第一章误差分析的基本概念

第一章 误差分析的基本概念

§1 误差的来源

1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。 2． 产生误差的主要原因

① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。

② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。这种由观察产生的误差称为观测误差。

③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。

④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。 3.举例说明

例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2

有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。

例2 已知x

e 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑

∞

==

n n

x

!

n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈

1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~

=2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828

21

5

...!=-≈∑∞

=n n

这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。

例3.π=3.1415926…；2=1.41421356…，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数点后四位小数则：1ρ=π-3.1416 =-0.0000074…；2ρ=2-1.4142=0.000013…就是舍入误差。另外值得一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部分小数，如 ()()2100110001100110.01.0⋅⋅⋅⋅⋅⋅=存储时会引起舍入误差。这个数制转化问题表明：只要计算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。

总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。在计算方法这门课程中，截断误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。

§2 绝对误差 相对误差 有效数字

定义1：设x 为准确数，*x 为x 的近似值，记e *=x-x * 称e *为x 与x * 的误差，也叫x 与x *的绝对误差。显然，x= x *+ e * 即近似值加误差就是准确值，因此把e *也叫做近似值x *的修正值，或者说近似值加上修正值就是准确值。

误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似”，当误差为正时，近似值偏小，叫做“弱近似”。

例1 x=π=3.14159265… 按四舍五入的原则保留不同位数的小数，计算其误差。

用一位数字近似表示π 31=*x 14159265.0*1≈e

用三位数字近似表示π 1433.*

=x 00159265.0*3≈e

用五位数字近似表示π 141635.*=x 00000735.0*5-≈e

用六位数字近似表示π 1415936.*

=x 000002650e 6.*≈

定义2：如果*

**||||ε≤-=x x e *ε就叫做近似值x *的“误差限”，也叫绝对误差限。误差限一定是

一个正数。我们常用**ε±=x x 来表示近似值*x 的精确度或准确值所在的范围（*

***εε+-x x ，）

。 现在引入有效数字的概念。如果近似值*x 的误差限是某一位上的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，我们就说*x 有“n 位有效数字”，或者说*x 准确到该位。用四舍五入法取准确值的前n 位作为近似值*x ，则*x 有n 位有效数字。

以下观察有效数字的位数n 与误差限之间的关系

005.0102

1

00159265

.0||2*

3=⨯≤

=--x π 3位有效数字 1

23

4

1.3

00005.0102

1

00000735.0||4*

5=⨯≤

=--x π 5位有效数字 1

23456141.3

000005.0102

1

00000265

.0||5*

6=⨯≤

=--x π 6位有效数字 1

23456

95141.3

定义3：若用*x 表示x 的近似值，并将*x 表示成*x =±p n 100321⨯α⋅⋅⋅ααα., （i α及p 为整数,

911≤≤α;90≤α≤i , n i ≤≤2）若其误差限为

n p x x -⨯≤

-1021|*|

就称近似值*

x 具有n 位有效数字.

利用定义3，由有效数字位数n 和近似值*

x 可以确定误差限：n

p -⨯1021

。

注意，首先需要特别指出的是，在有效数字的记法中，有效数字0.123×10-3 和0.1230×10-3是有区别的，前者只有三位有效数字，后者却有四位有效数字；其次，如果只知道x * =300000的绝对误差限不超

过500=

3102

1

⨯，则应把它写成300×103或3.00×105,如果仍记为300000，则表示它的误差限不超过0.5，

这是因为前者有三位有效数字，后者有六位有效数字；再次，还需要指出的是，一个准确数字的有效位数，应当说有无穷多位。例如对于1/4=0.25不能说只有两位有效数字。

例2 若*x =3587.64是x 的具有六位有效字的近似值，那么它的误差限为

005.01021

1021||264*=⨯=⨯≤

---x x

定义4：称x x x x e e r

***

-==为近似值*x 的相对误差，当*

r e 比较小时，有时也把**x

e 称

为近似值*x 的相对误差。相对误差无量刚。相对误差可正可负。我们把相对误差绝对值的上界叫做相对误

差限，记作*

r ε=*ε／|*x |, 其中*ε是*x 的误差限(*ε也叫绝对误差限)。

推论1. 近似数p

n *....x 10021⨯±=ααα（n 、i α及p 为整数, 1≤1α≤9; 0≤i α≤9, 2≤ i ≤n ）有n 位有效数字，则其相对误差限为：

()

1n 1

r

10

21x --⨯≤

=αεε|

|**

*

证明： 由于p n x 10021⨯ααα±=....*有n 位有效数字，故*x 与x 的绝对误差限应为

n

p x x -⨯≤

-102

1

||*

由相对误差限的定义得: