对数函数的图象和性质(一)

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第四章 指数函数与对数函数
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基础自测
1．下列说法正确的个数是( C )
(1)对数函数的图象都过定点(0,1)．
(2)对数函数的图象都在 y 轴的右侧．
(3)若对数函数
y＝log2ax
是减函数，则
1 0<a<2.
A．0
B．1
C．2
D．3
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第四章 指数函数与对数函数
第四章
指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
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第四章 指数函数与对数函数
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第四章 指数函数与对数函数
基础知识 知识点1 对数函数的图象及性质
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第四章 指数函数与对数函数
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[归纳提升] 1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性． (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底 数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进 行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行 比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
题型探究 题型一 利用对数函数的单调性比较大小
例 1 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln0.3，ln2； (2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3.
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第四章 指数函数与对数函数
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思考 1：(1)对于对数函数 y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…， 为什么一定过点(1,0)?
(2)在下表中，？处 y 的范围是什么？
底数 x的范围 y的范围
x>1
？
a>1
0<x<1
？
x>1
？
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(3)因为 0＞log0.23＞log0.24，所以log10.23＜log10.24， 即 log30.2＜log40.2. (4)因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π＞3，所以 log3π＞log33＝1.同理， 1＝logππ＞logπ3，所以 log3π＞logπ3.
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知识点2 反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为_____反__函__数_，它
们定义域与值域正好____互__换__.
思考 2：函数 y＝log2x 与 y＝(21)x 互为反函数吗？ 提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
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2．常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的 取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再 借助y＝logax的单调性求解．
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[解析] 对于(1)，对数函数的图象都过定点(1,0)，不正确；对于(2)， 由对数函数的图象可知正确；对于(3)，由对数函数的单调性可知，0<2a<1， 所以 0<a<12，正确．
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2．函数y＝log2x在区间(0,2]上的最大值是( B )
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[分析] (1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？ (2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？ (3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？ [解析] (1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以 ln0.3＜ln2. (2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又 3.1 ＜ 5.2 ， 所 以 loga3.1 ＜ loga5.2 ； 当 0 ＜ a ＜ 1 时 ， 函 数 y ＝ logax 在 (0，＋∞)上是减函数， 又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
0＜a＜1
图象
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a＞1
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0＜a＜1
a＞1
定义域
____(_0_，__＋__∞_)____
值域
__R___
过定点____(_1_,_0_) ____，即x＝1时，y＝0 性质
在(0，＋∞)上是___减__函__数___ 在(0，＋∞)上是___增__函__数___
a≠1)的图象恒过定点_____(2_,_0_)____.
[解析] 令 x－1＝1，∴x＝2，则 y＝0，故函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点(2,0)．
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关键能力·攻重难
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0<a<1 0<x<1
？
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提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点 (1,0)．
(2) 底数 x的范围 y的范围
x>1
y>0
a>1
0<x<1 y<0
x>1
y<0
0<a<1
0<x<1 y>0
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第四章 指数函数与对数函数
A．2
B．1
C．0
D．－1
[解析] y＝log2x在(0,2]上单调递增， ∴ymax＝1，故选B．
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第四章 指数函数与对数函数
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3．函数
y＝log3x
与
y＝log1
3
x 的图象关于___x轴____对称．
4．(2020·河南永城实验中学高一期末测试)函数 y＝loga(x－1)(a>0 且