原子的量子理论分析

2
dx A
2
sin
0
a
2
x
a

0
2 dx a
2

0
1 sin dx a 2
2
x
dx 1
(3)概率最大的位置应该满足
解得
a 2 A 1 2
2 A a
(2)粒子的概率密度为
2 2 x sin a a
2
d 2 2x 2 sin 0 dx a a 即当 2x k , k 0,1,2, a
2 Et px i h
0e
E p i t x
h 2
分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数
i E t
i p x
2 2 2 p 2 x
考虑到
E=p2/2m
2 2
把波函数与方程E=p2/2m相乘，并用
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
x
2 d 2 ( r ) E( r ) 2 2m dx
d 2 8 2 m E 0 2 2 dx h 2 d 2 2 k 0 8 mE 2 2 令 dx k 2 h 1、解方程 x A sinkx B coskx
A,B是积分常数，可由边界条件确定。 x=0时，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkx x =a时，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka=0 由于A≠0，所以有sinka=0
2
xa
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射波； 粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有透射波。 粒子在x=0处的几率要大于在x=a处出现的几率。 其解为：
1 ( x) Ae
ikx
Re
ikx
, x0
2 ( x) Te k1 x , 3 ( x) Ce ikx ,

归一化因子

A dV A
* A



1 A dV 1 A
2
5、态叠加原理
如果1 ， 2 ， 3 …， n ,…等都是体系的可 能状态，那么它们的线性叠加
c11 c2 2 ... cn n ...
（c1 , c2,…，cn ,…是复数）
(1)粒子的能量只能取分立值，这 表明能量具有量子化的性质。 (2)n叫做主量子数，每一个可能 的能量称为一个能级，n=1称为 基态，粒子处于最低状态， E1=h2/(8ma2)，称为零点能；
2 2
2ma 2
O
a
x
3、波函数的表达式 归一化条件
n 1 2 dx dx A sin xdx A a 1 a 2 0 0 0
5、定态薛定谔方程
考虑这个方程的一种特解：
r , t r f t

代入薛定谔方程中，并将方程两边除以 r f t
i df 1 2 2 [ U r ] f t 2m
df i Ef t
2 2 U r E 2m
根据边界条件
0 xa xa
1 (0) 2 (0)
4、波函数满足的条件
标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。
归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内， 它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即
dV 1

对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一 化条件要求波函数平方可积。 归一化因子：若某波函数ΨA未归一化
dW x, y, z, t dV
2
概率密度
dW / dV
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的 平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒 子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量 子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与 博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
n E / h, l h / p
•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子
波函数应遵从 p2 E V (r ) 线性方程 2m •若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是某 粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。
2、自由粒子的薛定谔方程
x , t 0e
4、粒子在三维空间中的薛定谔方程
2 2 i U (r ) t 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
哈密顿算符
2 2 ˆ H U (r ) 2m
ˆ i H t
一、波函数 概率密度 1、平面简谐波的波函数
一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数 为 x
y( x, t ) A cos2 nt l
复数形式
y( x, t ) Ae
2、自由粒子的波函数
x i 2 nt l
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
也是这个体系的一个可能状态
二、薛定谔方程 1、问题的引入
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态 随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗 意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子 力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 建立薛定谔方程的主要依据和思路： •要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式
波函数与薛定谔方程
薛定谔 (Erwin Schrö dinger, 1887–1961)
薛定谔在德布罗意思想的基础上，于 1926年在《量子化就是本征值问题》的论 文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方 程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学和量子力学的近似方法。 薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的 奥地利著名的理论 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的 物理学家，量子力 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献 学的重要奠基人之 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉 一，同时在固体的 克共获诺贝尔物理奖金。 比热、统计热力学、 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人， 原子光谱及镭的放 1944年，他发表一本名为《什么是生命 — 射性等方面的研究 —活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗 都有很大成就。 传和信息方面来探讨生命的奥秘。
i i Et Et * (r , t ) (r , t ) r e r e r r
写出上式的共轭函数，即
或者写为
2 2 r , t r
3、波函数的统计解释
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与 波函数模的平方成正比。
n E/h
l h/ p
波函数可以写成
x, t 0e
i 2 nt x / l
x , t 0e
E P i 2 t x h h
如果推广到三维的情况，即自由粒子沿空间任意方向 运动， 于是自由粒子的德布罗意波函数为
n=1
0
2 2 2 sin x a a 2 1 sin x a a X a
w2 w1
0
E 2 4 E1
a
X
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内，已知其波函数为
x A sin
x
a
求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 处出现的概率最大？ a/2 a/2 解：(1)由归一化条件
2mE 令： k 2
2
2m(U 0 E ) k 2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为：
d 2 1 ( x ) 2 k 1 ( x ) 0, x 0 2 dx
d 2 ( x ) 2 k1 2 ( x ) 0, 2 dx
2
0 xa
d 3 ( x ) 2 k 3 ( x ) 0, 2 dx
V
V0
I
O
II
a
III
x
2 d 2 1 ( x ) E 1 ( x ), 2 2m dx
x0
2 d 2 2 ( x) U 0 2 ( x) E2 ( x), 0 x a 2 2m dx 2 d 2 3 ( x ) E3 ( x ), 2 2m dx xa
f t
iE t Ce
r , t r e

iE t
这个波函数与时间的关系是正弦式的，它的角频率是 ， E 根据德布罗意关系， E 就是体系处于这个波函数所描述的 状态时的能量。
2 2 U r E 2m
或者 H E 称为定态薛定谔方程。
(r , t ) 0 e
i Et Pr

上式还可写为 其中
r
i Et (r , t ) r e
r 0
i pr e
称为振幅函数，它不随时间 而变化，只与坐标 有关
i i i i ( Et pr ) pr Et Et * (r , t ) 0 e 0e e r e
时，粒子出现的概率最大。因为 0<x<a，故得x=a/2，此处粒子出 现的概率最大。
粒子在0到a/2区域内出现的概率
五、一维方势垒 隧道效应
x 0, x a 0 U ( x) 其它 U0
具有一定能量 的粒子由势垒左方向右方运 动在经典力学中,若E<U0，粒子的动能 为负，它只能在 I 区中运动。
a a 2 a 2 2
2 A a
2 n x sin x a a
粒子在各处出现的概率密度
x
2
2 2 n sin x a a
wnBiblioteka Baidu n
2
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
n
n=3
3
2 3 sin x a a
w3
E 3 9 E1
n=2
ka n
n k a
n 1,2,3,
n 1,2,3,
n x A sin x a
2、能量
h En n 8ma 2
2
2
n 1,2,3, E
n 4 E2 16 E1 n 3 E2 9 E1 n 2 E2 4 E1
n 1 E1
E i t
P i x
i 2 t 2 m x
代替即可。
3、势场中运动的粒子的薛定谔方程
当粒子在势场中运动
E Ek EP
E p / 2m E P
2
2 2 i EP 2 t 2m x
三、一维势阱问题
以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样 确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然 结果。 EP(x) 已知粒子所处的势场为：
U ( x) 0
0 xa
U ( x)
x 0,x a
x=0 x=a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。在 阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的 斥力。称为一维无限深方势阱。 其定态薛定谔方程：