第十讲(2) 旋转D最优设计
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
§9.2 饱和D—最优设计
试验点最少的试验计划，即试验点的个数等于回归 系数的个数，这样的计划称为饱和计划。 一、一次饱和Ｄ—最优设计 对p维立方体 -1xj1，j=1,2,…,p上的一次回归模型
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 ... bp x p y
存在这样一个定理： 定理8.1 在p维立方体上选取p+1个点以组成一次饱 和D—最优计划时，只要考虑选取各个坐标都为-1或1 的那些点。
当p=4时，D—最优计划是：
12
当p=4时，D—最优计划是：
x1 1 1 -1 -1 1 x2 -1 1 -1 -1 1 x3 1 -1 1 -1 1 x4 -1 1 1 -1 -1
一般地，当p+1是2的整数次幂时，p个因子的一 次饱和D—最优计划可用2p型的全因子试验的部分 实施法给出。
13
二、二次饱和Ｄ—最优设计 对二次回归模型
17
§9.3 最优设计的统计分析
本节讨论在因子空间-1≤xj≤1, j=1,2,…,p上的二次饱和 Ｄ—最优设计(如p=2,3)及较优设计(如p=4,5等)的统计 分析。因此，试验设计的方法与编码同一次回归正交 设计。当然，试验后的设计（结构）矩阵不同。另外， 由于最优设计一般不具有正交性，所以，回归系数的 计算应采用一般多元线性回归（第二章）的方法。应 注意的是，这里回归系数的个数是k=C2p+2，而不是p+1。 下面通过具体实例，说明设计与分析方法。
14
当p=2时的饱和D—最优计划。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8
6点设计
7点设计
8点设计
x1
x2
x1
x2
x1
x2
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -0.1315 -0.1315 1 1 1 0.3945 -0.092 0.092 0.3945 1 1 -0.067 0.067 -1
6
Biblioteka Baidu
第九章 回归的D—最优设计
§9.1 D—最优设计的基本概念
正交设计减少了试验次数，使分析简化。旋转设计 使同一球面上预测值的方差相等，排除了部分误差干 扰。如何比较试验计划的好坏？能否建立一定意义下 的最优试验计划？从五十年代起人们先后提出了很多 比较试验设计好坏的标准，如G—优良性，E—优良性 和D—优良性等，仅介绍D—最优设计。 Ｄ—最优设计是从对模型参数 的估计好坏评价的。
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 0.1925 0.1925 -1 0.1925 0.1925 -0.2912 1 1 -0.2912 1 1
p=3时的饱和设计称为310设计。
16
关于p4的饱和D—最优计划问题，至今尚未解决。 对于p=4，有人找到了一个较好的15点设计 。见188页 表9-3。 根据p=2,3的二次饱和D—最优计划的谱点结构，得 到一般的二次饱和设计的方案表9-4(188页)。
20
试验计划及试验结果
试验号 x1(N) x2 (P) 1 -1 (0) -1 (0) 2 1 (32) -1 (0) 3 -1 (0) 1 (16) 4 -0.1315 (13.9) -0.1315 (6.93) 5 1 (32) 0.3945 (11.13) 6 0.3945 (22.32) 1 (16)
模型
2 2 ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b11 x1 b22 x2
1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 X= 1 -1 1 -0.1315 -0.1315 0.0173 0.0173 0.0173 1 1 0.3945 0.3945 1 0.1556 1 0.3945 1 0.3945 0.1556 1
m m
其中: (x)是 函数，m是 的元素个数，|A()|是A() 的行列式。
8
其中: (x)是 函数，m是 的元素个数，|A()|是A() 的行列式。 在同一模型下, 对两张试验计划 1和2, 若V(1)<V(2), 或|A(1)|>|A(2)|，或|C(1)|<|C(2)|，则在D—优良性意 义下，计划1比计划 2好。这里C() = A-1() 。 定义 在因子空间中， 若试验计划*，使|A()|达到最 大，或使|C()|达到最小，即
2
n=mc+2p+m0
部分 值表
p 2 3 4 5 5(1/2实施)
1.414 1.682 2.000 2.378 2.000
2
2.000 2.828 4.000 5.655 4.000
mc 4 8 16 32 16
2p 4 6 8 10 10
二次旋转组合设计对m0的选择相当自由。如果适 当地选取m0，可得二次正交旋转组合设计 。
4
二次通用旋转组合设计参数表
p 2 3 4 5(1/2实施)
1.414 1.682 2.000 2.000
mc 4 8 16 16
m0 5 6 7 6
n 13 20 31 32
5
§8.2 二次旋转设计的统计分析
二次旋转设计的统计分析与二次正交设计同。(略)
§8.3 应用实例
例8.1 原麻高产栽培试验，选择5个因子: 播期z1(3月20日~4月11日)，播量z2(4~12斤/亩)， 施纯氮量z3(0~16斤/亩)，施纯磷量z4(0~6斤/亩)， 施纯钾量z5(0~16斤/亩)，采用二次正交旋转组合 设计进行1/2实施试验。（泰安农科所）略
2 1
2 2
注意: 饱和设计无重复，回归方程无法检验。
21
例9.3 玉米施用氮肥、磷肥试验, 采用D—饱和最优设计, 三次重复, 因素编码, 试验设计及试验结果列于下表：
试验计划及试验结果 试验号 x1(N) x2 (P) 1 -1 (0) -1 (0) 2 1 (10.2) -1 (0) 3 -1 (0) 1 (6) 4 -0.1315 (4.4) -0.1315 (2.6) 5 1 (10.2) 0.3945 (4.2) 6 0.3945 (7.1) 1 (6) 试验结果y 17.1 15.0 15.6 20.2 19.9 19.0 27.9 26.3 26.8 29.1 28.7 27.8 30.0 28.8 32.1 30.0 31.5 31.5
ˆ b0 b j x j bij xi x j y
j 1 i j
p
p
是否存在试验点个数为m=(p+1)(p+2)/2的饱和D—最优 计划？已证明，对p7不存在饱和Ｄ—最优计划。 当p=2,3时，饱和D—最优计划列于下表，同时还列 出了p=2时的7点和8点非饱和D—最优计划。
18
例9.2 小麦施用氮(N)z1和磷(P)z2肥盆栽试验。采用 D—饱和最优设计，无重复。z1和z2最高用量分别为 32和16；最低用量均为0。采用(7-1)，(7-2)，(7-3)式 进行编码，可得 z01=(32+0)/2=16; z02=(16+0)/2=8 1=(32-0)/2=16; 2=(16-0)/2=8 z1=z01+1x1=16+16x1; z2=z02+2x2=8+8x2
因子及编码
xj
1 0.3945 -0.1315 -1
z1 (N)
32 22.32 13.9 0
z2(P)
16 11.13 6.93 0
19
因子及编码
xj
1 0.3945 -0.1315 -1
z1 (N)
32 22.32 13.9 0
z2(P)
16 11.13 6.93 0 试验结果y 15.50 17.54 17.18 18.30 17.68 18.70
第八章
回归的旋转设计
回归正交设计的优点：(1)试验次数少；(2)计算简便； (3)消除了回归系数间的相关性。缺点：二次回归的预测 值y的方差依赖于试验点在因子空间的位置，不能根据 预测值直接寻找最优区域。为此提出回归的旋转设计 (旋转性)。它不仅克服了正交设计的缺点，还能基本保 留其优点。
第七章证明了一次回归正交设计的旋转性，这里主要 讨论二次回归旋转设计。根据设计方法的不同，又分为 二次回归正交旋转设计及二次回归通用旋转设计。
11
定理8.1 在p维立方体上选取p+1个点以组成一次饱 和D—最优计划时，只要考虑选取各个坐标都为-1或1 的那些点。
在这个定理的基础上，用计算机找到了在p维立方体 上的一次饱和D—最优设计如下： 当p=2时，正方形区域的任何三个顶点都可组成D— 最优计划。 当p=3时，立方体区域上有23-1个部分顶点所构成的 计验计划是D—最优计划。
| A( ) | max | A( ) | 或 | C ( ) | min | C( ) |
* *
则称*为一个D—最优计划（设计）。
D—最优设计的直观意义，不难由 的LS估计b的 协方差 COV(b)=2(XX)-1 看出。D—最优设计是使b的广义方差达到最小的估 计。因此，y的预测值具有较高的估计精度。 这里仅讨论饱和D—最优设计。
(m 2) V ( ) 2 ((m / 2 1)) | A( ) |
m m
| A( ) | max | A( ) | 或 | C ( ) | min | C( ) |
* *
则称*为一个D—最优计划（设计）。
9
定义 在因子空间中， 若试验计划*，使|A()|达到最 大，或使|C()|达到最小，即
z01=5.1; z02=3；1=5.1; 2=3； z1=z01+1x1=5.1+5.1x1; z2=z02+2x2=3+3x2
R程序自己写出
22
3
二次正交旋转组合设计参数表
p 2 3 4 5 5(1/2实施)
1.414 1.682 2.000 2.378 2.000
mc 4 8 16 32 16
m0 8 9 12 17 10
n 16 23 36 59 36
旋转性是指在同一个球面上的预测值的方差相 等。如果预测值的方差在半径小于1(0<<1)的球内 也相等，则称设计具有通用性。如果适当选取m0， 可得二次通用旋转组合设计 。
-1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 0 0.082 1 0.082 -1 -0.215 0
p=2时的饱和6点设计称为26设计。
15
当p=3时的饱和D—最优计划。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1
x2
x3
-1 -1 -1 1 0.1925 0.1925 -1 1 1 -0.2912
7
对给定模型，可寻找一张试验计划，X()表示这个 计划的设计矩阵，A()=X()X()表示这个计划的信息 矩阵。通过试验数据，获得参数 的LS估计b。不同的 试验计划，可得到不同的估计。为评价这些估计的好 坏，需要对估计值综合考察，常用b的广义方差
(m 2) V ( ) 2 ((m / 2 1)) | A( ) |
1
§8.1 二次回归旋转组合设计
二次回归旋转设计与二次回归正交设计类似，p个变 量的组合设计由下列n个点组成：
其中： mc=2p 或2p-1，2p-2等(二水平试验点个数）。 2p—p个坐标轴上的星号点，要使设计具有旋转性， 星号臂 满足： =2p/4 (全面试验mc=2p)， 或 =2(p-1)/4(1/2实施mc=2p-1). m0—零水平的中心点的重复试验次数（任意）。
15.50 17.54 17.18 Y= 18.30 17.68 18.70
回归系数 b=(XX)-1XY=(18.473, 0.624, 0.444, -0.396, -1.423, -0.086
ˆ 18.473 0.624x1 0.444x2 0.396x1x2 1.423x 0.086x y
§9.2 饱和D—最优设计
试验点最少的试验计划，即试验点的个数等于回归 系数的个数，这样的计划称为饱和计划。 一、一次饱和Ｄ—最优设计 对p维立方体 -1xj1，j=1,2,…,p上的一次回归模型
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 ... bp x p y
存在这样一个定理： 定理8.1 在p维立方体上选取p+1个点以组成一次饱 和D—最优计划时，只要考虑选取各个坐标都为-1或1 的那些点。
当p=4时，D—最优计划是：
12
当p=4时，D—最优计划是：
x1 1 1 -1 -1 1 x2 -1 1 -1 -1 1 x3 1 -1 1 -1 1 x4 -1 1 1 -1 -1
一般地，当p+1是2的整数次幂时，p个因子的一 次饱和D—最优计划可用2p型的全因子试验的部分 实施法给出。
13
二、二次饱和Ｄ—最优设计 对二次回归模型
17
§9.3 最优设计的统计分析
本节讨论在因子空间-1≤xj≤1, j=1,2,…,p上的二次饱和 Ｄ—最优设计(如p=2,3)及较优设计(如p=4,5等)的统计 分析。因此，试验设计的方法与编码同一次回归正交 设计。当然，试验后的设计（结构）矩阵不同。另外， 由于最优设计一般不具有正交性，所以，回归系数的 计算应采用一般多元线性回归（第二章）的方法。应 注意的是，这里回归系数的个数是k=C2p+2，而不是p+1。 下面通过具体实例，说明设计与分析方法。
14
当p=2时的饱和D—最优计划。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8
6点设计
7点设计
8点设计
x1
x2
x1
x2
x1
x2
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -0.1315 -0.1315 1 1 1 0.3945 -0.092 0.092 0.3945 1 1 -0.067 0.067 -1
6
Biblioteka Baidu
第九章 回归的D—最优设计
§9.1 D—最优设计的基本概念
正交设计减少了试验次数，使分析简化。旋转设计 使同一球面上预测值的方差相等，排除了部分误差干 扰。如何比较试验计划的好坏？能否建立一定意义下 的最优试验计划？从五十年代起人们先后提出了很多 比较试验设计好坏的标准，如G—优良性，E—优良性 和D—优良性等，仅介绍D—最优设计。 Ｄ—最优设计是从对模型参数 的估计好坏评价的。
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 0.1925 0.1925 -1 0.1925 0.1925 -0.2912 1 1 -0.2912 1 1
p=3时的饱和设计称为310设计。
16
关于p4的饱和D—最优计划问题，至今尚未解决。 对于p=4，有人找到了一个较好的15点设计 。见188页 表9-3。 根据p=2,3的二次饱和D—最优计划的谱点结构，得 到一般的二次饱和设计的方案表9-4(188页)。
20
试验计划及试验结果
试验号 x1(N) x2 (P) 1 -1 (0) -1 (0) 2 1 (32) -1 (0) 3 -1 (0) 1 (16) 4 -0.1315 (13.9) -0.1315 (6.93) 5 1 (32) 0.3945 (11.13) 6 0.3945 (22.32) 1 (16)
模型
2 2 ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b11 x1 b22 x2
1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 X= 1 -1 1 -0.1315 -0.1315 0.0173 0.0173 0.0173 1 1 0.3945 0.3945 1 0.1556 1 0.3945 1 0.3945 0.1556 1
m m
其中: (x)是 函数，m是 的元素个数，|A()|是A() 的行列式。
8
其中: (x)是 函数，m是 的元素个数，|A()|是A() 的行列式。 在同一模型下, 对两张试验计划 1和2, 若V(1)<V(2), 或|A(1)|>|A(2)|，或|C(1)|<|C(2)|，则在D—优良性意 义下，计划1比计划 2好。这里C() = A-1() 。 定义 在因子空间中， 若试验计划*，使|A()|达到最 大，或使|C()|达到最小，即
2
n=mc+2p+m0
部分 值表
p 2 3 4 5 5(1/2实施)
1.414 1.682 2.000 2.378 2.000
2
2.000 2.828 4.000 5.655 4.000
mc 4 8 16 32 16
2p 4 6 8 10 10
二次旋转组合设计对m0的选择相当自由。如果适 当地选取m0，可得二次正交旋转组合设计 。
4
二次通用旋转组合设计参数表
p 2 3 4 5(1/2实施)
1.414 1.682 2.000 2.000
mc 4 8 16 16
m0 5 6 7 6
n 13 20 31 32
5
§8.2 二次旋转设计的统计分析
二次旋转设计的统计分析与二次正交设计同。(略)
§8.3 应用实例
例8.1 原麻高产栽培试验，选择5个因子: 播期z1(3月20日~4月11日)，播量z2(4~12斤/亩)， 施纯氮量z3(0~16斤/亩)，施纯磷量z4(0~6斤/亩)， 施纯钾量z5(0~16斤/亩)，采用二次正交旋转组合 设计进行1/2实施试验。（泰安农科所）略
2 1
2 2
注意: 饱和设计无重复，回归方程无法检验。
21
例9.3 玉米施用氮肥、磷肥试验, 采用D—饱和最优设计, 三次重复, 因素编码, 试验设计及试验结果列于下表：
试验计划及试验结果 试验号 x1(N) x2 (P) 1 -1 (0) -1 (0) 2 1 (10.2) -1 (0) 3 -1 (0) 1 (6) 4 -0.1315 (4.4) -0.1315 (2.6) 5 1 (10.2) 0.3945 (4.2) 6 0.3945 (7.1) 1 (6) 试验结果y 17.1 15.0 15.6 20.2 19.9 19.0 27.9 26.3 26.8 29.1 28.7 27.8 30.0 28.8 32.1 30.0 31.5 31.5
ˆ b0 b j x j bij xi x j y
j 1 i j
p
p
是否存在试验点个数为m=(p+1)(p+2)/2的饱和D—最优 计划？已证明，对p7不存在饱和Ｄ—最优计划。 当p=2,3时，饱和D—最优计划列于下表，同时还列 出了p=2时的7点和8点非饱和D—最优计划。
18
例9.2 小麦施用氮(N)z1和磷(P)z2肥盆栽试验。采用 D—饱和最优设计，无重复。z1和z2最高用量分别为 32和16；最低用量均为0。采用(7-1)，(7-2)，(7-3)式 进行编码，可得 z01=(32+0)/2=16; z02=(16+0)/2=8 1=(32-0)/2=16; 2=(16-0)/2=8 z1=z01+1x1=16+16x1; z2=z02+2x2=8+8x2
因子及编码
xj
1 0.3945 -0.1315 -1
z1 (N)
32 22.32 13.9 0
z2(P)
16 11.13 6.93 0
19
因子及编码
xj
1 0.3945 -0.1315 -1
z1 (N)
32 22.32 13.9 0
z2(P)
16 11.13 6.93 0 试验结果y 15.50 17.54 17.18 18.30 17.68 18.70
第八章
回归的旋转设计
回归正交设计的优点：(1)试验次数少；(2)计算简便； (3)消除了回归系数间的相关性。缺点：二次回归的预测 值y的方差依赖于试验点在因子空间的位置，不能根据 预测值直接寻找最优区域。为此提出回归的旋转设计 (旋转性)。它不仅克服了正交设计的缺点，还能基本保 留其优点。
第七章证明了一次回归正交设计的旋转性，这里主要 讨论二次回归旋转设计。根据设计方法的不同，又分为 二次回归正交旋转设计及二次回归通用旋转设计。
11
定理8.1 在p维立方体上选取p+1个点以组成一次饱 和D—最优计划时，只要考虑选取各个坐标都为-1或1 的那些点。
在这个定理的基础上，用计算机找到了在p维立方体 上的一次饱和D—最优设计如下： 当p=2时，正方形区域的任何三个顶点都可组成D— 最优计划。 当p=3时，立方体区域上有23-1个部分顶点所构成的 计验计划是D—最优计划。
| A( ) | max | A( ) | 或 | C ( ) | min | C( ) |
* *
则称*为一个D—最优计划（设计）。
D—最优设计的直观意义，不难由 的LS估计b的 协方差 COV(b)=2(XX)-1 看出。D—最优设计是使b的广义方差达到最小的估 计。因此，y的预测值具有较高的估计精度。 这里仅讨论饱和D—最优设计。
(m 2) V ( ) 2 ((m / 2 1)) | A( ) |
m m
| A( ) | max | A( ) | 或 | C ( ) | min | C( ) |
* *
则称*为一个D—最优计划（设计）。
9
定义 在因子空间中， 若试验计划*，使|A()|达到最 大，或使|C()|达到最小，即
z01=5.1; z02=3；1=5.1; 2=3； z1=z01+1x1=5.1+5.1x1; z2=z02+2x2=3+3x2
R程序自己写出
22
3
二次正交旋转组合设计参数表
p 2 3 4 5 5(1/2实施)
1.414 1.682 2.000 2.378 2.000
mc 4 8 16 32 16
m0 8 9 12 17 10
n 16 23 36 59 36
旋转性是指在同一个球面上的预测值的方差相 等。如果预测值的方差在半径小于1(0<<1)的球内 也相等，则称设计具有通用性。如果适当选取m0， 可得二次通用旋转组合设计 。
-1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 0 0.082 1 0.082 -1 -0.215 0
p=2时的饱和6点设计称为26设计。
15
当p=3时的饱和D—最优计划。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1
x2
x3
-1 -1 -1 1 0.1925 0.1925 -1 1 1 -0.2912
7
对给定模型，可寻找一张试验计划，X()表示这个 计划的设计矩阵，A()=X()X()表示这个计划的信息 矩阵。通过试验数据，获得参数 的LS估计b。不同的 试验计划，可得到不同的估计。为评价这些估计的好 坏，需要对估计值综合考察，常用b的广义方差
(m 2) V ( ) 2 ((m / 2 1)) | A( ) |
1
§8.1 二次回归旋转组合设计
二次回归旋转设计与二次回归正交设计类似，p个变 量的组合设计由下列n个点组成：
其中： mc=2p 或2p-1，2p-2等(二水平试验点个数）。 2p—p个坐标轴上的星号点，要使设计具有旋转性， 星号臂 满足： =2p/4 (全面试验mc=2p)， 或 =2(p-1)/4(1/2实施mc=2p-1). m0—零水平的中心点的重复试验次数（任意）。
15.50 17.54 17.18 Y= 18.30 17.68 18.70
回归系数 b=(XX)-1XY=(18.473, 0.624, 0.444, -0.396, -1.423, -0.086
ˆ 18.473 0.624x1 0.444x2 0.396x1x2 1.423x 0.086x y