利用函数的单调性证明不等式

利用函数的单调性证明不等式

单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快. 下面主要讨论单调性在不等式中的应用.

定义3.1[8] 设函数()f x 的定义域为 ,D 区间 ,I D ⊆ 如果对于区间I 上任意两点1 x 及2x , 当12x x <时, 恒有()()12 f x f x <, 则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的; 如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ， 当12x x <时, 恒有()()12 > f x f x , 则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的.

定理3.1[8] 设函数()y f x =在[],a b 上连续, 在(),a b 内可导. 如果在(),a b 内()0 f x '>, 那么函数() y f x =在[],a b 上单调增加; 如果在(),a b 内()0 f x '<, 那么函数() y f x =在[],a b 上单调减少.

利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明.

例3.１[3] 当02x π

<<时, 证明:2

sin 1x x

π<<. 证明 构造函数sin ()x f x x

=, 则 '22cos sin cos ()(tan ).x x x x f x x x x x -=

=- 因为02x π<<

时, tan 0x x -<, 即'()0f x <. 所以由定义知()f x 在(0,)2π内为严格单调减函数.

002lim ()()lim ()x x f x f x f x π

+→→->>. 而0lim ()1x f x +→=, 022lim ()x f x ππ→-=,

故sin 21x x π

>>. 例3.2[2] 当0x > 时, 证明: ()2ln 12

x x x x -<+<. 证明 构造函数()ln(1)f x x x =+-, 则'1()111x f x x x

-=-=++, 当0x >时,

'()0f x <. 所以定义知()f x 在()0,+∞内为严格单调减函数.

故0x >时0

()lim ()(0)0x f x f x f +→<==, 即 ln(1)0,ln(1)x x x x +-<+<. 再构造函数2()ln(1)2x g x x x =--+, 则2

'1()111x g x x x x

=--=-++. 当0x >时'()0g x <, 所以由有限增量公式知()g x 在0x >时为严格单调减函数, 故当0x > 时, 0

()lim ()(0)0x g x g x g →+<==. 即 22

ln(1)0,ln(1)22

x x x x x x --+<-<+. 综上所证, 当0x > 时()2

ln 12

x x x x -<+<.