空间向量的数量积最完美版

若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(ab)c a(bc)成立吗？也就
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量
r c
共
线的向量，右边是一个与向量
r a
共
线的向量，而向量
r c
与
r a
连是否共线
都是一个未知数.
r
r
1.已知 a 2 2 , b
2
rr ,ab
2,
则
r a
r 与b
表示
思考：
下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？
a,
b
=
=
=
2）两个向量的数量积
注:（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于
零. （3）点乘符号“· ”在向量运算中不是乘
号，既不能省略，也不能用“×”代替.
D' A'
D A
C'
B'
◆练习 已知正方体AC'边长
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
D ④(3
a
+2
b
)·(3
a
2
b
)=9|
a
|2-
4
b
2 中,真命题是(
)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
43..如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对
r a
r a
也有下列三个重要性质：
r
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
r
b
rr
a,b
② a b a b 0 (垂直的判断);
③ cos
rr a,b
rr ab rr
(求角度).
ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
量有下列性质: r r r rr
① a e a cos a, e ；
②
r a
r b
r a
r b
0
;
r2 r r
r
③ a a a 也就是说 a
r2 a
.
注：
性质②是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据.
4)空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴(a) b (a b)
与
b
的夹角.
b
b
B
A
为即2 平a,我b面=们向|把ar量|||数bra| 量c||aobs积| c:.o已s 知叫两做个向非量零aOr向, br量的ar数a, br量,它积们,记的做夹a角 b ,
3 平面向量数量积的性质
(1)a e e a | a | cos
(2)a b a b 0
(3) | a |2 a a a2
角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。
uuur uuur uuur uuur 计算：（1）EF BA (2) EF BD
A
uuur uuur uuur uuur
(3) EF DC (4) EF AC E
F
B
D
C
rr
rr
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
r r rr rr a b a b cos a, b
(4)cos a b ab
4 平面向量数量积的运算律
(1) a b b a（交换律）
(2)( a) b (a b) a( b)（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c（分配律）
二 新课
因为向量可以自由平移，所以空间中任意两 个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个 向量共面. 因此，平面中两个向量的夹角及数量 积等相关概念、性质可以推广到空间.
2
的夹角大小为_1_3__5_o.
2.判断真假:
rr
r rr r
1)若
r
ar
b
r
0,r则
ar
r0,
b
0
2) (a b) c a (b c)
( ) ()
3)
ur 2 p
r2 q
ur (p
r q)2
( )
ur r ur r ur2 r2 4) p q p q p q
( )
3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
rr rr ⑵ a b b a (交换律)
r r r rr rr ⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
对于三个均不为 0 的数
a对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
知 新 类似地，可以定义空间向量的
1)两个向量的夹角的定义:
数量积
rr
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
uuur r uuur r
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
rr
rr
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
果不能，请举出反例.
不直能 时， ，例 有如ab向 量aca,而与未向必量有b,bc都c垂.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a c .(或b c )
对于向量
a,
b,
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k(或b b
ak)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
空间向量的数量积运算
回顾
ur F
ur S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
一 复习引入
1
向量的夹角:已知两个非零向量
a,
b ,
作
OA
a,
OB b
则 AOB
(0o
180o )
叫做向量a
为1,求：AA ' AD'
AA ' BD
AA ' CC'
C
AA ' C' B
B
几何意义
a
b
a
b
cos
百度文库
a,
b
rr r
rr
数r 量积
a
b
等于
a
的长度 r
|
a
|与
b
在
a 的方向上的投影 | b | cos 的乘积。
B
r b
θ O
r aA
B1
3)空间两个向量的数量积性质
rr r 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
r a
rr
rr
rA a
a, b =0 时, a 与 b 同向;
rr
rr
a, b =π 时, a 与 b 反向.
r b
O
r
B
b
rr rr
⑵ a, b＝b, a ，两个向量的夹角是惟一确定的！
rr ⑶如果 a, b
r ,则称 a
r 与b
r 垂直,记为 a
r b
2
角度 〈a,b〉=0 〈a,b〉是锐角 〈a,b〉是直角 〈a,b〉是钝角 〈a,b〉=π