概率论与数理统计泊松分布

k！k e
Poisson定理的应用
由 Poisson 定理，可知
若随机变量 X ~ Bn， p，
则当n比较大，p比较小时，
令：
np
则有 PX k Cnk pk 1 p nk
k e
k!
练习3
设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）．
解：按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人负责的 20 台
中同一时刻发生故障的台数”，则 X ~ b (20，0.01）.
以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及 时维修”， 则 80 台中发生故障而不能及时维修的概
率为：
P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1) P{X 2}.
k 1
k
1, k 1, k 1, k
如果 是整数，则 k 或 1时，
P(X k)达到最大；
如果 若 不是整数，则 k 时，
P(X k)达到最大；
练习4
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障 可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？
n
nk
lim 1
n
n
n
nk n
n
n n
n n
Poisson定理的证明(续2)
所以，
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
lim
k n
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
n k! n n n n
1 lim
k! n
kn
lim1 n
1 n
1
2 n
1
k
1 lim1 n n
n
n
nk
练习3解答
设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）． 解：设 B={ 600次射击至少命中3次目标 }
进行600次射击可看作是一个600重Bernoulli试验.
X：600次射击命中目标的次数．
则 X ~ B600， 0.012．
用 Poisson分布近似计算，
取 600 0.012 7.2．
练习3解答（续）
所以，
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
1 e7.2 7.2e7.2 7.22 2
0.9745
Poisson分布的分布形态
若 X ~ ， 则
PX PX k
练习4解答
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障 可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？
解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台 数为 X ，则 X~ B(300，0.01），需要确定最小的 N 的 取值，使得：
练习1解答
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
练习1解答（续）
得
1 e 2 e
1!
2!
由此得方程
2 2 0
得解
2．
是无效的．现某人服用此药一年，在这一年中， 他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的 概率．
练习2解答
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 }
A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般
A3 该药无效 则由Bayes公式，得
PA1
B
PA1
PB
A1
P A1 PB PA2 PB
A1 A2
PA3
k 4
k!
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维
修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以
有效地使用人力、物力资源。
泊松分布的期望与方差
设 X 服从参数为泊松分布，
其分布律为P{X k} k e ，k=0,1,...
k!
EX k k e e k1 e e
k 0 k!
P{X N} 0.01.
P{X N} 0.01.
用泊松分布近似计算二项分布
P{X N} N 3k e3 0.99. k0 k!
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配 备 8 个工人。
泊松分布的分布律 （PDF）
二项分布的分布律 （PDF）
泊松分布的CDF 二项分布的CDF
• 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从Poisson分布的．
练习1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
ke (0.2)k e0.2 0.0175.
k2 k!
k 2
k!
练习5解答（续）
按第二种方法. 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障 的台数， 则 Y~ b(80，0.01）. 故 80 台中发生故障而 不能及时维修的概率为：
(0.8)k e0.8
P{Y 4}
0.0091.
k1 (k 1)!
EX 2 k 2 k e k k e
k 0
k!
k 1 (k 1)!
k
(k 1)
e
k e
k 1
(k 1)!
k 1 (k 1)!
2e
k 2
ee 2
k 2 (k 2)!
DX EX 2 (EX )2 2 2
小结：
期望与方差相等： Poisson极限定理：
k e 0
k!
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
所以
k e e k e e 1
k0 k!
k0 k!
PX k k e k 0， 1， 2，
是分布律．
k!
自然界的稀有事件一般服从泊松分布！
Poisson分布的应用
• Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
• 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布．
k！e
证明： 令：npn n
则
Cnk pnk 1 pn nk
nn
1n
2n
k！
k
1
n
n
k
1
n
n
nk
Poisson定理的证明(续1)
k n
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
k! n n n n
对于固定的 k，有
由lim n
n
lim
n
npn
得
lim
n
k n
k
e lim1
PB
A3
0.30 13 e1
0.30
13
e1
0.45
3! 43 e4
0.25
53
e5
3!
3!
3!
0.1301
Poisson定理
设在 Bernoulli 试验中，以 pn 代表事件 A在试验 中发生的概率，它与试验总数 n有关．如果
则
lim
n
Cnk
lim
n
npn
pnk 1 pn nk
0
k
概率论与数理统计
第11讲 泊松分布
张宏浩
泊松（Poisson） 分布
如果随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
其中 0为常数
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布．
记为 X ~ ().
分布律的验证
⑴ 由于 0 可知对任意的自然数 k，有
练习5
设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的， 发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由 一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：
其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修 的概率的大小.
练习5解答
另一个解 0不合题意，舍去
所以，
PX 4 2 4 e2 2 e2
4!
3
0.09022
练习2
设一个人在一年内的感冒次数服从参数 5的
Poisson 分布，现有一种预防感冒的药，它对
30%的人来说，可将上述参数 降为 （1 疗效 显著）；对另45%的人来讲，可将参数 降为 （4 疗效一般）；而对其余25%的人来讲，则