概率论与数理统计泊松分布

解：按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人负责的 20 台
中同一时刻发生故障的台数”，则 X ~ b (20，0.01）.
以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及 时维修”， 则 80 台中发生故障而不能及时维修的概
率为：
P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1) P{X 2}.
练习4解答
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障 可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？
解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台 数为 X ，则 X~ B(300，0.01），需要确定最小的 N 的 取值，使得：
练习1解答
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
练习1解答（续）
得
1 e 2 e
1!
2!
由此得方程
2 2 0
得解
2．
ke (0.2)k e0.2 0.0175.
k2 k!
k 2
k!
练习5解答（续）
按第二种方法. 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障 的台数， 则 Y~ b(80，0.01）. 故 80 台中发生故障而 不能及时维修的概率为：
(0.8)k e0.8
P{Y 4}
0.0091.
是无效的．现某人服用此药一年，在这一年中， 他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的 概率．
练习2解答
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 }
A1 该药疗效显著 A2 该药疗效一般
A3 该药无效 则由Bayes公式，得
PA1
B
PA1
PB
A1
P A1 PB PA2 PB
A1 A2
PA3
n
nk
lim 1
n
n
n
nk n
n
n n
n n
Poisson定理的证明(续2)
所以，
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
lim
k n
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
n k! n n n n
1 lim
k! n
kn
lim1 n
1 n
1
2 n
1
k
1 lim1 n n
n
n
nk
k！k e
Poisson定理的应用
由 Poisson 定理，可知
若随机变量 X ~ Bn， p，
则当n比较大，p比较小时，
令：
np
则有 PX k Cnk pk 1 p nk
k e
k!
练习3
设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）．
P{X N} 0.01.
P{X N} 0.01.
用泊松分布近似计算二项分布
P{X N} N 3k e3 0.99. k0 k!
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配 备 8 个工人。
泊松分布的分布律 （PDF）
二项分布的分布律 （PDF）
泊松分布的CDF 二项分布的CDF
练习3解答
设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）． 解：设 B={ 600次射击至少命中3次目标 }
进行600次射击可看作是一个600重Bernoulli试验.
X：600次射击命中目标的次数．
则 X ~ B600， 0.012．
概率论与数理统计
第11讲 泊松分布
张宏浩
泊松（Poisson） 分布
如果随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
其中 0为常数
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布．
记为 X ~ ().
分布律的验证
⑴ 由于 0 可知对任意的自然数 k，有
k1 (k 1)!
EX 2 k 2 k e k k e
k 0
k!
k 1 (k 1)!
k
(k 1)
e
k e
k 1
(k 1)!
k 1 (k 1)!
2e
k 2
ee 2
k 2 (k 2)!
DX EX 2 (EX )2 2 2
小结：
期望与方差相等： Poisson极限定理：
用 Poisson分布近似计算，
取 600 0.012 7.2．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
练习3解答（续）
所以，
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
1 e7.2 7.2e7.2 7.22 e7.2 2
0.9745
Poisson分布的分布形态
若 X ~ ， 则
PX PX k
另一个解 0不合题意，舍去
所以，
PX 4 2 4 e2 2 e2
4!
3
0.09022
练习2
设一个人在一年内的感冒次数服从参数 5的
Poisson 分布，现有一种预防感冒的药，它对
30%的人来说，可将上述参数 降为 （1 疗效 显著）；对另45%的人来讲，可将参数 降为 （4 疗效一般）；而对其余25%的人来讲，则
练习5
设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的， 发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由 一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：
其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修 的概率的大小.
练习5解答
PB
A3
0.30 13 e1
0.30
13
e1
0.45
3! 43 e4
0.25
53
e5
3!
3!
3!
0.1301
Poisson定理
设在 Bernoulli 试验中，以 pn 代表事件 A在试验 中发生的概率，它与试验总数 n有关．如果
则
lim
n
Cnk
lim
n
npn
pnk 1 pn nk
0
k
• 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从Poisson分布的．
练习1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
k 1
k
1, k 1, k 1, k
如果 是整数，则 k 或 1时，
P(X k)达到最大；
如果 若 不是整数，则 k 时，
P(X k)达到最大；
练习4
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障 可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？
k e 0
k!
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
所以
k e e k e e 1
k0 k!
k0 k!
PX k k e k 0， 1， 2，
是分布律．
k!
自然界的稀有事件一般服从泊松分布！
Poisson分布的应用
• Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
• 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布．
k 4
k!
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维
修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以
有效地使用人力、物力资源。
泊松分布的期望与方差
设 X 服从参数为泊松分布，
其分布律为P{X k} k e ，k=0,1,...
k!
EX k k e e k1 e e
k 0 k!
k！e
证明： 令：npn n
则
Cnk pnk 1 pn nk
nn
1n
2n
k！
k
1
n
n
k
1
n
n
nk
Poisson定理的证明(续1)
k n
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
k! n n n n
对于固定的 k，有
由lim n
n
lim
n
npn
得
lim
n
k n
k
e lim1