艾滋病疗法的评价及疗效预测模型

艾滋病疗法的评价及疗效预测模型
摘要
本文利用附件1和附件2中的测试数据，建立了基于差分方程的统计回归预测模型，对艾滋病患者的最佳治疗终止时间进行预测；并且对现有的4种艾滋病疗法建立评价预测模型。

统计预测模型的基本思想为：第一，筛选出附件1中的有效数据，采用插值的方法对数据进行补充；第二，利用模糊聚类分析法将被测试者分为三类，体内CD4和HIV含量均较高者为第一类，体内CD4和HIV含量均较低者为第二类，其他的为第三类；第三，将时间离散化，通过建立被测试者体内CD4浓度的差分方程，求解出被测试者服药治疗对体内CD4浓度的作用效果函数的差分方程。

同理求解出对HIV效果函数的差分方程。

第四，分别给出CD4和HIV效果函数的初值后，由差分方程迭代求得两组效果函数值；第五，使用回归分析的方法求出效果函数的表达式，求其加权和即得综合疗效。

综合疗效达到最大的时刻即为最佳治疗终止时间。

按年龄将被测试者分为青年组和中年组；再次，确定评价目标为：CD4浓度增长的效果、有效治疗时间和疗法的费用，并对其作无量纲化处理，统一评价标准；最后，以测试时间为约束建立多目标规划模型，对4种疗法进行评价。

对于问题二，仅以CD4为标准，取治疗费用的偏好系数为零，利用评价预测模型对
间的偏好系数，当费用偏好系数变化时，利用模拟的方法评价出最优疗法，并求其最佳
注：题目中给出的四种疗法分别记为A、B、C、D。

每一个费用偏好系数P3的变动区间，均有对应的最佳终止治疗的估计区间。

关键词：偏好系数聚类分析回归分析多目标规划
1.背景及问题提出
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，已吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。

这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。

人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4细胞，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

现有美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。

ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。

193A （见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。

4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine （奈韦拉平）。

基于上述条件完成以下问题：
(1)利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

(2)利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。

如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

2.问题分析
本题针对艾滋病治疗情况，提供被测试者的治疗数据，要求建立模型预测治疗效果（或确定最佳治疗终止时间），并且评价4种治疗方案。

2.1．CD4和HIV的关系
医学研究表明：在T淋巴细胞分类中，CD4代表T辅助细胞。

CD4细胞是HIV感染的主要靶细胞，而其本身又是免疫反应的中心细胞。

人体感染了HIV后，主要表现为：CD4细胞的丢失，绝对数量的减少。

而HIV病毒和CD4细胞自身都有增长的能力，因此可以认为二者是相互竞争对抗的，又是相互影响的。

2.2．“预测继续治疗效果和最佳治疗终止时间”的理解
2.2.1．治疗效果是指疗法对测试者体内的CD4以及HIV数量变化的影响。

因此为了得到精确的预测结果，需要充分考虑被测试者的身体状况及其病情严重程度等因素。

故可将被测试者进行分类，按类别预测继续治疗的效果。

2.2.2．继续治疗指在测试终止后继续服药。

最佳治疗终止时间，指由于继续服药效果下降而停止治疗的时间。

预测继续治疗效果的依据是效果函数的变化趋势，而最佳治疗终止时间
也体现了治疗效果的变化趋势，两者可以看作同一个问题。

由此本文针对不同类别被测试者分别计算其最佳治疗终止时间。

2.3．预测方法步骤
利用附件中提供的测试数据进行统计预测。

根据预测的连贯原则(预测对象的发展始终都按一定的规律进行的原则)和类推原则(预测对象必须有某种结构，其升降起伏变动是有章可循的原则)，利用数学方法模拟治疗效果的内部结构，进而建立适当的预测模型，对治疗效果进行近期预测。

统计预测的具体过程如下图：
图1统计预测过程流程图
2.4．疗法优劣的评价标准
迄今为止人类还没有找到根治AIDS的疗法。

因此要对第二问中给出的4种疗法进行评价，就不能以疗法是否可以治愈艾滋病为标准。

本文从治疗效果、治疗周期、治疗费用等多方面考虑，对四种疗法进行综合评价及预测。

目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。

第三问中需要考虑疗法的费用问题，因此第三问的求解是在第二问的基础上，将治疗费用添加到评价因素中，重新对四种疗法进行的评价及预测。

3.基本假设
(1)忽略测试数据中的误差。

(2)HIV的增加速率、CD4的减少速率是随时间变化的连续函数。

(3)由于HIV病毒自身的繁殖能力很强，从而可以忽略HIV阻碍自身增长的作用。

4.符号说明
5. 关于问题一的预测模型
5.1．问题准备
5.1.1 数据处理
插值——附件1是被测试者每隔几周的测试数据，然而要预测被测试者继续治疗的效果,需要得到反映被测试者每周身体状况的数据。

我们采用样条插值的方法得到所需数据，具体步骤如下：
Step1：从附件1中读取原始数据。

Step2：对于有CD4(t)和HIV 的测试值为空值的数据，将其删除。

Step3：剔除无效数据后对相关节点进行三次样条插值。

筛选有效数据——被测试者接受测试的时间长短是不同的，因此插值时不能保证结果都是经内插得到的结果。

当结点不在所选插值区间时，不能保证插值得到的结果是正值，为保证求解的精确性将这些数据去除。

经统计，绝大多数被测试者接受测试的时间在40周以内，所以选取0-40周为插值区间，舍弃其它的数据。

注*插值程序见附录一程序1-1，结果存储在‘data.mat ’源文件中。

5.1.2 Fuzzy 聚类
第一问要预测治疗效果，相同的治疗效果在不同被测试者身上的体现是不同的，被测试者的测试效果会产生差别。

如果直接将所有被测试者视为一类人来预测，由于初始的身体状况对治疗效果的影响，预测结果的误差会较大。

所以要根据第一步处理过的数据，将被测试者分类。

被测试者得身体状况不能明确的量化表示，属于模糊概念，并且不同被测试者的身体状况也不容易比较，因此选用模糊聚类分析的方法对被测试者进行分类。

聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲属程度，并以此来实现分类，Fuzzy 聚类分析中的衡量尺度不是明确的，而是根据研究对象本身的属性来构造Fuzzy 矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。

(注*相关概念见附录二。

)
模糊聚类分析步骤如下：
第一，建立Fuzzy 相似矩阵。

在实际中有很多建立相似矩阵的方法，经常使用的方法是“最大最小法”： n j i x x
x x
r m k jk ik
m k jk ik ij ,,2,1,)()(11 =∨∧=∑∑== (5.1) 第二，改造Fuzzy 相似矩阵为Fuzzy 等价矩阵。

用上述方法建立相似矩阵R 后要将R 改造成Fuzzy 等价矩阵，从而得到聚类图，在适当的阈值上进行截取，便可得到所需要的分类。

由附录二中的定理可知：将Fuzzy 相似矩阵改造成Fuzzy 等价矩阵的可行性。

事实上，用求传递闭包的方法可将R 改造成)(R t ，具体方法如下：依次计算
2422
l t t
R R R
R R R R R R ==
=
当第一次出现k k k R R R =时，必有k R R t =)(，因此k R 就是由n n ij r R ⨯=)(改造的模糊等价矩阵。

第三，进行Fuzzy 聚类。

对Fuzzy 等价矩阵)(R t 进行聚类处理，给定的分类置信水平的α，令
1,0,ij ij ij r r r α
αα>⎧⎪=⎨≤⎪⎩ (5.2) 得到矩阵α)(R t 。

如果ααik ij r r =则说明第j 个元素和第k 个元素是同一类的。

5.2．模型建立
要对继续治疗的效果进行预测，应明确预测目标是治疗的效果。

为此，确定治疗效果函数是建立预测模型的基础。

5.2.1.确定治疗效果函数
由题目可知：艾滋病治疗的目的是尽量减少人体内HIV 的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度。

因此我们认为，CD4细胞和HIV 在人体内是相互竞争的关系。

艾滋病治疗对人体内CD4细胞数量的增长起到正面效果，对HIV 数量的增长起到负面的效果。

据此确定被测试者服药治疗后体内CD4细胞和HIV 数量的变化规律。

附件1中给出的数据是300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV 的浓度，时间是离散化的，因此建立差分方程，描述CD4和HIV 的浓度的变化规律。

5.2.1.1建立差分方程，确定药物对CD4数量的效果函数
通常情况下人体内的CD4数量在800—1200个，最低不少于400个，由此假设CD4的最大含量4CD N 为1200个。

人体内CD4数量的变化量，由以下三部分构成：
(1)CD4细胞的自然增长作用，增加的CD4细胞数量；
(2)HIV 的入侵对CD4细胞的裂解作用，减少的CD4细胞数量；
(3)药物治疗作用，增加的CD4细胞数量。

针对于每一类测试者中的第i 名被测试者，t 时刻到1+t 时刻，CD4细胞数量的变化量为： 4444()()(1)()()[1()]i CD i i i CD i CD CD HIV
x t H y t x t x t rr x t f t N N σ+-=--+ (5.3) 即 4444(1)()()()[1]()()i i i CD i CD CD i CD HIV
x t x t x t H y t f t rr x t N N σ+-=--+ (5.4)
为了方便计算，记
12434(1)
()()
()()1()()
i i i CD i CD HIV
x t K t x t x t K t N K t y t H N λσ+==-
== 则公式(5.4)可表示为 12344
1()()()()CD CD K t K t K t f t rr λ=-+ (5.5) 同理，1+t 时刻到2+t 时刻，CD4细胞数量的变化量为： 12344
1(1)(1)(1)(1)CD CD K t K t K t f t rr λ+=+-+++ (5.6) 联立公式(5.5)、(5.6)，求解参数λ和4CD rr 得： 3113432233434(1)()(1)()(1)()(1)()[(1)()()(1)]
CD CD CD K t K t K t K t rr K t K t K t K t K t f t K t f t +-+=+-+++-+ (5.7) 122114143131(1)()(1)()[(1)()()(1)]()(1)(1)()
CD CD K t K t K t K t K t f t K t f t K t K t K t K t λ+-+++-+=+-+ (5.8) 又2+t 时刻到3+t 时刻，CD4细胞数量的变化量为： 12344
1(2)(2)(2)(2)CD CD K t K t K t f t rr λ+=+-+++ (5.9) 将解出的λ和4CD rr 代入公式(5.9),得到)t (CD4)1t (CD4)2(4、与++t CD 的关系，记
1232311313(2)(()(1)(1)())()(1)(1)()
K t K t K t K t K t G K t K t K t K t ++-+=+-+ 3212121313(2)(()(1)(1)())()(1)(1)()
K t K t K t K t K t G K t K t K t K t -++-+=+-+ 131331313(2)(1)(1)(2)
()(1)(1)()
K t K t K t K t G K t K t K t K t ++-++=+-+ 133141313()(2)()(2)()(1)(1)()K t K t K t K t G K t K t K t K t +-+=
+-+ 则 44434122(2)(1)()(2)CD CD CD f t G f t G f t G G K t +=++++-+ (5.10)
此即得到药物对第i 名被测试者CD4数量的效果函数4()CD i f t 的差分方程。

5.2.1.2．建立差分方程，确定药物对HIV 数量的效果函数
由基本假设(2),针对于每一类被测试者中的第i 名被测试者，t 时刻到1+t 时刻，HIV
数量的变化量为： 4
()(1)()()[1()]HIV i i i HIV i HIV CD C x t y t y t rr y t f t N σ+-=-- (5.11) 即 4
(1)()()1()()i i HIV i HIV HIV i CD y t y t C x t f t rr y t N σ+-=-- (5.12) 为了方便计算，记
*1*2*4
(1)()
()()
()()
i i i i HIV CD y t y t K t y t K t x t C N λσ+-=== 同上，求解参数*λ和HIV rr 得： ****1212****2222()(1)(1)()(1)()()(1)(1)()
HIV HIV HIV K t K t K t K t rr K t K t K t f t K t f t +-+=+-++-+ (5.13) **
***
1111****2121(1)()(1)()()(1)()(1)(1)()HIV HIV K t K t f t K t K t f t K t K t K t K t λ+-++-+=+-+ (5.14) 将解出的*λ和HIV rr 代入2+t 时刻到3+t 时刻，HIV 数量的变化方程中，即可得到药物对第i 名被测试者HIV 数量的效果函数()HIV i f t 的差分方程。

5.2.2. Logistical 因素回归分析法预测治疗效果，确定最佳治疗终止时间
本文用综合疗效函数量化治疗的效果，在函数表达式中代入时间点即可预测继续治疗的效果，在对治疗效果有具体的限定时，疗效函数取最大值的时间点即是停止治疗的最佳时间点。

被测试者的病情通常情况下是渐进变化的，因此采用回归分析法预测治疗效果。

模型建立过程如下：
Step1：依据药物对CD4和HIV 数量的效果函数的差分方程，进行回归分析，分别
拟合出药物对CD4和HIV 数量的效果函数的回归系数。

Step2：利用拟合出的效果函数4(),()CD HIV F t F t ，加权得到综合疗效函数。

令g 类测
试者人数为ng ，对于g 类测试者，综合疗效函数为：
14211()()()ng ng
g CD i HIV i i i effection t F t F t ωω===-∑∑ (5.15)
其中，121=+ωω，1ω表示药物对于CD4的效用权重，2ω表示药物对于HIV
的效用权重。

Step3：确定最佳治疗终止时间。

药物对被测试者的治疗效果随时间变化，如果g 类测试者满意的治疗效果为U (常数)，即如果疗效函数的值小于U ，则认为继续治疗的效果不好。

治疗的效果由综合疗效曲线()effction r U -、直线Y =0，X =0，X =t 所围成的有向面积表示，即治疗效果是综合疗效函数在指定时间段内的积分值，
(())t
M effction r U dr =-⎰
(5.16)
图形如下：
图2 治疗效果示意图
当M 取最大值时，即()effection t U = 时，认为继续服药效果不好，选择提前终止治疗。

令()effection t U =，可得最佳治疗终止时间。

5.3.模型求解
附件1中给出的被测试者的CD4和HIV 的数量相差很大，而且不同被测试者的测试时间不同。

数据处理时，已将接受测试时间很短（例如小于4周）的被测者的数据剔除，并综合每一名被测试者前40周的测试数据为原始数据，进行继续治疗效果的预测。

求解过程如下:
Step1：Fuzzy 聚类
第i 名被测试者在第0周的CD4数量和HIV 数量可以看作是被测试者的身体状况，把这两个数据抽取出来构成初始向量),(21i i x x ，初始向量体现被测试者的身体状况。

找出任意两个向量之间的相似系数，利用公式(5.1)构造模糊相似矩阵R 。

进而构造模糊等价矩阵()t R 。

取置信水平75.0=α，则被测试者依次分为三类：第一类——CD4含量高，HIV 含量高的被测试者；第二类——CD4含量低，HIV 含量低的被测试者；第三类——其他被测试者。

注*聚类程序见附录一，程序1-2。

Step2:求解差分方程
得到药物对CD4和HIV 的效果函数的差分方程后，将第i 类被测试者的测试数据导
入，
按类别给出效果函数的初值，利用公式(5.10)迭代求出被测试者在各个时间段内的治疗效果。

注*迭代程序见附录一，程序1-3。

Step3:确定最佳治疗终止时间
针对第一类被测试者，药物的治疗效果函数拟合结果如图3：
图3第一类拟合图图4第一类分析图第一次进行回归分析检验时，残差向量如上图4所示。

观察残差分布，只有个别少量数据的残差置信区间不包含零点，应视为异常点，将其剔除后重新计算。

修改后的统计量结果如下表：
HIV的回归系数(2次) 系数估计值系数估计置信区间
H0 3.0644[2.2582 3.8706]
H1-0.2454 [-0.3411 -0.1498]
H20.0045 [0.0022 0.0069]
R2=0.7609 F=53.6292 p=0.0000
CD4的回归系数(3次) 系数估计值系数估计置信区间
C00.3793[0.2188 0.5398]
C10.0885[0.0299 0.1470]
C2-0.0136 [-0.0199 -0.0074]
C30.0005 [0.0003 0.0008]
R2=0.8132 F=68.0952 p=0.0000
同样，对第二类和第三类测试者进行回归分析。

修改后的统计量结果见表6-表9：
图5 第二类拟合图图6 第三类拟合图
表6：第二类被测试者HIV的回归分析统计量
HIV的回归系数(2次) 系数估计值系数估计置信区间
H0 1.5227[1.1366 1.9087]
H1-0.0700 [-0.1158 -0.0242]
H20.0023 [0.0012 0.0035] R2= 0.8486 F=45.0528 p=0.0000
CD4的回归系数(3次) 系数估计值系数估计置信区间C00.4459[0.2689 0.6230]
C10.0926[0.0280 0.1572]
C2-0.0131 [-0.0200 -0.0063]
C30.0006 [0.0003 0.0008] R2=0.6716 F=67.8915 p=0.0000
HIV的回归系数(2次) 系数估计值系数估计置信区间H0 3.5371[2.6318 4.4424]
H1-0.1606 [-0.2680 -0.0532]
H20.0015 [-0.0012 0.0041]
R2=0.7147 F=59.5114 p=0.0000表9：第三类被测试者CD4的回归分析统计量
注*回归分析程序见附录一程序1-4。

求出回归方程的系数后，可得每一类被测试者的综合疗效函数。

最后，分别求出CD4和HIV 含量的变化趋势的回归方程后，确定权系数12,ωω。

确定的依据是艾滋病治疗的目的，即减少人体内HIV 的数量，同时产生更多的CD4。

因此可以认为药物对于CD4和HIV 的作用效果应该是相同的，即取120.5ωω==，得到综合疗效函数()effection t 。

如果第一类测试者对治疗效果的满意程度为U (给定的常数)，则利用求出的综合疗效函数估计出最佳治疗终止时间，即令
()effection t U =
解出最佳治疗终止时间。

利用矩法估计求出各类测试者的治疗终止时间。

见下表：
5.4.1.结果检验
模型一根据被测试者在不同时间体内CD4和HIV 浓度，求出HIV 数量的效果函数
()HIV i f t 的差分方程及CD4数量的效果函数4()CD i f t 的差分方程.利用回归分析的方法确定
CD4和HIV 效用函数4()CD i f t 、()HIV i f t 的回归系数。

对于求出的药物对CD4和HIV 的效果函数的系数进行检验。

利用残差向量和回归模型的统计量来衡量拟合结果的优劣。

由表4-表10知，在置信水平为0.05的情况下，F 值超过F 检验的临界值，且p 远小于置信水平，因而回归分析得到的结果良好。

依据目前国际上通用的疗效观察指标，治疗的理想效果为：血浆中的HIV 浓度4～6个月内降至一定水平。

故可认为最佳治疗终止时间约为17～26周，与表10中模型一所求结果基本吻合。

5.4.2.结果分析
目前仍没有彻底治疗艾滋病的方法，治疗时间较长时HIV 病毒会对药物产生抗药性，而模型一所得结果显示：被测试者体内CD4和HIV 的含量呈波动性变化。

这说明药物对于艾滋病的疗效是反复的，与实际情况相符。

6. 关于问题二和问题三的评价预测模型
仅以CD4为标准，建立模型二——疗法评价预测模型。

以治疗方案对CD4的效果、有效治疗时间和治疗方案的费用为评价因素，建立评价预测模型，即目标规划模型。

问题二要求评价4种疗法的优劣，只需考虑治疗方案对CD4的效果，和有效治疗时间两个因素，故问题二实质上是求解评价模型的一种特殊情况（忽略治疗方案的费用评价因素）。

问题三中需要考虑4种疗法的治疗费用，并将评价和预测结果与问题二的结果进行比较。

6.1. 数据处理
Step1:同问题一类似，将附件2中提供的数据进行筛选，在Excel 表格中剔除只有一个
记录的数据，保证原始数据的准确度。

Step2:对不完全的测试数据进行插值，得到每个被测试者每周的CD4含量。

Step3:样本分类。

不同的被测试者对于疗法的评价是不同的，故评价应面向一类人。

第一，将被测试者分为两类:年龄>35的为中年组；年龄≤35的为青年组； 第二，对于中年组和青年组的被测试者分别按接受的疗法分为四类：
A 类疗法—600mg zidovudine 或400mg didanosine ，这两种药按月轮换使用；
B 类疗法—600mg zidovudine 加2.25mg zalcitabine ；
C 类疗法—600mg zidovudine 加400mg didanosine ；
D 类疗法—600mg zidovudine 加400mg didanosine ，再加400mg nevirapine 。

注*插值程序见附录一，程序2-1；分类程序见附录一，程序2-2。

6.2.模型建立
6.2.1.确定目标评价函数
确定的评价因素为：治疗方案对CD4的效果，有效治疗时间和治疗方案的费用。

评价的目标是三种因素的综合，即最好的疗法应满足：治疗效果最好，治疗费用最小且有效治疗时间尽量长(这里取最长的40周作为治疗时间的上限)。

对于不同的被测试者对于以上三个因素的偏好也不同，因此首先要对被测试者进行分类，然后分类讨论4种疗法的评价值。

6.2.2.1.对每一位被测试者，确定其对第i 种疗法的评价值 Step1：确定接受第i 种疗法的被测试者其CD4的含量的变化速度k i V 。

由于好疗法会增
加CD4的含量，对CD4变化速度进行无量纲化处理时，令
{}
()
()max ()k k
i i k
i t
V t V t V t = (6.1) Step2：确定接受第i 种疗法的被测试者k 的有效治疗时间k i T 。

有效治疗时间和CD4的
含量的变化速度对评价结果的贡献都是正面的，因此治疗时间的无量纲化处理和Step1相同，即
()
40
k k
i i T t T = (6.2)
Step3：确定第i 种疗法的被测试者k 的治疗费用k i W 。

治疗费用对于评价结果是反面的
影响，因此，无量纲化时与前两步不同，可令
{}
min ()()
k i k t
i k i W t W W t =
(6.3)
Step4：对于被测试者k ，确定其对第i 种疗法的评价值。

假设其对于CD4的含量的变化
速度、有效治疗时间和治疗费用的偏好系数为：123P P P 、、，且3
11i i =P =∑。

在测
试时间的约束下，即040t ≤≤的情况下，寻找目标函数的最优值，被测试者对第i 种疗法的评价值为：
{}*1123()()max ()max t
k
i k k k k k i i i i i i t t V t aim t aim t T W t =⎧⎫⎪⎪⎪⎪==P +P +P ⎨⎬⎪⎪
⎪⎪⎩⎭
∑ (6.4)
其中，*k i t 表示最佳终止治疗时间
6.2.2.2.确定每一类被测试者对4种疗法的评价值
假设第j 类被测试者共有m 名被测试者，在得到每一位被测试者对一种疗法的评价值后，用矩法估计，求出此类被测试者对于此种疗法的评价值，即
*1
()
m
k k i i j
k i aim
t aim m
==
∑ (6.5)
6.2.3.使用隶属度评价4种疗法
青年组中的被测试者为第一类被测试者，得到其对于4种疗法的评价值，构成评价向量
11111
1234(,,,)AIM aim aim aim aim =
将向量1AIM 作极差变换：
{}{}{}
11
111min 1,2,3,4
max min i i i i i
i
i
i
aim aim aim i aim aim -=
=- (6.6)
标准化归一后，由最大隶属原则可知，若
{}
11
max g i i
aim aim =， (6.7)
则第g 种疗法对于青年组最优。

1g aim 所对应的*1g t 即为最佳治疗终止时间。

同理，得到中年组的评价向量
22222
1234(,,,)AIM aim aim aim aim =
将向量2AIM 作极差变换,然后标准化归一后，同样可以得到中年组的评价结果及最佳治
疗终止时间。

6.3.问题二求解
第二问中不要求考虑4种疗法的费用，因此利用模型二对4 种疗法进行评价时，目标函数中费用因素的权系数应为0。

由于是对艾滋病的疗法进行评价，治疗的效果应该是主要因素，而有效治疗时间是次要因素。

不妨取治疗效果的偏好系数为0.65，有效治疗时间的偏好系数为0.35，即1210.65,10.35P =P =-P =进行求解，结果如下：
6.4.问题二结果分析与检验
目前最常用的治疗方案为两种核苷类逆转录酶抑制剂加一或两个蛋白酶抑制剂和非核苷类逆转录酶抑制剂；或三种核苷类逆转录酶抑制剂，全面阻止病毒复制的过程，降低HIV-1中单个点突变的可能性，从而延缓耐药性。

尽管这种疗法的诞生给AIDS 的
治疗带来了一场革命，使得AIDS 发病率和死亡率有所下降。

[3]
而D 类疗法: zidovudinehh 和didanosine 是两种核苷类逆转录酶抑制剂，nevirapine 是非核苷类逆转录酶抑制剂。

正是目前最常用的有效抑制AIDS 发病率和死亡率的疗法。

故D 类疗法为较优的疗法符合实际。

6.5.问题三求解
如果被测试者在对4种疗法进行评价时需要考虑治疗的费用，则可利用模型二，考虑药物费用的偏好系数3P 对目标评价函数的负作用：家庭经济状况较差的患者偏好于较高的费用偏好系数，家庭经济状况较好的患者偏好于较低的费用偏好系数。

Step1：利用计算机模拟的思想，固定有效治疗时间的偏好因子2P ，给定步长，对满足
3
1
1i
i =P
=∑的12,P P 进行遍历。

Step2：对于每一组给定的偏好系数，利用模型二，计算目标评价函数值及最优解*1g t 。

Step3：对求出的目标评价函数值及最优解*1g t ，分析其变化情况。

例如，固定2P 为0.1，13,P P 的遍历步长取为0.01，则目标评价函数值及最优解
*1g t 的计算结果见附录三。

结果显示，这种情况下无论费用偏好系数3P 怎样变化，
最优疗法只可能为A 类疗法或D 类疗法。

对于经济条件较差的患者，A 类疗法为最优疗
法；对于经济条件较好的患者，D 类疗法为最优疗法。

对于费用偏好系数的变动，最优疗法及其最佳治疗终止时间的分析结果如下表：
注*模拟程序见附录一，程序3-1。

7. 模型评价与推广
7.1.评价：
在数据处理过程中对原始数据作了合理的筛选，剔除严重破坏整体规律的数据后用模糊聚类分析的方法对样本进行分类，使处理过的数据能更好地体现的其内部变化规律，降低了模型的预测误差，一定程度上保证了结果的正确性。

观察到数据离散的特点，建立了基于差分方程的统计回归预测模型，并在建立模型的过程中充分体现了CD4与HIV 间的竞争关系、对自身增长的阻滞作用以及药物治疗对二者的影响。

通过联立差分方程组解出治疗对两者的效果值。

再对得到的表示治疗效果的数据进行回归分析拟合回归方程，进而确定了治疗停止的最佳时间。

在对第二、第三问的求解过程中，本文利用了题目中只考虑CD4的条件，用CD4的增长速度来体现治疗的效果，而在治疗效果的表达式中，使用隶属度的表示方法，使模型具有更广泛的适应性。

7.2.推广：
模型一为统计预测模型，可用于发展规律稳定，渐变发展的事物的短期预测，如：水质的预测、气象预测、信号处理等。

模型二为评价预测模型，适用于决策分析、目标规划等问题。

8. 模型改进
(1)本文在模型求解中对被测试者进行了粗略的分类，如果进一步细化分类后，预测的结果会更加精确。

然而分类过细将导致计算量增加，求解过程繁琐。

(2)权向量的赋予带有一定的主观性，若有一些专家数据，则结果会更加可靠。

9. 参考文献
[1]胡宝清 《模糊理论基础》 武汉 武汉大学出版社 2004年 [2]姜启源 《数学模型》（第三版） 北京 高等教育出版社 2004年
[3] /zonghe/yaoxue/2005/0827/663.htm 2006年9月17日 [4]/qypx/resource/HIV040414004/04/index.html?course_id=HIV040414004&paper_id=04 2006年9月17日
10. 附录。