定积分的背景
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阜南一中博雅1+1高效课堂导学案 编制人:胡传发 审核人:数学备课组 领导签字:__________ 编号:020时间: 年 月 日 小组:_____ 姓名:______ 组内评价:______ 教师评价:______
科目:数学 编号:002 第 1 页 共 1 页
§4.1.1定积分的背景——面积和路程问题
一、学习目标: 1. 知识与技能:
[1]通过探求曲边梯形的面积,使学生了解定积分的实际背景,了解“以直代曲”“逼近”的思想方法,建构定积分的认知基础;
[2]通过这部分内容的教学,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和辨证思维能力,能求简单的曲边梯形的面积. 2.过程与方法:
[1]通过类比“割圆术”,引导学生萌发“分割”、“近似”、“以直代曲”的想法,变曲为直; [2]通过对比分割后图象面积差的变化特点,突出“细分割、近似和、渐逼近”的数学过程; 3.情感态度与价值观:
[1]从生产生活实践中创设情境引出课题,培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神,鼓励同学们勤于思考、刻苦学习;
[2]帮助学生建立“分割、近似、求和、取极限”的定积分思想,渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观. 使用说明:
1、紧扣学习目标,做预习案之前认真阅读教材内容。
2、独立思考,自主完成本导学案,并将自己学习过程中的疑惑写在我的疑惑处。
预习案
一、教材助读
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“直边图形”的面积;物理中,我们知道匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等等。
在数学和物理中,我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边图形 ” 的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的问题。
如何解决这些问题呢?现有知识无法解决,为此我们需要另寻方法。
接下来我们要学习的定积分,就可以帮助我们解决这些问题。
1.曲边梯形的定义:我们把由直线 x = a ,x = b (a ≠ b),________和曲线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。
2.提出问题:如何求曲边梯形面积?
3.分析问题:我们曾经用正多边形______圆的方法 (即“以直带曲”的思想) 求出了圆的面积,能否也能用直边形(如矩形)来逼近曲边梯形的方法求曲边梯形面积呢?
将区间[0,1]______分成许多小区间,把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形。
对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用_______面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形的面积,对这些近似值求____,就得到曲边梯形面积的近似值。
可以想象,区间拆分的越_____,近似程度就越好,亦即:用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积。
可通过以下几个步骤具体实施: (1)分割;(2)以直代曲
(3)求和(过剩和不足估计值); (4)逼近。
探究案
一、质疑探究——质疑解疑、合作探究
探究点一:图中阴影部分由抛物线
,直线 及 x 轴围成的平面图形,试估计这个曲边梯形的面积 S 。
(1)将区间[0,1]平均分成5份,
过剩估计值S=______________________________ =_________
不足估计值s=_____________________________ =___________
无论是用S 还是用s 来估计曲边梯形面 积,误差都不会超过_______________
(2)将区间[0,1]平均分成10份,
过剩估计值S=______________________________ =_________
不足估计值s=_____________________________ =___________
无论是用S 还是用s 来估计曲边梯形面 积,误差都不会超过_______________
(3)将区间[0,1]平均分成20份,
过剩估计值S=______________________________ =_________
不足估计值s=_____________________________ =___________
无论是用S 还是用s 来估计曲边梯形面 积,误差都不会超过_______________
2x y =1=
x
探究点二:司机猛踩刹车,汽车滑行 5s 后停下,此过程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数:
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s 。
(要求:将滑行的5s平均分成5份和10份,分两种情况估算滑行的距离s)
思考:在探究一中,我们算过剩估计值时用的是区间右端点对应的函数值做为小矩形的高,算不足估
计值时用的是区间左端点对应的函数值做为小矩形的高,在这个问题中还是如此算吗,有什么变化?
概括:对于一般的函数我们应该取小区间内的_____________做为小矩形的高算过剩估计值,取小区间内的________________做为小矩形的高算不足估计值。
抽象概括:在上面的两个问题中,我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形面积问题,它们的步骤是:(1)___________;(2)___________(3)______________________;(4)______________。
区间分割的越细,估计值越逼近所求面积。
值)
不足估计值和过剩估计
份,分别求
(要求:将区间分成
围成的曲边梯形面积。
动手做做:求由5
2
,0
,3=
=
=x
y
x
y
归纳总结:
1、曲边梯形面积的近似求法
2、变速运动物体所走路程的近似求法
3、“以直代曲”和“逼近”的思想
)5
0(
25
10
)(2≤
≤
+
-
=t
t
t
t
v
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