连续介质力学习题一

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一、张量复习
1-1 已知k j i ,,为直角坐标系的基矢量，某斜角坐标系的协变基矢为
j i g k i g k j g +=+=+=321,,，
（1）求逆变基矢321,,g g g （用k j i ,.,表示）；（2）求度量张量ij g ；（3）验证公式i ij j g g g =；（4）有两个矢量：,32321g g g u -+=321g g g v +-=，
求v u ,的协变分量i i v u ,及两矢量点积v u ⋅。

1-2 球坐标系，令ϕθ===321,,x x R x ，求该坐标系的2,,,,ds g g g g ij ij j i 。

1-3 设有一抛物柱面坐标系(由两族抛物柱面及平面构成),令ςηξ===321,,x x x ，若已知抛
物柱面坐标系与直角坐标系的关系为：ςξηξη-==-=z y x ,),(2
122，设 321,,i i i 为直角坐标系的基矢量，试求抛物柱面坐标系的协变基矢和逆变基矢及度量张量(用直角坐标系的基矢量表示)。

1-4 设T 为二阶对称张量，S 为二阶反对称张量，u 为任意矢量，试证明：
（1）u T T u ⋅=⋅；（2）u S S u ⋅-=⋅。

1-5 设T 为二阶对称张量，设S 为二阶反对称张量，求证：0:=S T 。

1-6 设S T ,为任意二阶张量，**,S T 为它们的转置，求证：*:**:*::T S S T T S S T ===。

1-7 证明：（1）*)(*)(11--=T T ；（2）对称张量的逆也对称；（3）111)(---⋅=⋅A B B A 。

1-8 设)(),(x v x u 为光滑矢量场，试证：
（1）v u v u v u ⋅∇⨯-∇⨯⋅=∇⋅⨯)()()( ；
（2）v u v u v u v u v u )()()()()(∇⋅-⋅∇+∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇ 。

1-9 证明：对二阶对称张量N ，有N N ⋅∇=∇⋅。

1-10 证明：对标量函数φ，有i jk i k j kj jk x
x x Γ∂∂-∂∂∂==ϕϕϕϕ2;;。

1-11 利用课上例题及1-2题的结果，根据公式
和 ，计算柱坐标),,(z r θ和球坐标),,(ϕθR 的第二类Christoffel 符号k ij Γ。

)(21,l ij i jl j il l ij x g x g x g ∂∂-∂∂+∂∂=Γl ij kl k ij g ,Γ=Γ。