第六章IIR滤波器的设计方法
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H e j
逼近
H d e j
最优化设计一般分为两步进行： 第一步：选择最优化标准或准则
选择一种最佳准则，使得
H e j
与
H d e j
的均方误差最小或者最大
误差最小。根据最小二乘法准则，要求
E H e jwi
i 1 M
H e
个有限精度的运算去实现这个系统函数。选择的结构形式有：级联、并联
、直接、横截、频率采样型等结构。 本章和第五章主要解决第二个步骤的内容，也就是寻求滤波器传递函 数设计的问题。
说明一下符号表示的含义：
DF ---- 数字滤波器
hn
AF ---- 模拟滤波器
时域的单位脉冲响应 ha t AF的传递函数 H s
向单位圆移动。我们可以通过几次调整单位圆内极点的位置，去逼近符合
设计要求的频响。
j1 同样，如果在单位圆上 z e 处设置一个零点，那么频响在
处会出 1
现传输零点，传输零点可以实现陷波作用。
例如，实际中常常要求滤除叠加在信号上的50HZ工频干扰，我们 可以在 1 1T 2T 就可以滤除掉 50Hz , z e j1 处安排一个零点， 50HZ的工频干扰。 零、极点累试法在频域直接设计，可以完成一些简单的、阶数 不高的滤波器的设计。 2. 最优化设计法 就是计算机优化设计，计算机优化设计的思想是借助计算机，使得 所设计的滤波器的频响尽可能逼近理想的频响，即
1)
2)
通带内、外都是等起伏。
由于过渡带较窄，因此相位特性较差。
四．S平面到Z平面的映射变换 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传递 函数
H 设计数字滤波器的传递函数 a s H a s
H z ，即
通过变换
H z
这种变换归根结底是一个由S平面到Z平面的变换，并且通常是复
d jwi
2
最小
第二步：进行迭代运算，确定最优系数
H z
a
i 0 N i 1
N
i
z
i
1 bi z
i
DF的传递函数
ai 次迭代运算，寻找一组
通过改变 H z 的系数 a i 、 bi
E ，经过多 ，分别计算均方误差 bi ， 使得均方误差 E 为最小的最优系 、
一. IIR滤波器的一般设计方法：
1.累试法
滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。
如果在单位圆内处
设置一对共轭极点
j0 Z r e ，频响 在 0 将有一峰值。
极点 0 离单位圆愈远，频响在 0 处的峰值比较平缓。 极点 0 越接近单位圆，频响在 0 处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点
上式表明：当采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，
它实际上是完成了由 S平面到Z 平面的映射，我们利用以上关系同样可
以得到数字滤波器的频响
H (e
j
与模拟滤波器的频响 H e j
1 ＝ 时 T T
之间的关系： H a j
1 )＝ T
2 H a j j m T m
当Ω =0 时， 当时，有 又称为滤波器的3bB带宽（或半功率点）。
② 巴特沃思低通滤波器没有有限零点,零点出现在 点型滤波器”。
处，它属于“全极
2．切比雪夫滤波器 (chebychev)
切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数
H a j
2
1
2 1 2 CN C
2. 用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数 H z 系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉 冲响应的系统函数，可根据容限选择IIR或FIR滤波器。 逼近——在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求
的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性
尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后 得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数 H z ，滤波器的设计实际上就 是一个数学逼近的问题。 3.决定 H 的实现方法（包括选择运算结构、运算制式及字长） z 因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用一
方函数可表示为：
H a j H a j H a j H a s H a s
2
S j
1．巴特沃思滤波器（butterworth）——— 最平响应滤波器
巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数定义为：
H a j
2 * j H a j H a
在S平面设计出符合要求的模拟滤波
器的传递函数
H a s ，再通过一定的映
射关系，得到数字滤波器的传递函
数
。 H z
二. 最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法 在进行IIR 数字滤波器的设计时， 要逼近模拟原型低通滤波器，模拟低通
滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示模特性。幅度平
模拟 系统
LTI系统特性可以完全由它的冲激响应决定
t
xa t
H a s ha t ha t
ya t xa t ha t xa ha t d
数字 系统
n
xn
H z hn hn y n xn hn
H z
a
i 0 N i 1
N
i
z
i
1 bi z
A
i
1 c
N i 1 N i 1
i
z z
i
1 d
i
i
滤波器设计的核心是求传递函数 H z ，而 H z 的设计就是确定系
数 a i 、 bi ，或者确定零点 ci 、极点 d i ，使得滤波器的H z 满 足给定的性能要求。
K
xk hn k
脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应
在采样点上完全一样。即： hn ha nT
单位脉冲响应不变法的设计思想是：
使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。
L H a s
1
变换 ha t 采样 H z ha nT hn Z
切比雪夫低通滤波器的特点： 1) 通带内等起伏，通带外衰减快； 2) 由于过渡带较窄，因此相位特性较差。
3．考尔滤波器(cauer)
H a j
2
1 1 K j
2
S S 2 2 1 K s B 2 S S 2 Sn 1
考尔滤波器的特点：
采样信号的频谱就是采样信号在虚轴上的拉氏变换
S j
1 2 X a j j m T m T
采样频率 S
ˆ j是模拟信号的频谱 X a
以 X a j
2 为周期的周期延拓 T
或
ˆ j X z X a
2 m Ha j T m
表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，
H e j 为模拟滤波器频响
的周期重复 ,是以 j Ha
为周期的周期延。 s
需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：
首先分析一下
a
拉氏变换
ˆ s ˆa t e st dt X a x
n
xa t t nT e
s t
dt
n
x nT e
a
n
snT
如果
x(n) xa nT
X z
a
时域单位脉冲响序列
AF的采样序列 ha nT
H z DF的传递函数
He
DF的频率响应
j
H a j AF的频率响应
§6.1 IIR滤波器设计的特点
IIR —— 指单位脉冲响应为无限长的滤波器，也就是指滤波器的 hn 有无限个离散值。 IIR滤波器的传递函数可以写成N阶的有理函数：
n
xn Z
n
n
x nT Z
a
ST 当 Z e 时，
ˆ s X eST X a
采样序列的Z变换等于序列的拉氏变换
是采样信号的拉氏变换与采样序列的Z变换之间的映射关系 Z e ST
理想采样的频谱
ˆ j X ˆ s X a a
2．脉冲响应不变法设计的系统的频率响应 模拟系统频响
H a j FTha t
数字系统频响
H e j Z [ h( n)]
Z e j
理想采样 对模拟信号 xa t
ˆ a t x
ˆ a t x
n
x t t nT
其中： —表示通带波纹大小，是小于
1的正数， 越大，波纹越大。
c — c 为滤波器的截止频率，但
并不是3db带宽）。
2 H max H max 3dB带宽＝ 20 log10 ＝ 10 log 2 ＝ 10 log10 1 2 H min H min
dB
数，而完成最优化设计。
3.模仿模拟滤波器的设计 因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，AF不仅有简单和严格的设 计公式，而且它的设计参数也已经表格化了，所以很方便，因此，我们
可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。
在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高 通、带通、带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频率 变换完成要求设计的滤波器。 即: 利用模拟滤波器设计数字滤波器， 首先利用模拟滤波器的现成结果，
1
N j 1 1 j C
2N
N —— 为整数，表示滤波器的阶次；
c——
为截止频率。
当 0 时， 当 时， c
H a j 0 1
2
H a j C
2
1 2
又称为滤波器的3bB带宽
巴特沃斯低通滤波器的特点：
①在 0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具 处，即靠近零频处，衰减为 0 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。
变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求： ① H z 的频响应该模仿 H a s 的频响
即要求
②是因果稳定的映射 指 H a s 的因果稳定性通过映射后， H z 仍保持因果稳定。
§6.5 脉冲响应不变法
根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。 数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应 不变法。 1. 脉冲响应不变法
C— N 为N阶切比雪夫多项式，定义为：
1 cos N cos C CN C ch N ch1 C 1 C 1 C
Z e
jT
e jT
X e j
X e j
理想采样信号的频谱是单位圆上的Z 变换它也等于数字信号的频谱。 因此，我们可以得到采样序列 x(n) 的频谱 谱 X a j 之间的映射关系为：
X e
与原信号 xa t 的频
j
1 T
2 X a j j m T m
H e j和
Baidu Nhomakorabea
H 以及 a j
ˆ j 的关系： H a
j 所以 H e模拟的是采样信号的频谱
j 的是 H e和
注意：我们原本是让
H 来模拟 e j
H a j ，但实际中由于
hn ha nT ，
逼近
H d e j
最优化设计一般分为两步进行： 第一步：选择最优化标准或准则
选择一种最佳准则，使得
H e j
与
H d e j
的均方误差最小或者最大
误差最小。根据最小二乘法准则，要求
E H e jwi
i 1 M
H e
个有限精度的运算去实现这个系统函数。选择的结构形式有：级联、并联
、直接、横截、频率采样型等结构。 本章和第五章主要解决第二个步骤的内容，也就是寻求滤波器传递函 数设计的问题。
说明一下符号表示的含义：
DF ---- 数字滤波器
hn
AF ---- 模拟滤波器
时域的单位脉冲响应 ha t AF的传递函数 H s
向单位圆移动。我们可以通过几次调整单位圆内极点的位置，去逼近符合
设计要求的频响。
j1 同样，如果在单位圆上 z e 处设置一个零点，那么频响在
处会出 1
现传输零点，传输零点可以实现陷波作用。
例如，实际中常常要求滤除叠加在信号上的50HZ工频干扰，我们 可以在 1 1T 2T 就可以滤除掉 50Hz , z e j1 处安排一个零点， 50HZ的工频干扰。 零、极点累试法在频域直接设计，可以完成一些简单的、阶数 不高的滤波器的设计。 2. 最优化设计法 就是计算机优化设计，计算机优化设计的思想是借助计算机，使得 所设计的滤波器的频响尽可能逼近理想的频响，即
1)
2)
通带内、外都是等起伏。
由于过渡带较窄，因此相位特性较差。
四．S平面到Z平面的映射变换 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传递 函数
H 设计数字滤波器的传递函数 a s H a s
H z ，即
通过变换
H z
这种变换归根结底是一个由S平面到Z平面的变换，并且通常是复
d jwi
2
最小
第二步：进行迭代运算，确定最优系数
H z
a
i 0 N i 1
N
i
z
i
1 bi z
i
DF的传递函数
ai 次迭代运算，寻找一组
通过改变 H z 的系数 a i 、 bi
E ，经过多 ，分别计算均方误差 bi ， 使得均方误差 E 为最小的最优系 、
一. IIR滤波器的一般设计方法：
1.累试法
滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。
如果在单位圆内处
设置一对共轭极点
j0 Z r e ，频响 在 0 将有一峰值。
极点 0 离单位圆愈远，频响在 0 处的峰值比较平缓。 极点 0 越接近单位圆，频响在 0 处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点
上式表明：当采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，
它实际上是完成了由 S平面到Z 平面的映射，我们利用以上关系同样可
以得到数字滤波器的频响
H (e
j
与模拟滤波器的频响 H e j
1 ＝ 时 T T
之间的关系： H a j
1 )＝ T
2 H a j j m T m
当Ω =0 时， 当时，有 又称为滤波器的3bB带宽（或半功率点）。
② 巴特沃思低通滤波器没有有限零点,零点出现在 点型滤波器”。
处，它属于“全极
2．切比雪夫滤波器 (chebychev)
切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数
H a j
2
1
2 1 2 CN C
2. 用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数 H z 系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉 冲响应的系统函数，可根据容限选择IIR或FIR滤波器。 逼近——在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求
的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性
尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后 得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数 H z ，滤波器的设计实际上就 是一个数学逼近的问题。 3.决定 H 的实现方法（包括选择运算结构、运算制式及字长） z 因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用一
方函数可表示为：
H a j H a j H a j H a s H a s
2
S j
1．巴特沃思滤波器（butterworth）——— 最平响应滤波器
巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数定义为：
H a j
2 * j H a j H a
在S平面设计出符合要求的模拟滤波
器的传递函数
H a s ，再通过一定的映
射关系，得到数字滤波器的传递函
数
。 H z
二. 最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法 在进行IIR 数字滤波器的设计时， 要逼近模拟原型低通滤波器，模拟低通
滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示模特性。幅度平
模拟 系统
LTI系统特性可以完全由它的冲激响应决定
t
xa t
H a s ha t ha t
ya t xa t ha t xa ha t d
数字 系统
n
xn
H z hn hn y n xn hn
H z
a
i 0 N i 1
N
i
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i
1 bi z
A
i
1 c
N i 1 N i 1
i
z z
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1 d
i
i
滤波器设计的核心是求传递函数 H z ，而 H z 的设计就是确定系
数 a i 、 bi ，或者确定零点 ci 、极点 d i ，使得滤波器的H z 满 足给定的性能要求。
K
xk hn k
脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应
在采样点上完全一样。即： hn ha nT
单位脉冲响应不变法的设计思想是：
使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。
L H a s
1
变换 ha t 采样 H z ha nT hn Z
切比雪夫低通滤波器的特点： 1) 通带内等起伏，通带外衰减快； 2) 由于过渡带较窄，因此相位特性较差。
3．考尔滤波器(cauer)
H a j
2
1 1 K j
2
S S 2 2 1 K s B 2 S S 2 Sn 1
考尔滤波器的特点：
采样信号的频谱就是采样信号在虚轴上的拉氏变换
S j
1 2 X a j j m T m T
采样频率 S
ˆ j是模拟信号的频谱 X a
以 X a j
2 为周期的周期延拓 T
或
ˆ j X z X a
2 m Ha j T m
表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，
H e j 为模拟滤波器频响
的周期重复 ,是以 j Ha
为周期的周期延。 s
需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：
首先分析一下
a
拉氏变换
ˆ s ˆa t e st dt X a x
n
xa t t nT e
s t
dt
n
x nT e
a
n
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如果
x(n) xa nT
X z
a
时域单位脉冲响序列
AF的采样序列 ha nT
H z DF的传递函数
He
DF的频率响应
j
H a j AF的频率响应
§6.1 IIR滤波器设计的特点
IIR —— 指单位脉冲响应为无限长的滤波器，也就是指滤波器的 hn 有无限个离散值。 IIR滤波器的传递函数可以写成N阶的有理函数：
n
xn Z
n
n
x nT Z
a
ST 当 Z e 时，
ˆ s X eST X a
采样序列的Z变换等于序列的拉氏变换
是采样信号的拉氏变换与采样序列的Z变换之间的映射关系 Z e ST
理想采样的频谱
ˆ j X ˆ s X a a
2．脉冲响应不变法设计的系统的频率响应 模拟系统频响
H a j FTha t
数字系统频响
H e j Z [ h( n)]
Z e j
理想采样 对模拟信号 xa t
ˆ a t x
ˆ a t x
n
x t t nT
其中： —表示通带波纹大小，是小于
1的正数， 越大，波纹越大。
c — c 为滤波器的截止频率，但
并不是3db带宽）。
2 H max H max 3dB带宽＝ 20 log10 ＝ 10 log 2 ＝ 10 log10 1 2 H min H min
dB
数，而完成最优化设计。
3.模仿模拟滤波器的设计 因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，AF不仅有简单和严格的设 计公式，而且它的设计参数也已经表格化了，所以很方便，因此，我们
可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。
在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高 通、带通、带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频率 变换完成要求设计的滤波器。 即: 利用模拟滤波器设计数字滤波器， 首先利用模拟滤波器的现成结果，
1
N j 1 1 j C
2N
N —— 为整数，表示滤波器的阶次；
c——
为截止频率。
当 0 时， 当 时， c
H a j 0 1
2
H a j C
2
1 2
又称为滤波器的3bB带宽
巴特沃斯低通滤波器的特点：
①在 0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具 处，即靠近零频处，衰减为 0 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。
变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求： ① H z 的频响应该模仿 H a s 的频响
即要求
②是因果稳定的映射 指 H a s 的因果稳定性通过映射后， H z 仍保持因果稳定。
§6.5 脉冲响应不变法
根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。 数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应 不变法。 1. 脉冲响应不变法
C— N 为N阶切比雪夫多项式，定义为：
1 cos N cos C CN C ch N ch1 C 1 C 1 C
Z e
jT
e jT
X e j
X e j
理想采样信号的频谱是单位圆上的Z 变换它也等于数字信号的频谱。 因此，我们可以得到采样序列 x(n) 的频谱 谱 X a j 之间的映射关系为：
X e
与原信号 xa t 的频
j
1 T
2 X a j j m T m
H e j和
Baidu Nhomakorabea
H 以及 a j
ˆ j 的关系： H a
j 所以 H e模拟的是采样信号的频谱
j 的是 H e和
注意：我们原本是让
H 来模拟 e j
H a j ，但实际中由于
hn ha nT ，