201410 第四讲__Gabor变换和加窗Fourier变换

+∞ −∞
ψ
b,a
(t)
2
dt
1 2
=
a
−1 2
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
+∞
ψ
(
t
−
b
)
2
dt
⎫⎪ 2 ⎬
−∞
a
⎭⎪
1
1
∫ ∫ =
a
−1 2
i
a
1 2
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
+∞
ψ
(t
−
b
)
2
d
(
t
)
⎫⎪ ⎬
2
−∞
a
a ⎪⎭
=
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
+∞
ψ
(t
−
b
)
2
dt
⎫⎪ ⎬
2
−∞
a ⎪⎭
=
ψ
2
________________________________________________________
(eiωt
ga
(t)W
(t
−
b))dt
=
+∞ −∞
eiωtW
(t
−
b)( lim a→+0
ga (t))dt
=
eiωtW
(t
−
b)
_______________________________________________________________
积分小波变换 （允许/稳定性条件 对偶）
积分小波变换
f
(t
)a
−
ψ1
2
(
t
−b a
)dt
其中ψ 叫小波基函数（即“基小波”），小波函数ψ b,a (t) 定义为：
其反演条件为：
ψ b,a (t) =
a
−
1 2
ψ
( t−b a
)
（1）ψ ，ψˆ 皆有 tψ ∈ L2 (IR) ,ωψ ∈ L2 (IR)
∫ （2）满足小波“容许性”条件： Cψ :=
+∞ ψˆ (ω) 2 dω < ∞ −∞ ω
−∞
4
∫ ∫ f (t) = 1 +∞
2π −∞
+∞ (Gb f )(ω)[eiωt ⋅W (t − b)]dωdb
−∞
∫ ∵ lim a→0+
<
g ,Wb ,ω
>
=
lim
a→0+
(Gb g)(ω)
=
lim
a→0+
+∞ (eiωt g(t)W (t − b))dt
_∞
∫ ∫ ⇒ lim a→+0
+∞ −∞
Gabor 变换另一种表达：
ω ∈ IR
∫ Gba f (ω) =< f , gba,ω (t) >=
+∞ −∞
f
(t)gba,ω (t)dt
其中定义 gba,ω (t) := eiωt ga (t − b)
利用能量守恒，我们可以得到时域窗和频域窗的对应关系：
Gba
f (ω) =<
f , gba,ω
S = 2ΔW ⋅ 2ΔWˆ ≥ 2
⇔
ΔW
⋅ ΔWˆ
≥
1 2
当窗函数为 ga (t) 时构成的窗为最小时频窗， 也即当且仅当W (t) = ga (t) 时等
号成立。
证明：不妨假定中心都在原点, x* = ω* = 0
{∫ } ΔW
=
1 W
+∞ t 2 W (t) 2 dt
1
2=
tW
2
−∞
W
2
2
∫ ∫ t2 W (t) 2 dti ω2 Wˆ (ω) 2 dω
1 W
4
(1 2
+∞ W (x) 2 dx)2 = ( 1 )2 = 1
−∞
24
2
ΔW iΔWˆ
≥ 1 <===> 2
2ΔW i2ΔWˆ
≥2
3
______________________________________________________________ 窗函数的反演讨论:
令W ∈ L2 (IR) 并且有 W = 1, 2
∫ ω ω ψ ω ω = *
1
ψˆb ,a
(t)
2 2
+∞ −∞
ˆb,a (
2
)d
{∫ } ⎪
1
⎪⎩Δ = ω
ψˆb,a (t ) 2
1
+∞ −∞
(ω
−
ω*
)2
ψˆ b ,a
(ω
)
2
dω
2
若令 a=1,b=0，则对应的四式分别为： tψ *, tψ ,ωψ *, ωψ
∫ ∫ ∵
ψ b,a (t)
2 2
定义: t* 为ψ 时窗的中心， Δt 为时窗半宽;
则有：
ω* 为频窗中心， Δω 为频窗半宽。
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪
∫ ψ t = t *
+∞ 1
ψ b,a
(t )
2 2
−∞
2
b,a (t) dt
{∫ } Δ = 1
t
ψ b,a (t ) 2
1
+∞ −∞
(t
−
t*)2
ψ
b,a
(t)
2
dt
2
证明：已知① 2π <
f , g >=< f , g > ；
② f (x) = 1 2π
fˆ (−x)
反函数
∫ 首先讨论 Δ =
+∞
<
−∞
f ,Wb,ω
><
g , Wb ,ω
>dω
∫ ∵< f ,Wb,ω >= (Gb f )(ω) =
+∞ (e−iωt f (t)W (t − b))dt
_∞
< f ,Wb,ω >= F[ f (t)W (t − b)] = F[Pf ] , 令 Pf = f (t)W (t − b) ; Pg = g(t)W (t − b)
IR
2
{ } 半宽： Δ := 1 W W
1
∫2
(ω − ω*)2 ⋅ W (ω) dω
2
R
2
2
_____________________________________________________________________
海森堡 测不准原理 任何的加窗W (t) 傅立叶分析的时频窗面积 S 有如下定义：
R
2
∫ 其中: F[Wb,ω (t)] = F[eiωtW (t − b)] = (eiωtW (t − b)e−iηtdt)
ξ =t−b
∫ = e−i(η−ω)(ξ +b)W (ξ )dξ
t =ξ +b
∫ = e−i(η−ω)b e−i(η−ω)ξW (ξ )dξ
= e−i(η−ω)bWˆ (η − ω)
(t
−
atψ
*
−
b)2
ψ
b,a
(t)
2
dt
2
1
∫ {∫ } =
1 ψ2
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
+∞ −∞
(a
⋅
t
−b a
−
atψ
* )2
ψ (x)
1
a2
2
dax
⎫⎪ ⎬
2
⎪⎭
=
1 ψ2
1
+∞ −∞
(ax
−
atψ
*
)2
ψ
(x)
2
如果再令 g = ga (i−t) 且让 a → 0+ ⇒ f (t) 反演 得到:在 f 连续的每个 t 有窗函数的反演式成立
∫∫ f (t) = 1
2π
< f ,Wb,ω >< g,Wb,ω >dbdω
∫ ∫ f (t) = 1 +∞
2π −∞
+∞[eiωt (Gb f )(ω)]⋅W (t − b)dωdb
∴(ΔW iΔWˆ )2 =
W 2 ⋅ Wˆ (ω) 2
2
2
∵ f ' (ω) = iω fˆ (ω) ⇒ fˆ ' (ω) 2 = ω2 f (ω)2
2
∫ ∫ t2 W 2 dt W ' (ω) dω
∴(ΔW iΔWˆ )2 =
2π W 4
2
引用 小波分析导论(崔锦泰著) P76 引理 3.6 (内容略)
1
a2
2
adx
∫ ∫ ∫ t*
=
1 ψ2
2
+∞
(ax
−∞
+ b) ψ
(x)
2
dx
=
a
1 ψ2
2
+∞ −∞
x
ψ
(x)
2
dx
+
b
1 ψ
2
2
+∞ −∞
ψ (x) 2 dx = atψ * + b
同理有一般式:
{∫ } {∫ } 1
1
Δt
=
1 ψ2
+∞ −∞
(t
−
t*)2
ψ
b,a
(t)
2
dt
2
=1 ψ2
+∞ −∞
=
+∞ −∞
ψ
b,a
(t)
2
dt
=
+∞
ψ
(x)
2
dx
=
ψ
−∞
2 2
令 x = t − b ,t = ax + b, dt = adx , a
且ψ b,a (t) =
a
−
1 2
ψ
(
t −b a
)
一般式有:
∫ ∫ t = *
1
ψ
2 2
+∞ −∞
t
ψ
b,a
(t
)
2
dt
=
1
ψ
2 2
+∞ −∞
(ax
+
b)
ψ (x)
1
如果有W ∈ L2 (IR) ，并且还有 tW ∈ L2 (IR) ， t 2W ∈ L2 (IR) 在这个意义下，定义的窗口 Fourier 为：
1
∫ (Gb f )(ω) = +∞ e−iωt f (t)W (t − b)dt −∞
类似的,如果令Wb,ω (t) := eiωtW (t − b)
Wˆb,ω (η) = e−i(η−ω)bWˆ (η − ω) 代入 (Gb f )(ω) 则有:
∫ ∫ (Gb
f
)(ω)
=
1 2π
+∞ −∞
fˆ (η)Wˆb,ω (η)dη
=
1 2π
e−iωb
fˆ (η)eiηbWˆ (η − ω)dη
∫ 和原定义式比较:
(Gb f )(ω) =
e +∞ −iωt
∫ 则有 (Gb
f
)(ω) =<
f ,Wb,ω
>=
1 2π
<
fˆ ,Wˆb,ω
>=
1 2π
+∞ −∞
fˆ (η)Wˆb,ω (η)dη
定义窗函数 W(t)的时域中心 x* 和半宽 ΔW :
∫ 中心： x* :=
1 W2
t ⋅ W (t) 2 dt
IR
2
{∫ } 半宽： ΔW
:=
1 W
1
(t − x*)2 ⋅ W (t) 2 dt 2
∫ ∫ ∫ 由此,
Δ=
+∞
(Gb f )(ω) ⋅ (Gb g)(ω)dω =
−∞
+∞ −∞
Pf
iPg dω
=
2π
+∞ −∞
Pf
i Pg
dt
∫ ∫ Δ = 2π +∞ f (t)W (t − b)ig(t)W (t − b)dt = 2π +∞ f (t)ig(t) W (t − b) 2 dt
−∞
−∞
∫ ∫ ∫ Δdb = 2π +∞ ( f (t)ig(t)dt +∞ W (t − b) 2 db = 2π < f , g >
−∞
_∞
∫ (∵ W = +∞ W (b) 2 db = 1,
2
_∞
f , g ∈ L2 (IR) )
∫ ∫+∞ −∞
< f ,Wb,ω > < g,Wb,ω >dωdb = 2π < f , g > 成立
>=
1 2π
<
fˆ , gba,ω
>
时域窗半宽： Δga = a ，对应的频域窗半宽：
Δg 1
4a
=
1 2a
即 Gabor 变换在时域和频域的等效式为（两个域都是相同的加窗操作）：
∫ ∫ Gba f (ω) =
+∞ t))ga (t
− b)dt
=
e−ibω 2 πa
eibη fˆ (η)g 1 (η − ω)dη
f , g ∈ L2 (IR)
W
和Wˆ
还有条件
⎧⎪tW (t) ∈ L2 (IR) ⎨⎪⎩ωW (ω) ∈ L2 (IR)
定义窗函数Wb,ω (t) = eiωtW (t − b)
∫ ∫ ∫ 则有 +∞ −∞
< f ,Wb,ω > < g,Wb,ω >dωdb = 2π < f , g >=
Δdb
对于 ∀g, f ∈ L2 (IR) 成立
4a
①在 t = b 具有窗函数 ga 的 f 的加窗 Fourier 变换与在η = ω 具有窗函数 g 1
4a
的 fˆ 的加窗 Fourier 变换具有等同的物理意义。
1
②<
f , gba,ω
>⇔<
fˆ
,
g 4a ω,−b
>
分别在时间窗和频域窗截取相同的信号能量/信息，（除了一个常系数）
一般化第一步: 如果进一步考虑用一个通用窗函数 W(t) 取代 ga (t) , 重复 上述计算过程, 则有:
(为什么?)
−∞
这就是”小波 Wavelet”名称的来源
_____________________________________________________________
证明(3) (归一化)
{∫ }1
ψ = +∞ ψ (t) 2 dt 2
2
−∞
5
1
{∫ } ∫ 而 ψ b,a (t) 2 =
第四讲 加窗 Fourier 变换
复习：
(两种角度理解)Gabor 变换： Gabor 变换可定义为：
∫ ∫ Gba f (ω) =
+∞ −∞
(e−iωt
f
(t))ga (t
−