微分方程附其解几何解释

§2 微分方程及其解的几何解释

一．[内容简介]

本节给出微分方程及其解的几何解释.

二．[关键词] 积分曲线，线素场，等斜线

三．[目的与要求]

弄清方向场和微分方程的积分曲线的几何意义.

四．[教学过程]

由§1可以看到，给定平面上一个单参数曲线族0),,(=C y x f ，可以通过求微分得方程

0=∂∂+∂∂dy y

f dx x f 。 从这两个方程消去任意常数C ，即得此曲线族所满足的一阶微分方程。

反过来，当某些一阶微分方程的通解或通积分已经找到后，也可以用平面上的一个曲线族来表示它。 现对一阶微分方程

),(y x f dx

dy = )1.2( 来讨论求解此方程的几何意义。

设有一平面区域G （可能就是全平面），),(y x f 是G 内给定连续函数。设)1.2(有一解

:Γ )()

(I x x y ∈=ϕ )2.2(

其中I 是这个解的存在区间。

显然函数)(x y ϕ=在),(y x 平面上的图象是一条光滑曲线，它称为方程)1.2(的一条积分曲线，仍记为Γ。

任取一点Γ∈),(y x P ，即I x ∈，)(x y ϕ=。由于)(x y ϕ=满足方程)1.2(，所以从导数的几何意义得出，曲线Γ在P 点的切线斜率为 ),())(,()('y x f x x f x ==ϕϕ。

上述等式说明：一阶微分方程)1.2(的积分曲线是这样一条曲线，在它上面的每一点),(y x 的切线斜率等于已知的),(y x f 。这就是一阶微分方程)1.2(的解的几何意义。

下面介绍线素场的概念。给了一阶微分方程)1.2(，对于区域G 内每一点),(y x P ，都可以作一斜率为)(P f 的小直线段)(P L ，来标明积分曲线在该点的切线方向，称)(P L 为微分方程)1.2(在P 点的线素。对于区域G 内每一点都这样作，而称区域G 连同上述全体线素为微分方程)1.2(的线素场（或方向场）。

由此可见，在方程)1.2(的积分曲线上的每一点处，积分曲线与)1.2(的线素场的线素相切；反之，若一条曲线在它上面的每一点与)1.2(的线素场的线素相切，则该曲线就是微分方程)1.2(的积分曲线。

在线素场中，线素斜率等于常数k 的那些点所构成的曲线k L ，称为等斜线，微分方程)1.2(的等斜线方程为k y x f =),(，其中k 是参数。

给出参数k 的一系列充分接近的值，就可以得到足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程)1.2(的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。显然，极值点和拐点如果存在的话，一般他们分别满足方程0),(=y x f 及0),(),(),(=∂∂+∂∂y

y x f y x f x y x f 。 利用线素场可以近似地描绘出积分曲线，在利用线素场研究积分曲线的分布状况时，作出等斜线常常是有帮助的。

例1 作出微分方程

x

y dx dy = )3.2( 的线素场。

解 在),(y x 平面上，除原点)0,0(O 外，方程)3.2(都规定了线素场，如图所示。容易看出，对任意常数k ，直线族kx y =是方程)3.2(的积分曲线。只要让

dx dy 取值无穷，或者考察方程y

x dy dx =，可知Oy 轴也是积分曲线。 由于方程)3.2(在原点)0,0(O 处不能规定线素，因此，它的积分曲线应是不包含原点的直线族kx y =，或者更确切地说是从原点出发的半射线。

例1 作出微分方程

y

x dx dy -= )4.2( 的线素场。

解 方程)4.2(的线素场由函数y

x -确定，由于 1)(-=-⋅y

x x y 。 可知此线素场在各点上的线素的方向与)4.2(的线素场的方向垂直。换句话说，在过坐标原点的每一条直线上，微分方程)4.2(的线素方向都与该直线垂直，如图。

所以方程)4.2(的积分曲线是以坐标原点为中心的同心圆族2

22C y x =+，其上每一点恰好与线素场在该点的方向相切。

注意：当0=y 时，方程)4.2(失去意义。但从线素场的观点看，在x 轴上的任一点，线素场的方向是竖直的。为此我们可以用方程

x

y dy dx -= 代替原方程)4.2(，而将x 看作y 的单值函数。

若将一阶方程写成关于x 和y 的对称形式：

0),(),(=+dy y x Q dx y x P )5.2(

则当0),(00≠y x Q 时，在),(00y x 点附近，方程)5.2(等价于

)

,(),(y x Q y x P dx dy -=。 当0),(00≠y x P 时，在),(00y x 点附近，方程)5.2(等价于

)

,(),(y x P y x Q dy dx -=。 而且，当0),(00≠y x P 和0),(00≠y x Q 时，这两种表达方式是一致的，即他们给出相同的线素场。只有当0),(),(0000==y x Q y x P 时，在点),(00y x 读方程)5.2(无法定义上述线素，这样的点称为微分方程)5.2(的奇异点。

将)4.2(改写成对称形式，即

0=+ydy xdx )6.2(

由此积分，即得

C y x =+22 )7.2(

这种用隐函数方式给出的通解)7.2(，叫做方程)6.2(的通积分。

习题1—2

1．作出如下微分方程的线素场：2

2'y x y +=。

解 令k y x =+22（0≥k 为常数），因而在圆k y x =+22上的每一点处，线素场的方向都相同。 取 ,2,1,2

1=k ，就能作出如图的线素场的大致情形。 2． 利用线素场研究如下微分方程的积分曲线：xy y +=1'。