9.1-1二重积分的概念

二重积分的概念

第九章多元函数积分学

第1节二重积分的定义与性质主讲韩华

二重积分的概念

一、定积分知识回顾

y

o

? = A

曲边梯形由连续曲线

回顾求曲边梯形的面积

)

(x

f

y=)0

)

(

(≥

x

f、

x轴与两条直线a

x=、

b

x=所围成.

)

(x

f

y=

a b x

a

b

x

y

o

a

b

x y

o

用矩形面积近似取代曲边梯形面积

显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．

（四个小矩形）

曲边梯形如图所示，a

b

x

y

o i ξi

x 1

x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间，

上任取一点在每个小区间i i i x x ξ],[1-i

i i x f A ∆=)(ξ为高的小矩形面积为

为底，以)(],[1i i i f x x ξ-b ,

x x x x x a b ][a ,n 1n 210=<<<<<=-L 个分点，内插入若干在区间

i

n

i i x f A ∆≈∑=)(1

ξ曲边梯形面积的近似值为

i

n

i i x f A ∆=∑=→)(lim 1

0ξλ时，

趋近于零即小区间的最大长度

当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x L 曲边梯形面积为

设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ，

如果不论对]

,[b a 在],[b a 中任意插入

若干个分点b

x x x x x a n n =<<<<<=-1210L 把区间],[b a 分成n 个小区间，

各小区间的长度依次为

1--=∆i i i x x x ，),2,1(L =i ，

在各小区间上任取

一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积()i i f x ξ∆ ),2,1(L =i

,

并作和i i n

i x f S ∆=

∑

=)(1

ξ，

定义

怎样的分法，()d b

a

f x x I ==⎰

i

i n

i x f ∆∑=→)(lim 1

0ξλ

被积函数

被积表达式

积分变量

积分区间

,[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上

点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于

确定的极限I ，

我们称这个极限I 为函数)

(x f

在区间],[b a 上的定积分，记为

积分上限

积分下限

积分和

二重积分的概念

二、二重积分问题的提出

柱体体积=底面积×高特点：平顶.

曲顶柱体体积=？

特点：曲顶.

)

,(y x f z D

１．曲顶柱体的体积

类似定积分解决问题的思想:曲顶柱体:

底：xoy 面上的闭区域D

顶: 连续曲面

侧面：以D 的边界为准线, 母线平行于z 轴的柱面

体积解法：

“分割, 近似, 求和, 取极限”

)

,(y x f z D

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，先看动画演示.

刚才大家看到是曲顶柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.

曲顶柱体体积的计算步骤是：用若干个小平顶柱体体积之和近似表

示曲顶柱体的体积.x

z

y

o

D

)

,(y x f z =i

σ∆∙

)

,(i i ηξ.

),(lim 1

i i i i f V σηξλ∆=∑=→曲顶柱体的体积

先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，求对应小曲顶柱体体积的近似值.

i σ∆

设有一平面薄片，占有xOy 面上的闭区域

D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x ρ，假定),(y x ρ在D 上连续，平面薄片的质量为多少？

２．求平面薄片的质量

i

σ∆∙

)

,(i ηξ将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，求质量. 所有小块质量之和

近似等于薄片总质量.),(lim 1

i i n

i i M σηξρλ∆=∑=→x

y O

二重积分的概念

三、二重积分的定义

定义 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分成 n 个小闭区域1σ∆，

L ,2σ∆，n σ∆，其中i σ∆表示第i 个小闭区域，

也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ， 作乘积 ),(i i f ηξi σ∆， ),,2,1(n i L =， 并作和 i i n

i i f σηξ∆∑=),(1,