雅可比多项式及斐波那契数的一组恒等式
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参考 文献 ：
【】 学 手 册 编 写组 ． 学手 册 【 】９ ９６６ ６７ ｌ 数 数 ｈ ． ７ ． － １． Ｉ１ ０
［］ ｎ ｅｇ Ｚ ａ ｇ ｏ ｅ ｉｅｔ ｅ ｎｏ ｉｇ ｔ ｉｏａｅ ｍ Ⅱ ｅ １ ｉｏａｅ Ｑ ａｔ ｌ １９ （５， ５ ２ ９ ２Ｗｅ ｐｎ ｈｎ ． ｍ ｄ ｎ ｆｓｉｖｌ ｎ ｈ Ｆｂ ｎｅｉ ＩＩ 措． Ｆｂｎｅｉ ｕｒ ｒ ９ ７３ ） ２ — ２ ． Ｓ ｉ ｉ ｖ ｅ ｂ ｋ ｅｙ ２ 【】 端 森 ， 超 ． 根 堡 多 项 式 以 及斐 波 那 契 数 和 鲁 卡 数 的 一 些 恒 等式 阴 ． 安 大 学学 报 ，０ ３（ ）８ １． ３刘 李 盖 延 ２ ０ ，１ ：－ ０
ａｏ ＝ － ｊ ｏ
（ ６ ）
另 一 方面 ，
， ｆ （ 叫 （ ・ （，：∑２ ） ） ）
＝ （ ２ ㈤ ㈤ ㈤ 曼 ・ … ）
比较 （ ） （ ） 边 的系 数有 （ ） 成 立 ， 理 １ 证 ． ６ 、７ 两 ３式 定 得
（） ７
请 注意 引理 是 文网 中一个 推论 ， 里不 再证 明 ． 这 由引理 成立 的条件 ， （ ） ， ｋ ２ ｌ ｍ为 正 整数 ） ， 在 ４ 中 当 ＝ ｍ＋ （ 时
Ｌ ．
ｃ （ ） （）令 ＇－ ＝ｍ＋ 代入 （） ＝ ＝ ， ＝‘ ， ２ ｌ 『 ６ ｋ － ３ 就有
（） （） （） （） ” ”争 争。 争． 争＝ 争・ ） ． ・ ‘（
再 将 引理 的结 果 即 （ ） 入上 式就 有 （ ） ４代 ５ 式成 立 ， 论 得证 ． 推
表 示对 所 有 满足 ＋ …＋ｂ ｎ的非 负 整数 组 （ ｎ， ， ） 和 ， ａ＝ ， ｔ ，２… 求 ｋ为正整 数 ．
的计 算 问题 ． 中 其
ａ＋ ￣ … ＋ ｌａ ｑ
在结 论 中 ， 还要用 到著名 的盖 根堡 多项 式【 １ ｛ 】 序列
按 的展 开式 ．
第 ４期
刘 端 森 等 ： 可 比多项 式及 斐 波 那 契 数 的一 组 恒 等 式 雅
ｌ ５
推论
设
（ ） 由（ ） 义 的雅 可 比多项 式 ， 是 斐波 那 契数 ， 么 对于 任 意非 负整 数 ｎ 是 １定 那 ，
％ …， 。 ‰ 以及任 意数 Ｏ， ， Ｏ 一 ， ＞ １ ， 们有 恒等 式 ｔＢ 当 ｒ １ Ｂ 一 时 我 ＞
（ ｓ ｔｔ ｏ ｔｅ ｔ ｓｏ ｈ ｎ ｌ ｅｃ ｅ＇ Ｃ Ｈ ｇ，ｈ ｎ ｌｕ ｈ ａ ｘ ７ ６ ０ ） Ｉ ｔｕｅ ｆＭａ ｍａｉ ｆＳ ａ ｇｏ Ｔ ａｈ ｒ ｏ ｅｅＳ ａ ｇ ， ａｎ ｉ ２ ０ ０ ｎｉ ｈ ｃ ｕ ｓ ｏＳ
￣ Ｔ ｒｕ ｈ ｔｅ ｓｕ ｙ ｏ ｈ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ａ ｏ ｉｐ ｌｎ ｍｉｌ ，ｏ ｄ ｎ ｉｅ ａ ｏ ｙ Ｐ ｌｎ ｍｉｌ ｈｏ ｇ ｈ ｔ ｄ ｆ ｔｅ ｐ ｏ ｅｔ ｆＪ ｃ ｂ ｏｙ ｏ ａｓ ８ ｍｅ ｉ ｅ ｔ ｓ Ｊｃ ｂ ｏｙ ｏ ａｓ ｅ ｉ ｆ
）（＝ １２ … ）它是 由生成 函数 （—ｘ＋） Ｊｎ ０， ，， ， １２ｔｄ－ ￣
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Ｊ Ｉ
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（） ２
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Ｒ Ｖ＇ ２— ｔ Ｉ ｌ （， ＞ １ ： ＝ — ｘ＋２，ｌ ，ｔ１ 一 ） ｌ ｔ － ｔ ＜ Ｉ３
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（） １
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∑
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（ ） ∑ ｉ
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。 。 …
（） ５
２ 定理的证明
１ｒ 、 。
，
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１ 引 言 与 结 论
雅 可 比多项 式 是著 名 的正 交 多项 式 之 一 ， 着 广 泛 的应 用 ． 这 里 ， 和研 究 其 他 正 交 多项 式 一 有 在 将 样 ， 重 研究 其 性质 及其 与 斐波 那 契数 的关 系 ． 着
雅可 比多项式序列｛
（ ）（－ ， ， ， 【 由生成函数【 （＋ —） １ Ｒ ｔ 】 按 展开（ 中 ｝ｎ Ｏ １２ …）是 １ ］ Ｒ １ Ｒ ｔ （＋ ＋）一 ｎ 目－ 其
第 １ ７卷
第 ４期
商 洛 师 范 专科 学 校 学 报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｎ ｌｏ Ｔ ａ ｈ ｒ Ｈ ｇ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ａ ｇｕ ｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏ ｅ ｅ
Ｖｏ ．７ Ｎｏ４ １１ ． Ｄｅ ．２ ０ ｃ ０３
２ຫໍສະໝຸດ Baidu ０ ３年 １ ２月
雅 可 比多项式 及斐 波那契数 的一 组恒 等式
（ 任 编 辑 ： 目● ） 责 张
Ｓ ｍ ｅ Ｉ ｅ ｔ ｉｓ Ｉ ｖ ｌｉ ｇ ｔ ｅ Ｊ ｃ ｂ ｏ ｄ ｎ ｉ ｅ ｎ ｏｖｎ ｈ ａ ｏ ｉ ｔ
Ｐｏ ｙ ｏ ｉ ｌ ｎ ｂ ｎ ｃ ｉ Ｎｕ ｂ ｒ ｌ ｎ ｍ ａ ｓ ａ ｄ Ｆｉ ｏ ａ ｃ ｍ ｅ
Ｌ Ｕ Ｄｕ ｎ ｓｎ Ｌ ｕ － ｈ ａ ｇ Ｉ ａ － ｅ ＩＪ ｎ ｚｕ ｎ
ａ ｏ －
（ ）
对 于任 意 正整 数 ｋ 一方 面有 ，
ｔ（， ＝Ｒ Ｉ Ｒ ｔ （＋ ＋）４ Ｒ ｘ ｔ Ｊ （＋ —） １Ｒ ｔ ＝ Ｒ １ Ｒ ｔ （＋ ＋）］ ） “ （＋ －） １Ｒ ｔｏ ｈ ｔ－
：
（ 『（ （ ∑ｃ ）∑ ）
ａｏ － ａｏ －
（ ： ）∑∑ｃ （２ 嘶 ） ） ＿ ） ＝ （
的 系数 来 定义 ． 而斐 波 那契 数 ｛ 是 由递 推公 式
数列 已有 大量 的研究 成 果． 有关 结 论 如下 ： 定理 设 ） （） 为 ２ 定义 的盖根 堡 多项 式 ，
’ ） 由（ ） 义 的雅 可 比多项 式 是 １定
，
那 么对 于 任意
正整 数 ｋ和非负 整数 ｎ ， …， 以及 任 意数 ｑ， 当 ＞ １ １ 一 时 ， 恒等 式 ， Ｂ， 一 ，＞ １ 有 ３
∑
＋ 一 … ’ ： １ 口 １ ＾
’） ’ ） ’）∑ （ 郎（ （・ （… （＝ ） ’）
ｉ ｏ ＝
（ ３ ）
引理 设ｋ 为正整数，： ） ｃ （ 为盖根堡多项式， 为斐波那契数， 那么有恒等式
（＝ ∑ 睾）
收 稿 日期 ：０ ３ １ － ０ ２ｏ—０２
刘 端森 李 军 庄
（ 洛 师 范 专 科 学 校 数 学 系 ， 洛 师 范 专 科 学 校 数学 研 究 所 ， 西 商 洛 商 商 陕 ７６０） ２ ０ ０
摘
要： 通过 对雅 可 比 多项 式 性 质的研 究 ， 用初 等 方 法得 到 了关 于雅 可 比 多项 式 的一 利
组 恒 等式 ． 并研 究 了雅 可 比 多项 式 与 斐波 那契数 的 关 系． 关 键词 ： 可 比 多项式 ； 雅 斐波 那 契数 ； 恒等 式 ； 等 方 法 初 中图分 类号 ： ５ ． ０１ ６４ 文献 标 识码 ： 文 章编 号 ：０ ８ ３ ３ （０ ３ ０ － ０ ４ ０ Ａ １ ０ — ０ ０ ２ ０ ）４ ０ １ — ２ －
。 。 …
（ ４ ）
基 金 项 目 ： 西 省 自然 科 学 基金 项 目（ ０ ２ ｌ ） 校 内 育 苗 基金 项 目 陕 ２ ０ Ａ １及
作 者 简 介 ： 端 森 （９ １ ， ， 刘 １６ －）男 陕西 山 阳人 ， 洛 师 范专 科 学 校 数 学 系 、 学 研 究 所 副 教 授 商 数
ａ ｄ Ｆ ｂ ｎ ｅ ｉ ｎ ｍｂ ｒ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ． ｎ ｉ ｏ ａ ｃ ｕ ｅ ｒ ｂ ａ ｎ ｄ
Ｋｅ ｏ ｄ ：ａ ｏ ｉＰ ｌｎ ｍｉｌ；ｉｏ ａ ｃ ｍｂ ｒＪ ｅ ｆｙ ｙ Ｗ ｒ ｓＪ ｃ ｂ ｏｙ ｏ ａｓ ｂ ｎ ｃ ｉ Ｍｕ ｅ，ｅ ｎ ｔ Ｆ ｉ
【】 学 手 册 编 写组 ． 学手 册 【 】９ ９６６ ６７ ｌ 数 数 ｈ ． ７ ． － １． Ｉ１ ０
［］ ｎ ｅｇ Ｚ ａ ｇ ｏ ｅ ｉｅｔ ｅ ｎｏ ｉｇ ｔ ｉｏａｅ ｍ Ⅱ ｅ １ ｉｏａｅ Ｑ ａｔ ｌ １９ （５， ５ ２ ９ ２Ｗｅ ｐｎ ｈｎ ． ｍ ｄ ｎ ｆｓｉｖｌ ｎ ｈ Ｆｂ ｎｅｉ ＩＩ 措． Ｆｂｎｅｉ ｕｒ ｒ ９ ７３ ） ２ — ２ ． Ｓ ｉ ｉ ｖ ｅ ｂ ｋ ｅｙ ２ 【】 端 森 ， 超 ． 根 堡 多 项 式 以 及斐 波 那 契 数 和 鲁 卡 数 的 一 些 恒 等式 阴 ． 安 大 学学 报 ，０ ３（ ）８ １． ３刘 李 盖 延 ２ ０ ，１ ：－ ０
ａｏ ＝ － ｊ ｏ
（ ６ ）
另 一 方面 ，
， ｆ （ 叫 （ ・ （，：∑２ ） ） ）
＝ （ ２ ㈤ ㈤ ㈤ 曼 ・ … ）
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（） ７
请 注意 引理 是 文网 中一个 推论 ， 里不 再证 明 ． 这 由引理 成立 的条件 ， （ ） ， ｋ ２ ｌ ｍ为 正 整数 ） ， 在 ４ 中 当 ＝ ｍ＋ （ 时
Ｌ ．
ｃ （ ） （）令 ＇－ ＝ｍ＋ 代入 （） ＝ ＝ ， ＝‘ ， ２ ｌ 『 ６ ｋ － ３ 就有
（） （） （） （） ” ”争 争。 争． 争＝ 争・ ） ． ・ ‘（
再 将 引理 的结 果 即 （ ） 入上 式就 有 （ ） ４代 ５ 式成 立 ， 论 得证 ． 推
表 示对 所 有 满足 ＋ …＋ｂ ｎ的非 负 整数 组 （ ｎ， ， ） 和 ， ａ＝ ， ｔ ，２… 求 ｋ为正整 数 ．
的计 算 问题 ． 中 其
ａ＋ ￣ … ＋ ｌａ ｑ
在结 论 中 ， 还要用 到著名 的盖 根堡 多项 式【 １ ｛ 】 序列
按 的展 开式 ．
第 ４期
刘 端 森 等 ： 可 比多项 式及 斐 波 那 契 数 的一 组 恒 等 式 雅
ｌ ５
推论
设
（ ） 由（ ） 义 的雅 可 比多项 式 ， 是 斐波 那 契数 ， 么 对于 任 意非 负整 数 ｎ 是 １定 那 ，
％ …， 。 ‰ 以及任 意数 Ｏ， ， Ｏ 一 ， ＞ １ ， 们有 恒等 式 ｔＢ 当 ｒ １ Ｂ 一 时 我 ＞
（ ｓ ｔｔ ｏ ｔｅ ｔ ｓｏ ｈ ｎ ｌ ｅｃ ｅ＇ Ｃ Ｈ ｇ，ｈ ｎ ｌｕ ｈ ａ ｘ ７ ６ ０ ） Ｉ ｔｕｅ ｆＭａ ｍａｉ ｆＳ ａ ｇｏ Ｔ ａｈ ｒ ｏ ｅｅＳ ａ ｇ ， ａｎ ｉ ２ ０ ０ ｎｉ ｈ ｃ ｕ ｓ ｏＳ
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Ｒ Ｖ＇ ２— ｔ Ｉ ｌ （， ＞ １ ： ＝ — ｘ＋２，ｌ ，ｔ１ 一 ） ｌ ｔ － ｔ ＜ Ｉ３
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（） １
的 系数来 定 义 的． 这里 主要 解决 以下 和式
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’） ’ ） ’ ） （ ・ （ … （
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２ 定理的证明
１ｒ 、 。
，
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１ 引 言 与 结 论
雅 可 比多项 式 是著 名 的正 交 多项 式 之 一 ， 着 广 泛 的应 用 ． 这 里 ， 和研 究 其 他 正 交 多项 式 一 有 在 将 样 ， 重 研究 其 性质 及其 与 斐波 那 契数 的关 系 ． 着
雅可 比多项式序列｛
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商 洛 师 范 专科 学 校 学 报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｎ ｌｏ Ｔ ａ ｈ ｒ Ｈ ｇ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ａ ｇｕ ｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏ ｅ ｅ
Ｖｏ ．７ Ｎｏ４ １１ ． Ｄｅ ．２ ０ ｃ ０３
２ຫໍສະໝຸດ Baidu ０ ３年 １ ２月
雅 可 比多项式 及斐 波那契数 的一 组恒 等式
（ 任 编 辑 ： 目● ） 责 张
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，
那 么对 于 任意
正整 数 ｋ和非负 整数 ｎ ， …， 以及 任 意数 ｑ， 当 ＞ １ １ 一 时 ， 恒等 式 ， Ｂ， 一 ，＞ １ 有 ３
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引理 设ｋ 为正整数，： ） ｃ （ 为盖根堡多项式， 为斐波那契数， 那么有恒等式
（＝ ∑ 睾）
收 稿 日期 ：０ ３ １ － ０ ２ｏ—０２
刘 端森 李 军 庄
（ 洛 师 范 专 科 学 校 数 学 系 ， 洛 师 范 专 科 学 校 数学 研 究 所 ， 西 商 洛 商 商 陕 ７６０） ２ ０ ０
摘
要： 通过 对雅 可 比 多项 式 性 质的研 究 ， 用初 等 方 法得 到 了关 于雅 可 比 多项 式 的一 利
组 恒 等式 ． 并研 究 了雅 可 比 多项 式 与 斐波 那契数 的 关 系． 关 键词 ： 可 比 多项式 ； 雅 斐波 那 契数 ； 恒等 式 ； 等 方 法 初 中图分 类号 ： ５ ． ０１ ６４ 文献 标 识码 ： 文 章编 号 ：０ ８ ３ ３ （０ ３ ０ － ０ ４ ０ Ａ １ ０ — ０ ０ ２ ０ ）４ ０ １ — ２ －
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（ ４ ）
基 金 项 目 ： 西 省 自然 科 学 基金 项 目（ ０ ２ ｌ ） 校 内 育 苗 基金 项 目 陕 ２ ０ Ａ １及
作 者 简 介 ： 端 森 （９ １ ， ， 刘 １６ －）男 陕西 山 阳人 ， 洛 师 范专 科 学 校 数 学 系 、 学 研 究 所 副 教 授 商 数
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