新人教A版选修4-4《抛物线的参数方程》习题及答案

高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4
►预习梳理
1．抛物线y ＝2x 2
的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2
＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2
，
y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中
p 为正的常数．这是焦点在
______________上的抛物线参数方程．
►预习思考
抛物线y 2
＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理
1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，
y ＝t (t 为参数)
一层练习
1．圆锥曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．
1．(1，0)
2．点P (1，0)到曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，
y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )
A ．0
B ．1 C. 2 D ．2 2.B
3．若曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，
y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、
t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )
A ．t 1＋t 2
B ．t 1－t 2 C.
1t 1＋t 2 D.1
t 1－t 2
3.A
4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C
的参数方程分别为l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，
y ＝1－s (s 为
参数)和C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，
y ＝t 2
(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________． 4. 2
5．连接原点O 和抛物线x 2
＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．
5．解析：设抛物线x 2
＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t
2
(t 为参数)．
∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2
)．
设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2
.
消去参数t ，得
y 0＝1
4
x 20，即点P 的轨迹方程是x 2
＝4y ，表示的曲线为抛物线．
二层练习
6．参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ
(θ为参数)表示的曲线为( )
6．C
7．曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2
，
y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且
t 1＋t 2＝0，
则|AB |为 ( )
A ．|2p (t 1－t 2)|
B ．2p (t 1－t 2)
C ．2p (t 2
1＋t 2
2) D ．2p (t 1－t 2)2
7.A 8．设曲线C
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，
y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
8.ρcos 2
θ－sin θ＝0
9．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2
的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t
2
y ＝22t
(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．
9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2
＝8x ，由
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)
10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极
坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，y ＝t 3
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝
________．
10．16
三层练习
11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的
参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2
θ，
y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线
l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公
共点的坐标．
11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .
∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2
＝2x .②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1.
12．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．
12．解析：设A (2pt 2
1，2pt 1)，B (2pt 2
2，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
－2pt 2
1
x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1、t 2为方程2pxt
2
＋2pty －x 2－y 2
＝0的两根．
∴t 1t 2＝－x 2＋y 2
2px
.又OA ⊥OB ，
∴t 1t 2＝－1，x 2
＋y 2
－2px ＝0.
∴另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．
13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB (如下图)．
(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹过程．
13．解析：(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，
y 2＝2px ，
解得x A ＝2p k 2，y A ＝2p
k
.
以－1k
代替上式中的k ，可列方程组⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px ， 得x B ＝2pk 2
，y B ＝－2pk .
∴A ⎝
⎛⎭
⎪⎫2p k 2，2p k ，B (2pk 2
，－2pk )．
(2)设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2
＋1k 2
，y ＝p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k －k ，
消去参数k ，得y 2＝px －2p 2
，此即为点M 轨迹的普通方程． 14．已知方程y 2
－2x －6y sin θ－9cos 2
θ＋8cos θ＋9＝0. (1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；
(2)求抛物线在直线x ＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值． 14．(1)证明：将原方法配方得(y －3sin θ)2
＝2(x －4cos θ)，曲线为抛物线，顶点
为(4cos θ，3sin θ)，设顶点为Q (x ，y )，则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，消去θ得x 2
16＋
y 2
9
＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．
(2)解析：将x ＝14代入已知方程，得y 2
－6y sin θ－9cos 2
θ＋8cos θ－19＝0，得y
＝3sin θ±28－8cos θ.因为－8≤8cos θ≤8，所以20≤28－8cos θ≤36.设抛物线在直线x ＝14上截得的弦长为l ，则l ＝|y 1－y 2|＝228－8cos θ，所以45≤l ≤12.当cos
θ＝1时，即θ＝2k π(k ∈Z)，l min ＝45；当cos θ＝－1，即θ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)时，l max ＝12.
1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程． 2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．
3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．
【习题2.2】
1．解析：因为2a ＝15565，2b ＝15443，所以a ＝7782.5，b ＝7721.5.所求的椭圆参数
方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝7782.5cos φ，y ＝7721.5sin φ(φ为参数)．
2．证明：设M (a cos φ，b sin φ)，P (x P ，0)，Q (x Q ，0)．因为P ，Q 分别为B 1M ，B 2M 与x 轴的交点，所以kB 1P ＝kB 1M ，kB 2Q ＝kB 2M .由斜率公式并计算得x P ＝
a cos φ
1＋sin φ
，x Q ＝
a cos φ1－sin φ
，所以|OP |·|OQ |＝|x P |·|x Q |＝|x P ·x Q |＝a 2
(定值)．
3．证明：设等轴双曲线的普通方程为x 2－y 2＝a 2
(a >0)，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ
，y ＝a tan φ
(φ为参数)，设M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a cos φ，a tan φ是双曲线上任意一点，则点M 到两渐近线y ＝x 及y ＝
－x 的距离之积是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ－a tan φ12＋1
2
·
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a cos φ＋a tan φ12＋1
2
＝
|a
2
cos 2 φ－a 2tan φ|2
＝a 2
2
(常数)．
4．证明：设点A ，B 的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，则点C 的坐标为(2pt 2
2，－2pt 2)．直线AB 的方程为y －2pt 1＝1t 1＋t 2
(x －2pt 2
1)，所以点D 的坐标为(－2pt 1t 2，0)．直线AC 的方程为y －2pt 1＝
1t 1－t 2
(x －2pt 2
1)，所以E 的坐标为(2pt 1t 2，0)．因为DE 的中点为原点O (0，0)，所以抛物线的顶点O 平分线段DE .
5．解析：直线OA 的方程为y ＝kx ，直线OB 的方程为y ＝－1
k x .解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得点
A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪
⎫2p k 2，2p k ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px
得点B 的坐标是(2pk 2，－2pk )．设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝
2p
k
2
＋2pk 2
2
＝p k 2＋pk 2
，y ＝2p
k －2pk
2
＝p
k
－pk ，所以线段AB 的中点M 的轨迹的参
数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p
k
2
＋pk 2
，y ＝p k －pk
(k 为参数)．。