣
Rf (σ1 − σ 3 )(1− sin ϕ) ⎤2
2c cosϕ + 2σ3 sinϕ
⎥ ⎦
(15)
可见切线变形模量的公式中共包括5个材料常数：K、 n、φ、c、Rf。
(4)切线泊松比Vi邓肯—张计算公式 邓肯等人根据一些试验资料，发现在常规三轴压缩试 验中，轴向应变ε1-与侧向应变ε3之间也存在双曲线 关系，见图1.3-3（a）。
0.5257
①c、φ值 由表1可绘出不同围压 力下的摩尔应力圆(见图 1.3.13)，从图中可得： C＝32kPa,φ=26.1o
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②Ei、Rf值 因实际的应力应变并非完全全符合所假定的双
曲线，往往在开始和最后接近破坏的一段，将(σ1σ3)～ε1应力应变双曲线关系转换成[ε1 /(σ1σ3)]～ε1直线关系时，试验数据对线性关系有偏 离，为了减少人为因素，使整体符合得好，在取a （直线的截距，a=1/Ei）值和b(b=1/(σ1-σ3)ult) 值时，使直线通过应力水平S=70%及S=95%的点，据 此可获得表2的结果。由表2可绘出[ε1 /(σ1σ3)]～ε1的关系直线（如图1.3.14所示）。由图3 可确定a、b值，并进一步得到Ei、Rf值（见表3）.
⎡
⎤2
Et
=
1 Ei
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1 Ei
+
1 Rf
(σ1 − σ 3 ) f
⎥
⎥
ε1
⎥ ⎥ ⎥⎦
（9）
式（9）中Et表示为应变ε1的函数，使用时不够方便 ，可将Et表示为应力的函数形式。从式（1）可以得 到：
§1 土工试验与测试
从式（1）可以得到：
ε1
=
a(σ1 − σ 3 ) 1− b(σ1 − σ 3 )
（a）ε1-ε3双曲线 （b）-ε1/ε3～-ε3线性关系
§1 土工试验与测试
从式（17）可以看出，试验得到的-ε3/ε1与ε3 的关系为直线关系，见图1.3-3（b）,从而可确定截 距f与斜率D。
从式（17）和图1.3-3（b）可见，当-ε3→0时， (-ε3/ε1)=f=vi，vi即为初始泊松比，D为ε1～ε3关系渐进线的倒数（见图（1.3.10a））。