现代控制理论4稳定性

4 稳定性分析
4．1李氏稳定性分析 （1） 平衡状态
设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。

f —n 维函数向量。

若存在状态向量e
x ，对所有的t ，使得 []0e
f x t ≡
成立，则称e
x 为系统的平衡状态。

例如 系统
1132122
x x x x x x =-⎧⎨=+-⎩
解：有3个平衡点 100e x
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，2
01e x
⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，3
01e x
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（2） 稳定性分析
1） 李亚普诺夫意义下的稳定 对于任选0ε>，都对应存在0
(,)0t δε>的实数，当
00
(,)e x x t δε-≤时
其解满足 00(,,)x t t εΦ≤ 0
t t ≤<∞
则称平衡状态e
x 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称e
x 是一致稳定
2） 渐近稳定
由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0
(,,)0e
t x t x Φ-=
则e
x 平衡点是渐近稳定的。

3） 大范围稳定
如果e
x 稳定，而且对于所有的0
x ，00(,,)0e
t x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。

4） 不稳定
由初始状态引起的运动无论0e
x x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点e
x 是不稳定的。

4．2李氏第一方法
（1） 线性定常系统的稳定判据：
x Ax Bu =+ y Cx =
系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1
)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。

10
1-=
A ，11
B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， []10C = 0
)1()1(=+∙-=-S S A SI 1
1S =-，2
1S =
状态不全稳定，属于状态不稳系统， 而输出为
[]1)1)(1(1
1110
0101)()(1+=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是
输出稳定系统。

（2） 非线性系统的稳定性
设系统状态方程为
[],x f x t =，e
x 为其平衡点 ,n
f x R ∈
可将邻域内展成泰勒级数
()()e T f
x x x R x x
∂=
-+∂，()R x —高阶导数项
1111
......e
n
T
n n n x x f f x x f A f f x
x x =∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥==∂∂⎢⎥∂⎢⎥
∂∂⎣⎦称为雅可比矩
阵
线性化近似方程为
x A x ∆=∆，()e
x x x ∆=-
李氏结论：
① 如果系数矩阵A 的所有特征根都具有负实部则原系统在平衡点e
x 是渐近稳定的，与()R x 无关；
② 如果A 的特征根有位于S 右半面的，系统的平衡点e
x 不稳定；
③ 如果A 的特征根有位于S 平面纵轴上的，则e
x 的稳定性将取决于()R x ，仅由A 不能下结论。

例
11122212
x x x x x x x x =-⎧⎨
=-+⎩判断系统的稳定性。

解：系统有三个平衡点
100e x ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，2
11e x
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
在1
e x 处将其线性化得：
x A x
∆=∆，1001A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣
⎦
，特征根为-1，1，
原系统在1
e x 是不稳定的；
在2
e x 处将其线性化得：
x Ax
∆=，0110A -⎡⎤
=⎢⎥⎣
⎦
，特征根为s j =±，在纵
轴上难以得出2
e x 点的稳定性结论。

（可由第二
方法判定）
4．3李氏第二方法
第二方法也称直接法，构造系统的李亚普诺夫函数对系统的平衡点进行判断。

（1）预备知识
1） 标量函数正定性的定义：设()V x 是由n
维矢量定义的标量函数，x ∈Ω[属于欧氏空间]，在0x =处，()0V x =，而x ∈Ω的其他非0向量如果成立
① ()0V x >，则称()V x 为正定的，如()221
22V x x x =+ ② ()0V x ≥，则称()V x 半正定，如()()2
1
2
V x x x =+ ③ ()0V x <，则称()V x 为负定的，如()()22
1
2
V x x x =-+ ④ ()0V x ≤，则称()V x 半负定，如()()2
12
V x x x =-+ ⑤ ()0V x >或()0V x <，则称为不定的，如()12
V x x x =+
例 判断下列函数的正定性
[]1
2
3
T
x x x x =，()()2
2
1
2
3
V x x x x =++
解：()00V =，对于非0的x ，例如[]0x a a =-，()0V x =， 其它为()0V x >，所以()V x 是半正定的。

2） 二次型标量函数 定义 二次型标量函数
()[]1111121.........n T n n nn n P P x V x x Px x x x P P x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦
若P 为实对称矩阵则必存在正交矩阵T 通过
变换x Tx =使其化成
()()1
T
T
T
T
T
V x x Px x P Px x T PT x x Px -====
12
1
n
T i i i n x x x λλλ=⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦∑
称以上形式为二次型函数的标准型，()V x 正
定的充要条件是P 的所有特征值i
λ均大于0，于是()V x 的正定性与P 的正定性一致，只需判定P 的正定性即可得知()V x 的正定性。

3） 希尔维斯特判据
设i ∆为P 的i 阶主子行列式，则实对称矩阵P 的正定性判别如下
① 0i ∆>，n i ,,1 =，则P 是正定的；
② 0
i i i >⎧∆⎨
<⎩
为偶数
为奇数
，则P 是负定的； ③
011
0i n i i n
>=-⎧∆⎨
<=⎩，则P 是半正定的（非负
定）； ④
00i i i i n
≥⎧⎪∆≤⎨⎪==⎩
为偶数为奇数，则P 是半负定的。

（2）稳定判据充分条件
系统状态方程 ()x f x =
平衡状态点 0e
x =，满足0)(=e
x f 如果存在一个标量函数()V x ，满足()V x 对所有的x 都具有连续的一阶偏导，
()V x 正定，当0x =时0)(=x V ;0x ≠，0)(>x V
()V x 沿状态轨迹方向对时间的导数()V x 各种情况的判据为
① ()0V x ≤，负半定，e
x 稳定； ② ()0V x <，负定；或()0V x ≤，对于任意0x ≠，()V x 不恒为0，e
x 是渐近稳定的； ③ ()0V x >，则e
x 不稳定； ④ 若()V x 正定，()V x 负定，x →∞有()V x →∞时e
x 为大范围渐近稳定平衡点。

以上判据为充分条件，如找不到适当的李氏函数则不能做出任何结论。

例 已知
()()
221211222
2121
2
x x x x x x x x x x =-+=--+ 分析平衡点的稳定性。

解：0e
x =是唯一的平衡点
取正定的标量函数为()221
2
V x x x =+
()11
22
22V x x x x x =+，将系统方程1
x ，2
x 代入 ()()2
221
2
2V x x x =-+ 可见()V x 负定。

当x →∞有()V x →∞，系统在e
x 处为大范围渐近。

例 1111A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣
⎦
确定0
e
x
=处的稳定性
解：取()2
2
12V x x
x =+，()0V x >，对于0x ≠， ()()22
1122
1
2
2220V x x x x x x x =+=+>
因此系统在0e
x =点是不稳定的。

由0SI A -=可得1s j =±，二个根全位于S 右平面。

例 0110A ⎡⎤=⎢⎥-⎣
⎦
，01B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，分析系统的稳定性
解：00e
x
⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，取()22
12V x x
x =+，()11
22
22V x x x x x
=+()121220
x x x x =-≡
可见()V x C ≡，表明系统能量为一常数，相平面
（3） 关于李氏函数的几点讨论
1） 李氏函数是象征系统运动能量的标量函数，如存在不是唯一的。

2） ()V x 的最简形式可以考虑二次型函数，但有时也需要考虑高次的正定函数。

3） 如找不到()V x ，对系统不能做任何结论，李氏方法只是充分条件。

4．4李氏方法在线性系统中的应用 （1） 线性定常系统的稳定判据
x Ax =
系统在平衡点0e
x =大范围渐近稳定的充要条件是李亚普诺夫方程
T A P PA Q +=-
存在对称、正定的唯一解P ，其中Q 为任意正定实对称矩阵，并且
()T
V x x Px =
是系统的李亚普诺夫函数。

证明：取()T
V x x Px =，n n
P R ⨯∈
设P 为正定实对称矩阵，于是可知()0V x >（除
0x =外）
，且x →∞时()V x =∞。

()T T
V x x Px x Px =+
PX AX PAX x T
T )(+= PX A X PAX X T
T T += X P A PA X T
T
)(+=
若使系统稳定应有()0V x <，即
()T
V x x Qx =-，Q 正定对称
于是有 T
A P PA Q +=-
例 0123x x ⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
，分析系统在平衡点处的稳定性。

解：00e
x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，取I θ=，1223p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，李氏方程为
12122323020110132301p p p p p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
可求得 511114P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1504
∆=>，2511011
4∆=>
P 正定，因此系统是大范围渐近稳定的。

（2） 线性定常离散系统稳定判据
()()1x k Gx k += 0
e x =点渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定实对称矩阵Q 必存在唯一正定实对称矩阵P ，满足
T
G PG P Q -=-
而且系统的李亚普诺夫函数为
()()()T
V x k x k Px k =⎡⎤⎣⎦
证明：设()()()T
V x k x
k Px k =⎡⎤⎣⎦，P 正定实对称矩阵，
则
()()()()()()()
()()()()
()()
111T T T
T
T
T T
V x k V x k V x k x k Px k x k Px k x
k G PGx k x k Px k x k G PG P x k ∆=+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=++-=-⎡⎤=-⎣⎦
若使系统渐近稳定，应要求 ()0V x k ∆<⎡⎤⎣⎦
因此应满足T
G PG P Q -=-，Q 为正定对称矩阵。

4．5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 （1） 雅可比矩阵法
设系统为()x f x =，,n
x f R ∈，f 为非线性函数。

设0e
x =是平衡点
()()111
1n T n n n f f x x f x J x x f f x x ∂∂⎡⎤
⎢⎥∂∂⎢
⎥∂==⎢
⎥∂⎢
⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦
则系统在原点渐近稳定的充要条件为：任给
正定实对称矩阵P 满足T
J P PJ Q +=-，0Q > 并且()T T
V x x Px f Pf ==。

当x →∞时()V x →∞，系统在0e
x =点是大范围渐近稳定的。

证明：取 ()T T
V x x Px f Pf ==
()()T T
f dx f f x J x f x x dt x
∂∂===∂∂
()T T T T T T
T
V x f Pf f Pf f PJf f J Pf
f PJ J P f
=+=+⎡⎤=+⎣⎦
系统渐近稳定要求
()T V x f Qf
=-，()0Q x > 即 T
PJ J
P Q +=-
若取P I =，则()()()T
V x f x f x =，()()()()()T
T
V x f x J
x J x f x ⎡⎤=+⎣⎦
则李氏方程为
()()()
T J x J x Q x +=-
取P I =时，称为克拉索夫斯基法。

例 系统的状态方程为
1
1
2
3x x x =-+ 3
2
1
2
2
x x x x =--
用克拉索夫斯基法分析0
e
x =处的稳定性。

解：
()1231223x x f x x x x -+⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦
，
()2231113T f
J x x x -⎡⎤∂==⎢⎥∂--⎣⎦
()()226
2226T Q x J J x -⎡⎤=-+=⎢⎥-+⎣⎦
，
160
∆=>，
2
222
2
6
2
836226x x ∆=
=+-+
()123
12122312233,T x x V x f f x x x x x x x x -+⎡⎤⎡⎤==-+--⎢⎥⎣⎦--⎣⎦
()()
2
2
3121223x x x x x =-+--
()00
V =，()0V x > 0x ≠，x →∞时()V x →∞。

系统在大范围渐近稳定。