工程电磁场 第六章电磁场的边值问题
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方程可以由此推出。但独立方程有6个变量（B 、 H 、 E 、 D 、 ）J 、 ，因此，
方程数少于未知量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式， 对于简单媒质，本构方程为
DE BH J E (1-6)
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3
3、材料性质
材料是均匀的 const ， const ， const
材料是非均匀： x, y,z， x, y,z， x, y,z
场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。
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9
（1）扩散方程（抛物型方程） 忽略位移电流，MQS场的方程为
H J ,B 0 , E B, D 0 t
由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度）
非线性介质
1AA t J
，0
t
线性介质
2AAJ
t
若为正弦交变场，扩散方程为
扩散方程初始条件：
ux, y, z,t tt0
f1x, y, z,t0
波动方程初始条件：
ux, y, z,t tt0
f1x, y, z,t0
ux, y,z,t
t
tt0
f2x, y, z,t0
如：初始的速度、电流、电压等。
边 2、界 边条 件 界条件
（ 1） 第 一 类 边 界 条 件 （ D irichlet 狄 利 赫 里 条 件 ）
精选ppt
6
2、 稳态电流场问题 稳态（直流）电流场满足的基本方程：
J 0 , E 0 → E
说明在导电媒质中，电流不会自成闭合回路（从电源正极出发到电源负极终止）， 电位满足
拉普拉斯方程
0
—椭圆型方程
若 是均匀、线性、各向同性介质，上式为 2 0 产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。 2 3、 、稳稳 态态 磁磁 场场
1
A
J
—矢量泊松方程
x
1
A x
y
1
A y
z
1
A z
J
若为线性、均匀媒质
2A J
若 存 在 铁 磁 质 ，可 将 其 作 用 等 效 为 磁 化 电 流 的 作 用 ，它 与 磁 化 强 度 的 关 系 为
M Jm
磁矢位 A 的方程可以写为真空中的泊松方程
2 A 0 J J m
材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ， ，
材料为非线性：材料参数是未知函数的函数 E， B， E
dD
dE
dB
dH
dJ
dE
（1-7）
4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转化为标量方程才能求解，
另外，在边界上不易写出场量边界条件，因此，常化为位函数的定解问题（位函
稳 态 （ 直 流 ） 电 流 产 生 的 磁 场 满 足 的 基 本 方 程
HJ, B0, BH
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7
（ 1） 矢 量 磁 位 的 泊 松 方 程 根 据 H J , B 0 , B A ， 有 双 旋 度 方 程
1AJ
取 库 伦 规 范 A 0 ， 及 矢 量 恒 等 式 A A A ， 得
2H H 2H 0
t
t 2
2E
E t
2E t 2
0
取 洛 伦 兹 规 范 A ， 则 位 函 数 满 足 的 波 动 方 程 t
2 A A 2 A J
t
t 2
2 2
t
t 2
精选ppt
11
3.2定解条件
1、初始条件（柯西问题）
在瞬态电磁场中，初始条件是整个系统初始状态的表达式
数容易确定边界条件） ，通过位函数与场量的关系
E
得到场量。
BA
Hm
EA （1-8）
t
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4
二、定解问题
1、初值问题 只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁 波传播问题等。
2、边值问题 只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。
ux,y,z,t 1g1x,y,z,t
SB ds 0
SJ
ds
V
t
dv
（1-1）
（1-2） （1-3）
(1-4) （1-5）
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2
1、①四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；②积 分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系）、复数形式（可作 为稳态场计算）；③梯度、散度、旋度的概念（描述“点”上电磁 场的性质）。
2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程，其它两个
3、混合问题 既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电磁 场问题等。
4、解的稳定性问题 如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定 的。反之称为不稳定解。
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5
三、电磁场中的定解问题
定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件）
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8
4、交变电磁场中的泛定方程
时变场中 0，（下面分段没有绝对的分界线） t
缓慢变化 ( f < 10 KHz )
快速变化
准静态场
准静态场
电磁波
MQS：HJ , B0, EB, D0 t
HJ D, B0 t
EQS：HJ D, B0, E0, D0 t
EB, D0 t
MQS场求解时，磁场可以用稳态磁场的方法求解，然后用上述公Fra Baidu bibliotek求电场；EQS
下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。
3.静1态 静、态稳、态电 稳磁态场电中的磁泛场定中方程的泛定方程
1、静电场方程
静电场的基本方程 D , E 0
泊松方程
三维方程
x
x
y
y
z
z
若ε是均匀、各向同性介质，上式为
2
静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。
—椭圆型方程
第六章 电磁场的边值问题
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1
一、麦克斯韦方程组
（一）maxwell 方程
微分形式
全电流定律
Η J D t
电磁感应定律 高斯定律
E B t
D
磁通连续性原理 电流连续性方程
B 0
J t
积分形式
LH
dl
S
J
D t
ds
LE
dl
S
B t
ds
SD ds V dv
2 0
t
2A jA J 2j 0
涡流损耗是引起导体发热的主要原因。
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10
（21 、）波波动动方方程程（ 双（曲双型曲方型程 方） 程）
一般不考虑非线性问题，因为如果在铁磁材料中传播电磁波，高频下的涡流 损 耗 及 磁 滞 损 耗 很 大 ，电 磁 波 很 快 衰 减 ，能 量 不 可 能 传 递 很 远 。因 此 ，场 量 的 波 动方程
方程数少于未知量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式， 对于简单媒质，本构方程为
DE BH J E (1-6)
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3、材料性质
材料是均匀的 const ， const ， const
材料是非均匀： x, y,z， x, y,z， x, y,z
场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。
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9
（1）扩散方程（抛物型方程） 忽略位移电流，MQS场的方程为
H J ,B 0 , E B, D 0 t
由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度）
非线性介质
1AA t J
，0
t
线性介质
2AAJ
t
若为正弦交变场，扩散方程为
扩散方程初始条件：
ux, y, z,t tt0
f1x, y, z,t0
波动方程初始条件：
ux, y, z,t tt0
f1x, y, z,t0
ux, y,z,t
t
tt0
f2x, y, z,t0
如：初始的速度、电流、电压等。
边 2、界 边条 件 界条件
（ 1） 第 一 类 边 界 条 件 （ D irichlet 狄 利 赫 里 条 件 ）
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2、 稳态电流场问题 稳态（直流）电流场满足的基本方程：
J 0 , E 0 → E
说明在导电媒质中，电流不会自成闭合回路（从电源正极出发到电源负极终止）， 电位满足
拉普拉斯方程
0
—椭圆型方程
若 是均匀、线性、各向同性介质，上式为 2 0 产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。 2 3、 、稳稳 态态 磁磁 场场
1
A
J
—矢量泊松方程
x
1
A x
y
1
A y
z
1
A z
J
若为线性、均匀媒质
2A J
若 存 在 铁 磁 质 ，可 将 其 作 用 等 效 为 磁 化 电 流 的 作 用 ，它 与 磁 化 强 度 的 关 系 为
M Jm
磁矢位 A 的方程可以写为真空中的泊松方程
2 A 0 J J m
材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ， ，
材料为非线性：材料参数是未知函数的函数 E， B， E
dD
dE
dB
dH
dJ
dE
（1-7）
4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转化为标量方程才能求解，
另外，在边界上不易写出场量边界条件，因此，常化为位函数的定解问题（位函
稳 态 （ 直 流 ） 电 流 产 生 的 磁 场 满 足 的 基 本 方 程
HJ, B0, BH
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7
（ 1） 矢 量 磁 位 的 泊 松 方 程 根 据 H J , B 0 , B A ， 有 双 旋 度 方 程
1AJ
取 库 伦 规 范 A 0 ， 及 矢 量 恒 等 式 A A A ， 得
2H H 2H 0
t
t 2
2E
E t
2E t 2
0
取 洛 伦 兹 规 范 A ， 则 位 函 数 满 足 的 波 动 方 程 t
2 A A 2 A J
t
t 2
2 2
t
t 2
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3.2定解条件
1、初始条件（柯西问题）
在瞬态电磁场中，初始条件是整个系统初始状态的表达式
数容易确定边界条件） ，通过位函数与场量的关系
E
得到场量。
BA
Hm
EA （1-8）
t
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二、定解问题
1、初值问题 只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁 波传播问题等。
2、边值问题 只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。
ux,y,z,t 1g1x,y,z,t
SB ds 0
SJ
ds
V
t
dv
（1-1）
（1-2） （1-3）
(1-4) （1-5）
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1、①四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；②积 分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系）、复数形式（可作 为稳态场计算）；③梯度、散度、旋度的概念（描述“点”上电磁 场的性质）。
2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程，其它两个
3、混合问题 既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电磁 场问题等。
4、解的稳定性问题 如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定 的。反之称为不稳定解。
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三、电磁场中的定解问题
定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件）
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4、交变电磁场中的泛定方程
时变场中 0，（下面分段没有绝对的分界线） t
缓慢变化 ( f < 10 KHz )
快速变化
准静态场
准静态场
电磁波
MQS：HJ , B0, EB, D0 t
HJ D, B0 t
EQS：HJ D, B0, E0, D0 t
EB, D0 t
MQS场求解时，磁场可以用稳态磁场的方法求解，然后用上述公Fra Baidu bibliotek求电场；EQS
下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。
3.静1态 静、态稳、态电 稳磁态场电中的磁泛场定中方程的泛定方程
1、静电场方程
静电场的基本方程 D , E 0
泊松方程
三维方程
x
x
y
y
z
z
若ε是均匀、各向同性介质，上式为
2
静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。
—椭圆型方程
第六章 电磁场的边值问题
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1
一、麦克斯韦方程组
（一）maxwell 方程
微分形式
全电流定律
Η J D t
电磁感应定律 高斯定律
E B t
D
磁通连续性原理 电流连续性方程
B 0
J t
积分形式
LH
dl
S
J
D t
ds
LE
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S
B t
ds
SD ds V dv
2 0
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2A jA J 2j 0
涡流损耗是引起导体发热的主要原因。
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（21 、）波波动动方方程程（ 双（曲双型曲方型程 方） 程）
一般不考虑非线性问题，因为如果在铁磁材料中传播电磁波，高频下的涡流 损 耗 及 磁 滞 损 耗 很 大 ，电 磁 波 很 快 衰 减 ，能 量 不 可 能 传 递 很 远 。因 此 ，场 量 的 波 动方程