一,第一型曲面积分的概念与性质

• 积分的存在性.
在光滑曲面 S上连续,
则第一型曲面积分存在.
• 对积分域的可加性. 若 S 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 S1, S2, 则有
S f (x, y, z)d S1 f (x, y, z)d
• 线性性质.
S k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d
k1S f (x, y, z)d k2 S g(x, y, z)d
Rh
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故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为
A
4 R2
h 2( R h)
36 106 2(36 6.4) 106
40.5 %
z
Rh
由以上结果可知, 卫星覆盖了地球
1 3
以上的面积,
故使用三颗相隔
2
3
角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球
o
R
y
x
全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) .
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分 的
质量 M .
解: 在 xoy 面上的投影为 Dx y : x2 y2 2 , 故
M d S
3 1 4( x2 y2 ) d xdy
Dx y
2
3 d
2
r
1 4r2 dr
0
0
6 1 2 1 4 r 2 d(1 4 r 2 ) 13 80
记作 f (x, y, z)d
S
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 S 上的 第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, S叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形物质的质量为 M S (x, y, z)d
曲面面积为
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第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似.
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS
的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.
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例1. 计算曲面积分 其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
z
h o
y x h
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例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
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I (
3 1)
1
d
0
x
1 x
1
0 (1 x
y)2
dy
1
dz
0
1 z 0
1 (1 x)2
dx
1
dz
0
1 z 0
1 (1 y)2
dy
3 3 ( 3 1) ln 2 2
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f (k ,k , z(k ,k ))
(光滑)
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, Dx y
) 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
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说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .
解: S dS
取dS z ds
L z ds L y ds
3
5 4cos2 t dcos t
0
z oz y
L ds x
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例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同,
d S Hale Waihona Puke Baiduz
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
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思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
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例6. 计算
z2 2(x y z).
其中 是球面 x2 y2
解: 显然球心为(1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I
2 3
(
x
2
y2
z2)dS
4 3
(x
y z) d S
xd S yd S zd S 利用重心公式
4 xd S 4 x d S
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在 xoy 面上的投影域为
2z
dS
1
z
2 x
zy2
dxd y
Dxy o
y 2
x
S d S Dxy 1 4(x2 y2 ) dx d y
这是 的面积 !
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如图所示, 有
zd S
1 (x2 y2 ) 1 x2 y2 dxdy
Dxy 2
令t 1 r2
4 3
5
z 1
Dx y o
y
2
x
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设
一卦限中的部分, 则有( C ).
1为 在第
(B) ydS 41 xdS ; (C) zdS 41 xdS ;
( 2000 考研 )
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备用题 1. 已知曲面壳
的面密度
的方法, 可得
n
M
k 1
o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 S为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 S 上的一 个有界函数, 若对 S 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
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2. 设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0的表
面, 计算
z1
解: 在四面体的四个面上
平面方程
dS
1 o 1y 投影域 x
z 1 x y 3dx dy Dxy : 0 x 1, 0 y 1 x
同上
y0
dz dx Dz x : 0 z 1, 0 x 1 z
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.
(地球半径 R = 6400 km )
z
解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 的
Rh
半顶角为 , 利用球坐标系, 则
d S R2 sin d d
卫星覆盖面积为
A
d S
R
2
2
0
sin
d
0
d
2 R2 (1 cos ) 2 R2 h
Rh
o
R
y
x
cos R
R3
2
d
2 sin cos d
0
0
2
R d
2 sin d
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
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例5. 计算 解: 取球面坐标系, 则
: x2 y2 z2 R2.
2
d
R2 sin R cos
d
00
2
R
d( R cos R cos
)
0
lim
0 k 1
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而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, z) dS
f (k ,k , z(k ,k ))
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
o
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y (k ,k , k )
f (x, y, z(x, y)) Dx y
证明: 由定义知
n
x xd S d S
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例7. 计算
其中 是介于平面
之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H 2 R dz
0 R2 z2
2 arctan H
R
z H
z dz
o
y
x
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§14.2.1.第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念与性质 二、第一型曲面积分的计算法
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一、第一型曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形物质具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
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内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
r dr
0
0
a2 r2
1 a4 (8 5 2)
6
思考: 若例3 中被积函数改为
z 1 x o Dx y y
计算结果如何 ?
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心. 解: 设 的方程为
利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球坐标
z R cos d S R2 sin d d
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
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I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2 d
1 2
2a
a r2
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
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例3. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
解: 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
交线为
x o Dx y y
a2 x2 y2 的