利用函数的单调性证明不等式

单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快. 下面主要讨论单调性在不等式中的应用.

定义3.1[8] 设函数()f x 的定义域为 ,D 区间 ,I D ? 如果对于区间I 上任意两点1 x 及2x , 当12x x <时, 恒有()()12 f x f x <, 则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的; 如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时, 恒有()()12 > f x f x , 则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的.

定理3.1[8] 设函数()y f x =在[],a b 上连续, 在(),a b 内可导. 如果在(),a b 内()0 f x '>, 那么函数() y f x =在[],a b 上单调增加; 如果在(),a b 内()0 f x '<, 那么函数() y f x =在[],a b 上单调减少.

利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明.

例3.１[3] 当02x π

<<时, 证明:2

sin 1x x

π<<. 证明构造函数sin ()x f x x

=, 则 '22cos sin cos ()(tan ).x x x x f x x x x x

-==- 因为02x π<<

时, tan 0x x -<, 即'()0f x <. 所以由定义知()f x 在(0,)2π内为严格单

调减函数. 002lim ()()lim ()x x f x f x f x π

+→→->>. 而0lim ()1x f x +→=, 022lim ()x f x ππ→-=,

故sin 21x x π

>>. 例3.2[2]

当0x > 时, 证明: ()2

ln 12x x x x -<+<. 证明构造函数()ln(1)f x x x =+-, 则'1()111x f x x x

-=-=++, 当0x >时,

'()0f x <. 所以定义知()f x 在()0,+∞内为严格单调减函数.

故0x >时0

()lim ()(0)0x f x f x f +→<==, 即 ln(1)0,ln(1)x x x x +-<+<. 再构造函数2()ln(1)2x g x x x =--+, 则2

'1()111x g x x x x

=--=-++. 当0x >时'

()0g x <, 所以由有限增量公式知()g x 在0x >时为严格单调减函数, 故当0x > 时, 0()lim ()(0)0x g x g x g →+<==. 即 22

ln(1)0,ln(1)22

x x x x x x --+<-<+. 综上所证, 当0x > 时()2

ln 12

x x x x -<+<.

单调性与几个重要不等式

单调性与几个重要不等式 [摘要] 本文利用单调性或函数的凹凸性证明不等式,并由此给出了詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式等几个重要的不等式。 [关键词] 单调性詹生(Jensen)不等式杨氏不等式Holder不等式不等式 [Abstract] An effective method which is used constantly on proving inequalities in advanced mathematics has been introduced in the paper.And we also gave some important inequalities such as Jensen Inequality, Yang-Inequality, Holder Inequality, andInequality. [Key words] Monotone Jensen Inequality Yang-Inequality Holder InequalityInequality 在高等数学中,利用函数的单调性证明不等式的具有普遍的意义。本文通过利用函数的单调性证明数学中几个重要的不等式: 詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式。以期对高等数学的教学有一定的启发和帮助。引理1:设在区间有可导,且,,则。引理2 设在区间有二阶导数,且,则对任意的,下面不等式成立 (1) 证无妨设, 对任意取定的,令则当时,有。又因为,所以由引理1知严格递增,于是有,因此严格递减,从而有,即。在引理2的条件下,假设 ,利用数学归纳法可以证明如下詹生(Jensen)不等式,即且等号仅在时成立。证明:由引理2有

函数单调性练习(附答案)

函数单调性一．填空题 1. 函数()1 2 x f x x -= +的单调递增区间是__________________. 2. 函数()2 32f x x x =-+的单调递减区间是__________________. 3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________. 4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是 _________. 5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________. 6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________. 7. 已知()()() () 2 3411a x a x f x x x --=<) 11. 已知函数( )f x = []0,1是减函数，则a 的取值范围是____________. 12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 . 二．选择题 13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（）

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、从条件特征入手构造函数证明【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )(b f 【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f 2 x . 求不等式0)2(4)2015()2015(2 >--++f x f x 的解集. 2、移项法构造函数【例2】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11 1 )1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。 3、作差法构造函数证明【例3】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2 )(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f + 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令 x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2 3 ++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

考研数学：如何用单调性与凹凸性证明不等式

考研数学：如何用单调性和凹凸性证明不等式纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文都老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面分析高等数学中如何用单调性和凹凸性证明不等式这类问题。用单调性和凹凸性证明不等式的基本思路：大部分不等式的证明题，往往需要根据条件作辅助函数，然后由导数判断函数的单调性、凹凸性，再由单调性、凹凸性得出要证的不等式。根据单调性证明：若函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()(),()()f a g a f x g x ''≥≥，则在(,)a b 上，()()f x g x ≥；若将上面的“≥”都改成“>”（或“≤”，或“<”），则不等式亦成立。根据凹凸性证明：若在区间I 上()<0f x ''，则()f x 是凸函数，12,x x I ?∈，恒有1212()()( )22x x f x f x f ++> ；对凹函数则相反，若()0f x ''>，则1212()()( )<22x x f x f x f ++ 。典型例题：例1.设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''>，证明：对于(,)a b 内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 证：不妨设12x x <，令11()(1)()()[(1)]g x t f x tf x f t x tx =-+--+，12x x x ≤≤，记1(1)u t x t x =-+，则 1()0g x =，()()()()()0,g x tf x tf u tf x u u x ξξ'''''=-=-≥<<，故()g x 单调不减，于是1()()0g x g x ≥=，取2x x =，得2()0g x ≥，1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 注：1）此题是用单调性证明凹函数的一个重要特性。 2）此题结论的几何意义：凹函数图形上任意两点之间的连线都在其图形之上。

利用函数单调性证明积分不等式(修改)

利用函数单调性证明积分不等式黄道增浙江省台州学院（浙江 317000）摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。关键词：函数单调性积分不等式辅助函数中图分类号 O172.2 积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 1 利用被积函数的单调性证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f b a b a ??≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数，证明：对于10<<<βα，有?? >βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得：若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥ 所以)()()(00αααα αf dx f dx x f =≥?? （1）同理有 )()()()(ααβαβαβ αf dx f dx x f -=≤?? （2）由（1）（2）得： dx x f f dx x f ??-≥≥β αα αβαα)(1)()(10 （3）将（3）式两边同乘以β αβα)(-，有 dx x f dx x f ??≥-βαα βαβα β)()(0 因为1<-β αβ，所以??>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x ??-≥-1021021sin 1cos . 分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换x t arccos =与

高等数学不等式的证明试题及答案

微积分中不等式的证明方法讨论不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种： 1.利用函数的单调性证明不等式若在),(b a 上总有0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 单调增加；若在),(b a 上总有0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 单调减少。注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对),(b a 进行分割，分别在小区间上讨论。例１：证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即 sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。例2：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 2 22a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 2 222 4ln 4ln ->- 证明：设x e x x 224ln )(-=?，则 24ln 2)(e x x x -='?， 2ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2 e x e <<时，

9运用函数地单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版

教学容概要

教学容【知识精讲】一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型：()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=??? ? ??。 ⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+= +1。如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。二、奇偶函数的性质：

奇函数：（1）()()f x f x -=-；（2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =；（3）图像关于原点对称；（4）y 轴左右两侧的单调性相同；偶函数：（1）()()f x f x -=；（3）图像关于y 轴对称；（4）y 轴左右两侧的单调性相反；三、函数单调性的逆用：若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x .(1x 2,x D ∈). 四、不等式恒成立问题的解法若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。【经典例题】

运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版

教学内容概要教学内容

【知识精讲】一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型：()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=???? ??。 ⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+=+1。如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。二、奇偶函数的性质：奇函数：（1）()()f x f x -=-；（2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =；（3）图像关于原点对称；（4）y 轴左右两侧的单调性相同；偶函数：（1）()()f x f x -=；（3）图像关于y 轴对称；（4）y 轴左右两侧的单调性相反；三、函数单调性的逆用：若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x .(1x 2,x D ∈).

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．证明：因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(．得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤．所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法

函数的单调性知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究问题2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16 高频考点例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

指数不等式、对数不等式的解法

指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。解[法一] 原不等式同解于

所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。解原不等式可化为

解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得

当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有 f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。分析由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)＞f(2)。于是，问题归结为先确定f(x)的单调性，再解一个二次不等式。 =0，否则，对任意x∈R，有 f(x)=f((x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已知矛盾，所以对任意x∈R，有f(x)＞0。现设x，y∈R，且y=x+δ(δ＞0)。则 f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x) =f(x)[f(δ)-1]＞0(∵δ＞0，∴f(δ)＞1)。故f(x)在R内是增函数。于是原不等式同解于 x2+x-4＞2 x2+x-6＞0 x＜-3或x＞2

复合函数的单调性与不等式恒成立问题

复合函数的单调性与不等式恒成立问题班级学号姓名 1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是。 2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为． 3、不等式022 ≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为． 4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为． 5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为． 6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-?==?--<-? 若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6．若二次函数()()22 42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围（） A ．121<<-p B ．233<<-p C ．3-≤p D ．2 13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0 922<+-a x x 也成立，则（） A ．9>a B ．9=a C ．90≤+p x px x 恒成立的x 的取值范围是． 7、已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2 9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。例4.已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。