气体动力学基础(2)

②临界截面A*与堵塞流量 定义 在变截面等熵定常流动中Ma＝1的截面称为“临界截面”，用 A*表示。 从上节的分析不难得出结论：在气体变截面定常等熵流中，临界截面 一定是最小截面，工程中常称最小截面为喉部。如果等熵定常气流在收缩 扩张通道的最小截面处达到Ma＝1，则根据密流极值的性质，此时通过收缩 扩张通道的流量是给定滞止参数下的最大流量，称之为堵塞流量。最大流 量可由下式算出：
均为零。所以最大转折角可解释为Ma＝1的超声速气流绕一半无限长薄平板 流动，薄板的下部压强等于零(图7．21)，这时气流绕过平板边缘，它的最 大转角为130．5°，大于130．5°处将出现压强等于零的真空区。
②(7.60)式中v(Ma)是单值函数：Ma从1增加到无限大时，v值单调地从
0增大到130.5°( ＝1.4)。若气流绕凸壁面连续膨胀，当已知凸面起始
dp
dp
d
s
d
c2d
或
d
u c
2 2
du u
Ma 2
du u
（**）
将(**)式代入(*)式后，可得(7．65)式：
证毕。
(Ma2 1) du dA uA
由(7．65)式，我们可得到气体准一维定常绝热连续(即等熵)流动的
以下性质：
①气体的亚声速流动中，即Ma＜1时。若 dA＞0，则 du＜0；反之，
x x
(3)能量方程
u
x
h
u2 2
0,
或
x
h
u2 2
0
上式就是理想流体绝热定常流动沿流管的能量守恒方程：
对于完全气体：
h
u2 2
h0
1
p
u2 2
h0
(7.62) (7．63) (7．64a) (7．64b) (7．64c)
若流动是连续的，也就是没有激波间断时，绝热流动应是等熵的，因此
还有：
取图7.20的控制体，设气流在马赫线
上转折前后的微元夹角为d ，以V+dV逆
时针转向V为正值。根据动量方程可知膨胀 波前后平行于马赫线的速度切向分量相等， 故有：
V cos (V dV )cos( d ) (V dV )cos d sin
V cos dV cos Vd sin
p1
1
p2
2
3 气体准一维定常等熵流动的主要性质
(1)气体准一维定常等熵流动中，流速与截面积变化之间有如下的关系
式
(Ma2 1) du dA uA
(7.65)
证明 将连续方程(7．61)式展开，可得：
d du dA 0
(*)
uA
将
c2
dp
d
s
代入动量方程(7．63)式，可导出：
udu
整理后得：
d dV ctg dV
V
V
1 sin2 sin2
已知马赫角和Ma间有关系式: sin 1 ，因此：
Ma
d Ma2 1 dV
V
(7.59)
(7.59)式给出了等熵膨胀过程的微元转折角和马赫数以及速度相对增长率
间的关系。进一步，由能量方程消去dV/V，就可得到转折角和马赫数间的
(7.60)
它的物理意义是：气流从Ma＝1膨胀到Ma时的气流转折角。此关系式已做 成图表(见附录表6)。由(7．60)式可得到超声速等熵膨胀转折的一些结论：
①当
Ma
,
v
1 1
1
2
，这
是超声速等熵膨胀的最大转折角。对于常见
双原子气体 1.4,vmax 130 .5 。理想气 体等熵膨胀到 Ma 时，压强和绝对温度
函数关系。等熵过程的能量方程可表示为：
T0 T
c02 c2
1
1 Ma2 2
将上式对Ma求导数，得：
dc
c
1 Ma2 1
1
Ma2
Βιβλιοθήκη Baidu
1
dMa Ma 2
2
由该式进一步可导出 dV 如下：
V
dV V
d (cMa) cMa
dMa Ma
1
dc dMa
c Ma
1
dMa Ma
1
1 Ma2 2
1
主流速度远远大于横向速度，准一维假定是很好的近似。从几何边界条件
来说：如果通道截面的变化率很小，就能满足一维近似的要求。具体来说
，准一维近似要求： L A 1 ，其中L是通道的特征长度。 A x
如果外界没有热量输入，气体流动过程也没有化学反应、蒸发等内部
生成热，气体的粘度又很小，气体流动可以认为是理想绝热的。下面我们
1 Ma2 2
1
dMa 1 Ma
1 Ma2 2
1
代入(7.59)式得：
积分上式得：
d
1
Ma2 1
1 Ma2
dMa Ma
2
1tg1 1(Ma2 1) tg1 Ma2 1 C 1 1
令 M 1, 0 ，可确定常数C=0。由此得到的气流转角称为普朗特-
迈耶角，用v表示：
v(Ma) 1tg1 1(Ma2 1) tg1 Ma2 1 1 1
2 普朗特-迈耶(P-M)流动关系式
我们来分析连续转折的超声速气流运动。均匀气流在某一直线上开始发 生膨胀转折，而后超声速气流绕凸角的平面流动，它通过一系列连续转折的 马赫波完成等熵膨胀，因此连续转折的马赫波又称马赫线或膨胀波。根据上 述分析我们首先导出超声速气流通过一道马赫线微弱膨胀的 P-M关系式。
亚声速定常气流进入绝热收缩扩张通道时，根据性质(1)在收缩通道中 等熵气流必加速，而后可能发生以下三种情况，(i)先在收缩通道中加速， 当气流到达最小截面时，流动仍是亚声速，这时再进入扩张通道后气流将 减速，全部通道中是亚声速流，如图7．26a；(ii)亚声速气流开始在收缩 通道中加速，在最小截面处达到声速，但是通道出口压强较高，气流进入 扩张通道后又将减速，而成为亚声速，图7．26b表示这种情况；(iii)亚 声速气流在最小截面处达到声速，而通道出口压强较低，那么气流进入扩 张通道后将继续加速而达到超声速，如图7．26c所示。上述分析表明亚声 速气流在收缩扩张通道中的流动情况，取决于通道出口压强和通道最小截 面上的Ma数。
1
*u*A* A**a* A* p00 2 1 2( 1)
(7.66)′
堵塞流量是给定滞止参数下，变截面管流中气体等熵流动可能达到的最
大流量。就是说，当滞止参数给定后，管道出口压强降低时，通过管道的
气体流量不断增加；当流量达到堵塞流量后，再降低出口压强，通过管道
的流量不会再增加。根据变截面气体的等熵流动原理，这时在管道的最小 截面上，气体流速达到当地声速，而这一速度是气流在最小截面上的最大 速度，无论怎样减小出口压强，都不会使最小截面上的速度增大。
1 准一维定常绝热假定 气体在变截面通道中流动时(如图7．23 所示)，假定流动参数在同一截面上是均匀的 ，只在流动方向发生变化，这种近似模型称 为准一维假定。一维变截面流动中，流动的 边界条件是通道截面积A＝ A(x)，其他流动
参量都是x的函数如：u＝u(x)， (x)，
p＝p(x)等。实际上准一维流动近似忽略了流动的横向分量，如果流动的
再考察超声速定常气流进入绝热收缩扩张通道时的情况，根据性质 (2)气流在收缩通道中必减速，而后也可能发生三种情况，(i)先在收缩通 道中减速，如果气流到达最小截面时，流动仍是超声速的，进入扩张通道 后气流将变为加速，全部通道中是超声速流，图7．27a表示这种工况； (ii)如果超声速气流在最小截面处达到声速，但是通道出口压强较高，气 流进入扩张通道后继续减速，而成为亚声速，图7．27b表示这种情况； (iii)超声速气流在收缩通道中减速，如果气流在最小截面处达到声速， 而通道出口压强较低，那么气流进入扩张通道后将加速而达到超声速，如 图7．27c所示。
7.9°，故 v2 v1 34.28 ，由v2值查v(Ma)表，得：Ma2＝2.3。就
是说Ma1＝2.0的超声速气流，绕凸角流动转过7.9°后加速到Ma2＝2.3。
7.6 完全气体在变截面绝热管内的准 一维定常流动
本章最后，我们综合应用前面讲述的内容，分析和计算一个工程实 用问题：气体在变截面管道中的绝热流动。这是一种高速气体流动，常用 于火箭推进器、涡轮机的静叶片和动叶片通道和超声速风洞等。作为一种 工程设计方法，需要把实际问题简化成易于分析计算的模型，同时又保留 流动的主要性质。对于气体在变截面管道中的绝热定常流动，工程中常采 用如下简化模型。
5 流量公式与密流性质
(1)流量公式
根据连续性条件，变截面管道内气体定常流动的质量流量在各截面处
相等，故应有：
m
uA
A
0
0Ma
a a0
a0
A
p0
0
Ma1
1 Ma2 2
1 2( 1)
(7.66)
(2)流量密度和性质
定义 单位面积上通过的质量流量称作流量密度，简称“密流”，即
q u 。
根据密流定义，从前面流量公式(7．66)可得流量密度与M数的关系式：
从图7．28我们可以看到，在定常等熵流中，当Ma＜1(即亚声速)时， 密流随Ma数的增加而增大，因此在给定质量流量的管流中，Ma数增加(加速) 截面积必须减小；而在超声速流动情况下，密流随Ma数的增加而减小，因 此当Ma数增大时(加速)截面积必须增大。这进一步说明上节关于管内定常 可压缩等熵流的性质。
切线和终点切线的夹角，即气流的转角，我们可利用 v(Ma)函数式(或附 表6)直接通过已知的Ma1和气流转角求出Ma2或已知Ma1、Ma2，求出气流转角。 具体算法见以下例题。
例 已知Ma1＝2.0的均匀超音速气流绕
过 7.9 的二维凸形物面，如图7.22所
示，求绕过物形后的马赫数Ma2。
解 由Ma1＝2.0，查v～Ma表得：v1(2.0)＝26.38°，已知转角v2-v1＝
7．5 定常超声速气流绕凸角流动(普朗 特-迈耶流动)
1 流动现象
前面讨论过超音速气流绕内折角的 流动，即气体压缩性 转产生斜激波。 超音速气流绕过凸角流动会出现什么现 象呢?本节将专门讨论这一情况。
在斜激波理论中我们已经指出：当激波偏转角很小时，斜波可近似为 马赫波。假设超声速气流绕小外折角的平面流动用弱斜激波公式来估算(这 时转角为负值)，结果得到激波后的压强小于激波前的压强，即负转角的斜 激波是膨胀过程。前面已经论述过：绝热膨胀过程不可能发生间断，因此 超声速气流绕凸角流动一定是连续等熵流。无论是绕外折角或绕连续凸面 的流动，气流是连续地发生转折和膨胀。普朗特和迈耶最早研究这种超声 速 流 动 现 象 并 得 到 解 析 解 ， 因 此 这 种 流 动 又 称 为 普 朗 特 - 迈 耶 (PrantdlMeyer)流动。
若 dA＜0，则 du＞0；就是说气体亚音速一维等熵管流中，截面积增加，
流速减小；截面积减小，流速增加；这一性质和不可压缩流动类似。
②气体超音速流动中，即Ma＞1时。若dA＞0，则 du＞0；若 dA＜0， 则 du＜0。这就意味着：气体超音速一维等熵流动中，截面积增加，气 流加速；截面积减小，气流减速。这一性质与不可压缩流动完全不同， 这是气体超声速流动的固有特性。
q(Ma) u
p0 0
Ma1
1 Ma2 2
1
2( 1)
气体定常等熵流动中密流有以下性质：
①在相同的滞止状态下，Ma＝1时密流最大。
由 q(Ma) 0 ，可得Ma＝1为q(Ma)函数的
Ma
极值点，而且可证明：Ma=1时
d 2q dMa 2
0 ，因此Ma
＝1时密流为极大值。如图7．28所示。
③定常等熵流中截面积与Ma数的关系。
由连续方程：uA *u* A* ，并将流动参数的等熵关系式代入，可
给出准一维定常绝热流动的分析和计算方法。
2 准一维绝热定常流动基本方程
根据准一维定常流动假设，应用理想流体运动的基本方程，可导出以
下准一维绝热定常流动方程：
(1)连续方程
d (uA) 0
dx
(7．61)
上式就是定常流动沿流管的质量守恒方程：通过任意截面的质量流量相等：
VA Q
(2)运动方程
u u 1 p
③Ma＝1时，根据(7．65)式可导出： dA＝0，就是说气流中出现声 速(Ma＝1)的截面是截面积变化的极值点。在等熵流情况下还可进一步 证明它是截面积的极小值，即管道内流动若达到声速，一定在最小截面 处。
4 应用
根据以上分析，我们可定性地了解气体在变截面通道内可能的等熵 流动：
(1)收缩通道流动
亚声速定常等熵流在收缩通道中将加速，但始终保持亚声速；超声 速定常等熵流在收缩通道中将减速，但始终保持超声速。如图7．24所 示。
(2)扩张通道流动 亚声速定常等熵流在扩张通道中将减速，并保持亚声速；超声速定常 等熵流在扩张通道中将加速，且始终保持超声速。如图7．25所示。
(3)收缩扩张管流 收缩扩张通道中气体等熵流动情况较简单收缩或扩张通道中流动复杂。