新人教A版选修4-4《抛物线的参数方程》习题及答案

高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4

►预习梳理

1．抛物线y ＝2x 2

的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2

＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C

的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2

，

y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中

p 为正的常数．这是焦点在

______________上的抛物线参数方程．

►预习思考

抛物线y 2

＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理

1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2

，

y ＝t (t 为参数)

一层练习

1．圆锥曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2

，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．

1．(1，0)

2．点P (1，0)到曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2

，

y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )

A ．0

B ．1 C. 2 D ．2 2.B

3．若曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，

y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、

t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )

A ．t 1＋t 2

B ．t 1－t 2 C.

1t 1＋t 2 D.1

t 1－t 2

3.A

4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C

的参数方程分别为l ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，

y ＝1－s (s 为

参数)和C ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，

y ＝t 2

(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________． 4. 2

5．连接原点O 和抛物线x 2

＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．

5．解析：设抛物线x 2

＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t

2

(t 为参数)．

∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2

)．

设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点， ∴⎩⎪⎨

⎪

⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2

.

消去参数t ，得

y 0＝1

4

x 20，即点P 的轨迹方程是x 2

＝4y ，表示的曲线为抛物线．

二层练习

6．参数方程⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ

(θ为参数)表示的曲线为( )

6．C

7．曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2

，

y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且

t 1＋t 2＝0，

则|AB |为 ( )

A ．|2p (t 1－t 2)|

B ．2p (t 1－t 2)

C ．2p (t 2

1＋t 2

2) D ．2p (t 1－t 2)2

7.A 8．设曲线C

的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t ，

y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．

8.ρcos 2

θ－sin θ＝0

9．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2

的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t

2

y ＝22t

(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．

9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2

＝8x ，由

⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)

10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极

坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t 2

，y ＝t 3

(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝

________．

10．16

三层练习

11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，

y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的

参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2

θ，

y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线

l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公

共点的坐标．

11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .

∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2

＝2x .②

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，－1.

12．已知抛物线y 2

＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．

12．解析：设A (2pt 2

1，2pt 1)，B (2pt 2

2，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2

＋y 2

－2pt 2

1

x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1、t 2为方程2pxt

2

＋2pty －x 2－y 2

＝0的两根．

∴t 1t 2＝－x 2＋y 2

2px

.又OA ⊥OB ，

∴t 1t 2＝－1，x 2

＋y 2

－2px ＝0.

∴另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．

13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB (如下图)．