高三_数学_专题1_第2讲【衡水中学2020第二轮考前复习】

第一部分 专题一 第二讲
A 组
1．(2017·全国卷Ⅱ，1)3＋i
1＋i ＝( D )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i
[解析]
3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝3－3i ＋i ＋1
2＝2－i ．
故选D ．
2．(文)已知i 为虚数单位，则复数1－3i
1＋i ＝( C )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－1－2i
D ．－1＋2i
[解析]
1－3i 1＋i
＝(1－3i )(1－i )
2＝－1－2i ，故选C ．
(理)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，则|a ＋b i|＝( C ) A ．1
2＋i
B ． 5
C ．
52
D ． 54
[解析] ∵(1＋2a i)i ＝－2a ＋i ＝1－b i ， ∴a ＝－1
2，b ＝－1，
∴|a ＋b i|＝|－1
2
－i|＝
(－12)2＋(－1)2＝52
． 3．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( C ) A ．2 B ．2 3 C ．2
D ．6
[解析] ∵|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，
∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝16，∴|a －b |＝2，故选C ．
4．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( B ) A ．5 B ．10 C ．25
D ．10 [解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴x －2＝0，∴x ＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10．
5．(2019·成都检测)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示．若输入的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为(C)
A．2B．3
C．4D．5
[解析]执行程序框图，x＝4，y＝6，k＝1，
k＝k＋1＝2，x>y不成立，x＝y不成立，y＝y－x＝2；
k＝k＋1＝3，x>y成立，x＝x－y＝4－2＝2；
k＝k＋1＝4，x>y不成立，x＝y成立，输出k＝4．
6．(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(D)
A．21B．34
C．52D．55
[解析]由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D．
7．下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是(D)
A ．k ＝8?
B ．k ≤7?
C ．k <7?
D ．k >7?
[解析] 开始→k ＝10，S ＝1，满足条件→S ＝1＋10＝11，k ＝10－1＝9，满足条件→S ＝11＋9＝20，k ＝9－1＝8，满足条件→S ＝20＋8＝28，k ＝8－1＝7.由于输出S 的值为28，故k ＝7不再满足条件，故选D ．
8．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD →＝DC →，则BA →·BD →
的值是( B )
A ．48
B ．24
C ．12
D ．6
[解析] 解法一：由题意得，BA →·BC →
＝0， BA →·CA →＝BA →·(BA →－BC →)＝|BA →
|2＝36，
∴BA →·BD →＝BA →·(BC →＋CD →)＝BA →·(BC →＋23CA →
)＝0＋23
×36＝24．
解法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．
由2AD →＝DC →
，得D (4,2)． ∴BA →·BD →
＝(6,0)·(4,2)＝24．
9．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2
D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
[解析] 由|a ·b |＝||a |·|b |·cos θ|，
因为－1≤cos θ≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立；
由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a －b |≥||a |－|b ||，故B 选项不成立； 根据向量数量积的运算律C ，D 选项恒成立．
10．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( C )
A ．201
B ．411
C ．465
D ．565
[解析] 200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有
正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465．
11．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i
1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值
范围是( A )
A ．(－1,1)
B ．(－1,0)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
[解析] 解法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝1＋m 2＋m －1
2i 在复平面内对应的点为
(1＋m 2，m －1
2)，且在第四象限，所以⎩
⎨⎧
1＋m
2
>0，m －1
2
<0，解得－1<m <1．
解法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－1
2i ，在复平面内对应的点在第四象限，
所以排除选项B 、C 、D ，故选A ．
12．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1,0，13，1
2，1,2,3,4}的所有
非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( A )
A ．15
B ．16
C ．28
D ．25
[解析] 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和1
3，2
和1
2
这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15．
13．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝．
[解析] 由a ∥b ⇒m ＋4＝0，解得m ＝－4，故2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝45．
14．已知△ABC 的面积为23，且B ＝2π3，则AB →·BC →
＝__4__．
[解析] 设△ABC 的三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 则S ＝12ac sin B ＝3
4ac ＝23，即ac ＝8，
AB →·BC →＝|AB →||BC →
|·cos(π－B )＝ca cos π3＝8×12
＝4．
15．执行下边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值为__13__．
[解析] 第一次执行程序，满足条件x ＜2，x ＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x ＜2，y ＝3×22＋1＝13，输出y ＝13，结束．答案为13．
16．观察等式：f (13)＋f (23)＝1；f (14)＋f (24)＋f (34)＝32；f (15)＋f (25)＋f (35)＋f (45)＝2；f (16)＋f (2
6)＋
f (36)＋f (46)＋f (56)＝5
2
； …
由以上几个等式的规律可猜想f (12 020)＋f (22 020)＋f (32 020)＋…＋f (2 0192 020)＝__2 0192__．
[解析] 从所给四个等式看，等式右边依次为1，32，2，52，将其变为22，32，42，5
2，可以
得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f (1
2 020)＋
f (22 020)＋f (32 020)＋…＋f (2 0192 020)＝2 0192
． B 组
1．已知复数z 满足z (1＋i)＝1＋a i(其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] 由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，
a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限．
2．(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a
1－2i
＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( D )
A ．－5
B ．－1
C ．－1
3
D ．－53
[解析] z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )
＋i ＝a 5＋2a ＋5
5i ，
∵复数z ＝a
1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，
∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53
．
3．设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( A ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b
D ．|a |>|b |
[解析] 方法一：∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2．
∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ． ∴a ·b ＝0． ∴a ⊥b ． 故选A ．
方法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →
＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →
|，∴|AC |＝|DB |
从而平行四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b ． 故选A ．
4．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( D )
A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和
B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和
C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和
D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和
[解析] 由程序框图得，输出的S ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n －1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和．
5．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a －t b |(t ∈R )的最小值为( A )
A ．
32 B ．12
C ．1
D ．2
[解析] 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，于是|a ＋b |2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1， 即a ·b ＝－1
2
．
|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2t a ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －t b |的最小值为3
2．
6．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9
a 2 019a 2 020
＝( C )
A ．2 016
2 017
B ．2 0172 018
C ．2 0182 019
D ．2 0192 020
[解析] 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1
n
，
则
9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 019a 2 020＝(11－12 )＋(12－13 )＋(13－14 )＋…(12 018－12 019
)＝1－12 019＝2 0182 019
.故选C ． 7．(2019·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填( B )
A ．i ≥10?
B ．i ≥11?
C ．i ≤11?
D ．i ≥12?
[解析] 执行程序框图，i ＝12，s ＝1；s ＝12×1＝12，i ＝11；s ＝12×11＝132，i ＝10.此时输出的s ＝132，则判断框中可以填“i ≥11？”．
8．(2019·南宁摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →
＝2且∠BAC
＝60°，则△OBC 的面积为( A )
A ．33
B ． 3
C ．
32
D ．23
[解析] ∵OA →＋OB →＋OC →
＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC ．
∵AB →·AC →
＝2，
∴|AB →|·|AC →
|·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60°，
∴|AB →|·|AC →
|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33．
9．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z
＋z 2的虚部为__－1__．
[解析] ∵z ＝1－i(i 为虚数单位)， ∴z z ＋z 2＝
1＋i 1－i ＋(1－i)2
＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )
－2i ＝2i 2－2i ＝－i ，故其虚部为－1．
10．(文)(2019·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的__乙，丙__两人说对了． [解析] 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
(理)(2019·湖北七市联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝1
2
n (n ＋1)；
1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝1
6
n (n ＋1)(n ＋2)；
1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝1
24n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)；
…
可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝__1
120
n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)__．
[解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为1
5×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)
＝
1
120
n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)． 11．(2017·江苏卷，4)如图是一个算法流程图，若输入x 的值为1
16，则输出y 的值是__－
2__．
[解析] 输入x ＝116<1，执行y ＝2＋log 21
16＝2－4
＝－2，故输出y 的值为－2．
12．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →
，则m ＋n 的取值范围是__(－1,0)__．
[解析] 根据题意知，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD →＝tOC →
． ∵D 在圆外，∴t <－1，
又D ，A ，B 共线，∴存在λ、μ，使得OD →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，又由已知，OC →＝mOA →＋nOB →，
∴tmOA →＋tnOB →＝λOA →＋μOB →， ∴m ＋n ＝1
t ，故m ＋n ∈(－1,0)．。