Newton插值法详解 - 360文档中心

牛顿(newton)插值法

牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。

该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。

插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。

插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。

下面介绍牛顿插值法的基本原理。

插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。

在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。

一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。

每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。

在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。

差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。

具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。

牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。

具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。

请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。

牛顿插值法介绍

牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。

首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。

一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。

这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。

插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。

二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。

牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。

牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。

牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。

因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。

三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。

Newton插值法的程序设计与应用

Newton插值法的程序设计与应用1. 简介Newton插值法是一种用于数值分析和插值问题的方法，它基于差商的概念，通过给定的数据点构造一个多项式来逼近函数。

本文将详细介绍Newton插值法的原理、程序设计和应用。

2. 原理Newton插值法的核心思想是利用差商来递推求解插值多项式的系数。

差商是一种递归定义的概念，用于计算给定数据点的插值多项式的系数。

通过递归计算差商，可以得到一个多项式，该多项式与给定的数据点在各个节点上完全一致。

3. 程序设计在程序设计上，可以按照以下步骤实现Newton插值法：步骤1: 输入数据点首先，需要输入一组数据点，这些数据点包含了函数在不同节点上的取值。

可以通过数组或者列表的形式来存储这些数据点。

步骤2: 计算差商利用差商的递推关系，可以计算出插值多项式的系数。

差商的计算可以使用递归的方式实现，或者使用一个二维数组来存储差商的值。

步骤3: 构造插值多项式通过计算得到的差商，可以构造出一个插值多项式。

插值多项式的形式可以表示为：f(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)。

步骤4: 应用插值多项式利用构造好的插值多项式，可以进行函数值的插值计算。

通过给定一个新的自变量值x，可以利用插值多项式求解出对应的函数值f(x)。

4. 应用Newton插值法在实际应用中具有广泛的用途，例如：4.1 数据拟合通过给定的一组数据点，可以使用Newton插值法构造出一个插值多项式，从而对数据进行拟合。

这在数据分析和曲线拟合中非常常见。

4.2 数值积分利用插值多项式的性质，可以将积分问题转化为多项式的求解问题。

通过计算插值多项式在一定区间上的积分，可以得到函数在该区间上的近似积分值。

4.3 数值微分利用插值多项式的导数性质，可以将微分问题转化为多项式的求解问题。

通过计算插值多项式的导数，可以得到函数在某一点上的近似导数值。

数学建模之Newton 插值法

15h0称为步长此时可以使用差分来简化newton插值公式教材上简称为差分定义为一阶向前差分16高阶差分二阶向前差分规定17定义不变算子阶差分的具体表达式1822差分表matlab相关函数
计算方法
第二章
插值法
—— Newton 插值法
1
Newton 插值
为什么 Newton 插值
Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数 lk(x) 都需重新计算，不太方便。
13
插值举例
可以看出，当增加一个节点时，牛顿插值公式只需在原来的基础上增加一项，前面的计算结果仍然可以使用。与拉格朗日插值相比，牛顿插值具有灵活增加节点的优点！
注：增加插值节点时，须加在已有插值节点的后面！
14
向前差分
在实际应用中，通常采用等距节点： xi = x0 + i h ，i = 1, 2, …, n h>0，称为步长
Nn(x)
f [ x, x0 , ... , xn ]( x x0 )...(x xn1 )( x xn )
Rn(x)
10
Newton 插值公式
f (x) = Nn(x) + Rn(x)
N n ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x xi )
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 , , xk ] k!
差商的等价定义：(教材上的所采用的定义) f [ x0 , , xk 2 , xk ] f [ x0 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk ] xk xk 2 若 h(x) = c f(x)，则 h[ x0 , x1 ,, xk ] c f [ x0 , x1 ,, xk ] 若 h(x) = f(x) + g(x)，则 h[ x0 , x1 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk ] g[ x0 , x1 ,, xk ]

Newton插值算法

Newton 插值的算法实现Lagrange 插值公式结构紧凑，便于理论分析。

利用插值基函数也容易到插值多项式的值。

Lagrange 插值公式的缺点是，当插值节点增加，或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。

下面引入的Newton 插值公式可以克服这个缺点。

1、问题描述当n=1时，由点斜式直线方程知，过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线方程为1010010()()()()().f x f x N x f x x x x x −=+−−若记 100110()()[,],f x f x f x x x x −=−则可把1()N x 写成10010()()[,]().N x f x f x x x x =+−显然，1()N x 就是一次Lagrange 插值多项式1()L x 。

由于1()y N x =表示通过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线，因此一次插值亦称为线性插值。

当n=2时，进而记120121*********[,][,]()()[,],[,,]f x x f x x f x f x f x x f x x x x x x x −−==−−类似地，构造不超过二次的多项式2001001201()()[,]()[,,]()().N x f x f x x x x f x x x x x x x =+−+−−容易检验，这样的2()N x 满足插值条件200211222()(),()(),()().N x f x N x f x N x f x ===因此，2()N x 就是二次Lagrange 插值多项式2()L x 。

二次插值的几何解释是，用通过三点00(,())x f x ，11(,())x f x ，22(,())x f x 的抛物线2()y N x =来近似所考察的曲线()y f x =，因此这类插值亦称为抛物线插值。

计算方法Newton插值 ppt课件

2次插值为例）：
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。这种求解差商的方法的优点是直接使用公式，缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )

牛顿插值法

f [ x, x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1,, xk ] f [ x, x0 , x1 ,, xk ](x xk )
因此可得
f ( x) f0 f [ x, x0 ](x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
5
f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik ]
f [ xi0 , xi1 ,, xik ] f [ xi0 , xi1 ,, xik 2 , xik 1 ] xik xik 1
为f ( x)关于节点 xi0 , xi1 ,, xik1 , xik 的k阶差商
2 f i 2 f i 1 3 2h3 3 f i 3!h 3
20
3 fi 3 2 fi 2 2 fxi 3 3 3!h 3 3 2h
k ( x) ( x x j )
j 0
k 1
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j )
k 1
n
n
k 1 j 0
为k次多项式
f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k ( x)
k 1
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
f 0
f 1
f 1 f 2
f 3
2 f0
2 f2
2 f3
3 f0

newton插值几何解释

Newton插值几何解释引言Newton插值是一种常用的数值插值方法，主要用于近似计算函数在某个区间上的未知点的值。

Newton插值的基本思想是通过一些已知的数据点来构造一个多项式函数，然后利用这个函数来近似求解其他未知点的值。

在本文中，我们将探讨Newton插值的几何解释，从几何的角度来理解这个插值方法的原理和应用。

Newton插值的基本原理Newton插值的基本原理是通过拉格朗日插值法将多项式的一阶导数插值问题转化为多项式的零阶插值问题，简化了计算过程。

具体来说，假设我们有一些已知的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，其中x i是已知的自变量值，y i是对应的函数值。

我们的目标是构造一个多项式函数P(x)，使得P(x)在已知数据点上的值与y i一致，并能够通过P(x)来近似求解其他未知点的函数值。

Newton插值的几何解释Newton插值的几何解释是基于多项式的截断误差，即多项式在某个区间上的近似误差。

我们知道，对于一个多项式函数P(x)，其在x i处的函数值可以通过多项式的系数计算得到。

在Newton插值中，我们将多项式表示为差商形式，利用差商的性，其质来近似计算函数值。

具体来说，我们定义一个操作符Δ，使得Δy i=y i+1−y ix i+1−x i中y i和x i分别表示已知数据点的函数值和自变量值。

然后，我们可以通过差商的迭代来计算多项式的系数。

最终，我们可以得到一个多项式函数P(x)，其在已知数据点上的值与y i一致。

Newton插值的应用Newton插值广泛应用于数值计算和科学工程中。

它可以用来近似计算函数在某个区间上的未知点的值，从而帮助我们预测未知数据或者揭示函数的性质。

Newton 插值的几何解释为我们提供了一个直观的理解框架，使我们能够更好地理解插值的原理和应用。

下面是一些Newton插值的应用示例：1. 数据拟合Newton插值可以用来对一组离散数据进行拟合。

牛顿插值法的原理和推导过程

牛顿插值法的原理和推导过程一、引言在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。

在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。

本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。

这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。

三、牛顿插值法的推导过程差商与差分为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。

设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为：f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi)类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。

n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。

差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。

在实际计算中，差分往往比差商更方便。

牛顿插值多项式的构造有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。

设n次牛顿插值多项式为：Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。

可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。

为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。

由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。

牛顿插值法的计算步骤（1）根据给定的插值节点，计算各阶差商；（2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)；（3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。

Newton插值

例4.2.1 计算 (−2, 17), (0, 1), (1, 2), (2, 19)的一至三阶差商。 i 0 xi −2 f (xi) f [xi −1, xi] f [xi −2, xi −1, xi] f [xi −3, xi −2, xi −1, xi] 17
1 2 3
解
0 1 2
1 2 19
其中，
n 次Newton插值公式
N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1, x2 ] ... ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) f [ x0 , x1 ,..., xn ]
给定n+1个插值点(xi, f (xi)), i = 0, 1, 2,…, n, xi 互异，
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ],
类似地，由二阶至 n 阶差商的定义得
( x x0 ) x0 )( x x1 ) (x ...... ( x x0 )...( x xn1 ) f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ], f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x2 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ], ...... f [ x, x0 ,..., xn1 ] f [ x0 , x1 ,..., xn ] ( x xn ) f [ x, x0 ,..., xn ],
二次Newton插值公式为
N 2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )

牛顿(Newton)插值法

Newton插值C 的求法
i
Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
令x = x0得：Nn(x0) = c0 = y0 = f(x0) x = x1得：Nn(x1) = c0 + c1(x1 –x0) = y1 = f(x1) 由此可解出：c0，c1；ci 依次类推。
x y x0 y0 x1 y1 …………. …………. xn-1 yn-1 xn yn xn+1 yn+1
Nn+1(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0)（x – x1） + …. + cn(x – x0) (x – x1) …(x –xn-1) + cn+1(x – x0) (x –x1) ….(x – xn-1) (x - xn)
求n次多项式Nn(x)使得：
Nn(xi) = f(xi) = yi， i = 0，1，… ，n Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
Newton插值的承袭性
增加一个点之后
p1xp0xc1xx0其中p0xfx0其修正项的系数01011xxxfxfc???再进一步修正p1x可以进一步得到抛物线插值公式p2xp1xc2xx0xx10201011212xxxxxfxfxxxfxf??????c2差商的概念差商的定义定义1
牛顿（Newton）插值法

Newton插值

Newton插值（要求：对于给定节点，可以计算插值多项式）一、N ewton的数学理论假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x0,y0),…,(xn,yn),克服拉格朗日插值多项式的缺点的有效方法之一是把插值多项式构造成如下形式：Pn(x0)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn) (1)其中：系数ai (i=0,1,…,n)为待定系数，可由插值条件Pn(xi)=yi (i=0,1,…,n)确定。

根据均差定义，把x看成[a,b]上的一点，可得f(x)=f(x0)+f[x,x0](x-x0)f[x,x0]=f[x0,x1]+f[x,x0,x1](x-x1)…f[x,x0,…,x(n-1)]=f[x0,x1,…,xn]+f[x,x0,x1,…,xn](x-xn)综合以上式子，把后一式代入前一式，可得f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)…(x-x(n-1))+f[x,x0,…,xn]A(x)=Nn(x)+Rn(x)其中Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)…(x-x(n-1)) (2)Rn(x)=f(x)-Nn(x)=f[x,x0,…,xn]A(x) (3)A(x)=(x-xn)(x-x1)…(x-xn)由式(1)确定的多项式Nn(x)显然满足插值条件，且次数不超过n。

式(1)的多项式中，令系数为ak=f[x0,…,xk](k=0,1,2,…,n)则将式(1)变成式(2)，称Nn为牛顿均差插值多项式。

牛顿均差插值多项式在计算量上拉格朗日多项式节省很多，且便于应用于程序设计中。

式(3)为牛顿插值的余项。

二、N ewton插值算法和流程图构造计算经过点(xk,yk)=f(xk,f(xk)) (k=0,1,…,n)的次数小于等于n的牛顿插值多项式：Nn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn]…(x-x(n-1)) 三、N ewton插值的Matlab实现function f=Newton(x,y,x0)%求已知数据点的牛顿插值多项式%已知数据点的x坐标向量：x%已知数据点的y坐标向量：y%插值的x坐标：x0%求得的牛顿插值多项式或在x0处的插值：fsyms t;if(length(x)= =length(y))n=length(x);c(1:n)=0.0;elsedisp(`x和y的维数不相等！`);return;ednf=y(1);y1=0;l=1;for(i=1;n-1)for(j=i+1:n)y1(j)=(y(j)-y(i)/(x(j)-x(i));endc(i)=y1(i+1);l=1*(t-x(i));f=f+c(i)*l;simplify(f);y=y1;if(i==n-1)if(nargin==3)f=subs(f,`t`,x0);elsef=collect(f); %将插值多项式展开f=vpa(f,6);endendend四、N ewton插值的算例实现【例题】用程序求过已知数据点(1,-3),(2,0),(3,15),(4,48),(5,105),(6,192)的牛顿插值多项式。

插值方法-Newton向前向后等距插值

插值⽅法-Newton向前向后等距插值通常我们在求插值节点的开头部分插值点附近函数值时，使⽤Newton前插公式；求插值节点的末尾部分插值点附近函数值时，使⽤Newton 后插公式。

代码：1 # -*- coding: utf-8 -*-2"""3 Created on Wed Mar 2515:43:42202045 @author: 350356"""789 import numpy as np1011 # 等距节点的Newton向前插值(输⼊的x向量和y向量注意保证从⼩到⼤顺序)12 def Newton_iplt_forword(x, y, xi):13"""x，y是插值节点，xi是⼀个值"""14 n = len(x)15 m = len(y)16if n != m:17 print("Error!")18return None19 h = x[1] - x[0]20 t = (xi - x[0]) / h2122 # 先计算差分表(cf)23 cf = []24 temp = y.copy()25for i in range(n):26if i != 0:27 iv_1 = temp[i - 1]28for j in range(i, n):29 iv_2 = temp[j]30 temp[j] = iv_2 - iv_131 iv_1 = iv_232 cf.append(temp[i])33 # 再计算Newton插值34 ans = 035for i in range(n):36 w = 137 # 计算多项式部分，让差分作为其系数38for j in range(i):39 w *= ((t - j) / (j + 1))40 ans += w*cf[i]41return ans4243 # 等距节点的Newton向后插值(输⼊的x向量和y向量保证从⼩到⼤顺序)44 def Newton_iplt_backword(x, y, xi):45"""x，y是插值节点ndarray，xi是⼀个值"""46 n = len(x)47 m = len(y)48if n != m:49 print("Error!")50return None51 h = x[1] - x[0]52 t = (xi - x[n - 1]) / h5354 # 先计算差分表(cf)55 cf = []56 temp = y.copy()57for i in range(n):58if i != 0:59 iv_1 = temp[i - 1]60for j in range(i, n):61 iv_2 = temp[j]62 temp[j] = iv_2 - iv_163 iv_1 = iv_264 cf.append(temp[n - 1])65 # 再计算Newton插值66 ans = 067for i in range(n):68 w = 169 # 计算多项式部分，让差分作为其系数70for j in range(i):71 w *= ((t + j) / (j + 1))72 ans += w*cf[i]73return ans7475 # 当对多个值使⽤Newton插值时，使⽤map()建⽴映射:76 # Iterator = map(Newton, Iterable)7778 # 数值运算时使⽤float参与运算，dtype定为内置float7980 x = np.array((1,2,3,4,5,6), dtype=float)81 y = np.array((1.0, 1.2599, 1.4422, 1.5874, 1.71, 1.8171), dtype=float)82 print(Newton_iplt_forword(x, y, 5.6))83 print(Newton_iplt_backword(x, y, 5.6))84 # 结果：1.775416测试成功！。

4-5讲：ch2-2Newton插值

插值法
第二节 Newton插值法
Newton插值法的基本思路 Newton插值法的构造均差以及Newton插值多项式
差分以及Newton前插、后插公式
一、牛顿插值公式的基本思路
构造多项式: N n ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) ... an ( x x0 )...( x xn1 )
f ( x5 ) f [ x4 , x5 ]
f [ x 3 , x 4 , x 5 ] f [ x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ] f [ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ]
牛顿插值公式
例2.2
给出f ( x )的函数表, 求4次牛顿插值多项式，并由此计 f (0.596)的近似值。算出均差表. 解析首先根据给定函数表造
当x x2时， N n ( x 2 ) a 0 a1 ( x 2 x 0 ) a 2 ( x 2 x 0 )( x 2 x1 ) f 2
a2
f2 f0 x 2 x0

f1 f 0 x1 x0
x 2 x1
牛顿插值多项式的构造
引入记号：
f [ x1 ] f [ x0 ] f k f [ xk ] f [ x0 , x1 ] x1 x0 f2 f0 f [ x 0 , x 2 ] f [ x 0 , x1 ] x 2 x0 f [ x 0 , x1 , x 2 ] x 2 x1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ]( x x1 )
f [ x , x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) f [ x , x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x , x0 ,, xn ]( x xn )

牛顿插值法原理及应用汇总

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

newton插值法matlab

newton插值法matlab一、引言在数值分析中，插值法可以用于在已知的一组数据中，根据数据间的数值规律推断出在某些未知数据点处的数值。

牛顿插值法是一种常用的插值方法，适用于等距节点及非等距节点问题。

二、牛顿插值法的原理假设已经有一组已知的n个节点(x0,y0)、(x1,y1)、...、(xn,yn)，其中x0<x1<...<xn，牛顿插值法的思想是通过构造一个n次多项式，使得多项式在节点处与函数的值一致，从而在节点之间对函数进行插值。

具体算法如下：1. 假设插值多项式为f(x)，则f(x)=b0+b1(x-x0)+...+bn(x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))其中，b0=y0，bi为差商。

2. 首先计算0阶差商：f[x0]=y0，1阶差商：f[x0,x1]=(y1-y0)/(x1-x0)，以此类推。

3. 计算2阶差商，需要用到1阶差商，因此：f[x0,x1,x2]=(f[x0,x1]-f[x1,x2])/(x0-x2)，以此类推，直到完成n-1阶差商。

4. 将差商代入插值公式，即可得到牛顿插值多项式。

三、Matlab代码实现假设已知节点(xi,yi)为(0,1)、(1,2)、(3,1)、 (4,3)，要求在x=2处的插值结果。

代码如下：```% 定义节点数据x = [0 1 3 4];y = [1 2 1 3];% 计算差商表n = length(x);F = zeros(n,n);F(:,1) = y';for j=2:nfor i=j:nF(i,j) = (F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endend% 计算插值结果x0 = 2;result = F(1,1);for k=2:nresult = result + F(k,k)*prod(x0-x(1:k-1));end% 输出结果fprintf('f(%g)= %g\n',x0,result);```输出结果为f(2)= 1.28571428571428。

2 newton插值的原理和算法

Newton插值的原理和算法
Newton插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造多项式，该多项式可以用来估计未知数据点的值。

以下是Newton插值的原理和算法：
原理：
Newton插值基于差商的概念。

差商可以理解为两个相邻数据点之间的值与它们之间距离的比的极限。

对于给定的数据点集，可以通过构造差商表来找到插值多项式。

算法：
1.确定插值节点：选择一组已知数据点的x坐标，这些点将成为插值的节
点。

2.计算差商：根据差商的定义，计算每个数据点与其相邻数据点之间的差
商。

具体来说，对于第i个数据点，其差商Di(x)可以表示为：Di(x) =
[f(xi)/xi - f(xi-1)/(xi-1)] / (xi - xi-1)，其中f(xi)和f(xi-1)分别是第i个和第i-1
个数据点的函数值，xi和xi-1分别是它们的x坐标。

3.构造差商表：将计算出的差商存储在一个表格中，以便后续使用。

4.构建插值多项式：根据差商表，使用Newton插值公式来构建插值多项
式。

具体来说，对于任意x坐标，其对应的函数值f(x)可以通过插值多项式来计算。

5.计算未知数据点的值：将需要估计的x坐标代入插值多项式中，即可得
到对应的函数值估计。

需要注意的是，Newton插值法在处理大量数据点时可能会遇到数值稳定性问题。

此外，当插值节点过多时，差商的计算量会变得非常大，因此在实际应用中需要谨慎选择插值节点数量。

牛顿插值法ppt课件

f (m0 (m0
1)( )
1)!
(
x
x0
)(
m0
1)
19
Hermite插值多项式（续2）
已知函数 y f (x)在区间[a,b]上n个互异点 x0 , x1,L , xn 处的函数值 y0 , y1,L , yn ，以及导数值m0 , m1,L , mn ，求 H2n1(x) P2n1 使得满足插值条件
0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
使之满足
0 (x0 ) 1
00
( x1 (x0
) )
0 0
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0 0 (x1) 1 0 (x0 ) 0 0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
0 0
( x1 ) (x0 )
0 1
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
增加一个点后
Nn1(x) c0 c1(x x0 ) c2(x x0)(x x1) L cn (x x0)(x x1)L (x xn1) cn1(x x0 )(x x1)L (x xn1)(x xn )
5
Newton插值
关键是ci的求法！可仿照泰勒公式里系数的求法！
Nn (x) c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )(x x1) cn (x x0 )(x x1) (x xn1)
1.53427 2.18224 x 0.761677 x2 0.113706 x3
ln 1.5 = 0.409074
28
一般的Hermit插值
设在n+1个节点 a x0 x1 L xn b
给出函数值和导数值 y0 , y1,L , yn 及y0 , y1,L , yn