研究函数零点的常用三法

研究函数零点的常用三法
函数零点是函数应用的一个重要方面，根据函数的零点可以研究方程的近似解，了解函数的变化趋势等．在高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法、单调性分析法．
一、零点定理法
定理：连续函数y=f(x)满足f(a)f(b) <0，则函数在区间(a,b)内存在零点．
例1 设函数)0(ln 31)(>-=
x x x x f ，则y=f(x)（ ） A ．在区间(e
1，1)，(1,e)内均有零点 B ．在区间(e
1，1)，(1,e)均无零点 C ．在区间(e
1，1)有零点，在区间(1,e)内无零点 D ．在区间(e
1，1)内无零点，在区间(1,e)内有零点 【分析】根据函数性质分析函数在(e
1，1)上的变化,再根据零点定理验证区间(1,e)． 【解析】根据对数函数性质，当0＜x ＜1时,lnx ＜0，故0ln 3
1)(>-=x x x f ，因此函数y=f(x)在区间(e 1，1)内没有零点，而03
313)(,031)1(<-=-=>=e e e f f ，根据函数零点的存在性定理可知，函数y=f(x)在区间(1,e)内有零点．故选D ．
【知识小结】函数零点的存在性定理是解决函数零点问题的主要根据，这个定理能判断函数零点的存在，并且能找到函数零点所在的区间．在使用函数零点定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数的单调性如何，这个函数在该区间上都不会有零点；二是函数的零点定理只能断定函数在一个区间上零点的存在性，而不能断定在这个区间上零点的个数．
二、数形结合法
函数y=f(x)的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法． 例2 函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 0
D ．不能确定
【分析】构造函数g(x)＝lnx,h(x)=x-2,作出函数的图象,观察两函数图象交点个数．
【解析】如图所示，分别作出g(x)＝lnx,h(x)=x-2的图象，可知函f(x)有两个零点．故选B ．
【知识小结】数形结合法的要点是把函数分成两个函数的差，分拆的基本思想是分拆后的函数图象比较好作，函数的性质是我们较为熟悉的，这样就把要解决的问题转化到我们熟悉的环境下进行解决，在作函数图象时要注意函数性质的指导作用（如单调性、奇偶性），注意函数图象上的一些特殊点等．
三、单调性分析法
当函数在一个区间上单调时，这个函数在该区间上最多只有一个零点，如果有零点，那么函数值在这个零点左右区间内取不同的符号，这种解决函数零点问题的方法称为单调性分析法．
例3 已知函数x x f x 2log )31()(-=，若实数x 0是函数f(x)的零点，且0＜x 1＜x 0，则f(x 1)的值（ ）
A ．恒为正值
B ．等于0
C ．恒为负值
D ．不大于0
【分析】函数x x f x 2log )31()(-=是由指数函数与对数函数复合而成,由函数的单调性确定函数的零点个数及函数值的符号．
【解析】根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数x x f x 2log )31()(-=在(0,+∞)上单调递减，这样函数f(x)就至多有一个零点．若有零点的话，函数在零点左侧的函数值恒正、右侧函数值恒负．当0＜x 1＜x 0时，结合函数的图象可知f(x)的值恒为正值．答案选A ．
【知识小结】利用单调性分析法解决函数零点问题的基本思想实际上就是数形结合的思想，其要点是“在指定区间上的单调函数至多有一个零点，如果有零点，那么函数就有唯一的一个零点”，这是解决函数在指定的区间上零点唯一性问题的主要思想方法．。