数学分析上册练习题及答案第三章函数极限

第三章函数极限

1． 函数极限概念

1． 按定义证明下列极限：

（1）65lim 6x x x

→+∞+=；（2）2

2lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）0

0lim cos cos x x x x →=.

证明（1）任意给定0ε>，取5

M ε

=

，则当x M >时有

6555

6x x x M

ε+-=<=.按函数极限定义有65

lim

6x x x

→+∞+=.

（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.

若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3

ε

δ=，则当

02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22

lim(610)2x x x →-+=.

(3)由于22254111

x x x --=--.

若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22

22544

111

1x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.

(4)

0==若此时限制021x <-<，

==<=0ε>，

取2

min{1,

}4

εδ=，当02x δ<-<022

ε

ε<≤⋅=，

故由定义得2

lim 0x -

→=.

（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则

00000

00cos cos 2sin

sin 2sin sin 222222

x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.

对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有0

0lim cos cos x x x x →=.

2． 叙述0

lim ()x x f x A →≠。

解：0

lim ()x x f x A →=陈述为：设函数f 在点0x 的某个空心邻域0

0(,)U x δ'内有定义，A 为定

数，若对任给的0ε>，存在0δ>，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数

f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作0

lim ()x x f x A →=。

其否定陈述为：设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域0

0(,)U x δ'内有定义，A 为一个确定的

常数，若存在某个00ε>，使得对任意的正数()δδ'<，总存在x 满足00x x δ<-<，使得0()f x A ε-≥，则称当0x x →时，()f x 不以A 为极限，记为0

lim ()x x f x A →≠。

3． 设0

lim ()x x f x A →=，证明00

lim ()h f x h A →+=。

证明：因为0

lim ()x x f x A →=，由定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，

()f x A ε-<，从而当00h h δ<=-<时，有000()x h x δ<+-<，于是0()f x h A ε+-<，故00

lim ()h f x h A →+=。

4． 证明：若0

lim ()x x f x A →=，则0

lim ()x x f x A →=。

证明：因为0

lim ()x x f x A →=。由εδ-定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，

()f x A ε-<，于是有()()f x A f x A ε-≤-<，故0

lim ()x x f x A →=。

当0A =时，若0

lim ()0x x f x →=，则对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，

()0()()f x f x f x ε-==<，因此，对已给定的0ε>，当00x x δ<-<时，

()0()f x f x ε-=<，即0

lim ()0x x f x →=。说明当0A =时，上述命题的逆命题也成立。但

当0A ≠时，其逆命题不真。例如对101()112x f x x ≤<⎧=⎨-<≤⎩

有()1,02f x x ≡≤≤。

显然1

lim ()1x f x A →==，但1

lim ()x f x →不存在。

事实上，1

1

lim ()1lim ()1x x f x f x -+→→==-，，可见1

1

lim ()lim ()x x f x f x -+

→→≠，故1

lim ()x f x →不存在。

故当且仅当0A =时，本题反之也成立。

5． 证明定理：0

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-

→→→=⇔==。 必要性 设0

lim ()x x f x A →=，由极限的

εδ-定义知对任给0ε>，存在0δ>，当

00x x δ<-<时，()f x A ε-<。则当00x x x δ<<+时，有()f x A ε-<，故

lim ()x x f x A +→=。当00x x x δ-<<时，有()f x A ε-<，故0

lim ()x x f x A -

→=。从而0

lim ()lim ()x x x x f x f x A +-

→→==。 充分性 0

lim ()x x f x A +

→=，则对任意给定0ε>，存在10δ>，使得当001x x x δ<<+时，有()f x A ε-<。

lim ()x x f x A -→=，则对任意给定0ε>，存在20δ>，使得当020x x x δ-<<时，有

()f x A ε-<。所以对已给定的0ε>，取12min{,}δδδ=，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，故0

lim ()x x f x A →=。

6． 讨论下列函数在0x →时的极限或左右极限：

（1）()x f x x =；（2）()[]f x x =；（3）22,0

()0,

01,0

x x f x x x x ⎧>⎪

==⎨⎪+<⎩

。 解：（1）因为当0x >时，()1x

f x x

=

=，故有00lim ()lim11x x f x ++

→→==。当0x <时，()1x

f x x

==-，故00lim ()lim(1)1x x f x --→→=-=-。因此0lim ()x f x →不存在。

（2）当01x <<时，()[]0f x x ==，故0

lim ()0x f x +

→=。当10x -<<时，()[]1f x x ==-，故0

lim ()1x f x -→=-。所以0

lim ()lim ()x x f x f x +-

→→≠，因此0

lim ()x f x →不存在。 （3）对任给的

0ε>，先考虑0x -→，

取δ=，则当0x δ-<<时，

222()1(1)1f x x x δε-=+-=<<，于是0

lim ()1x f x -

→=。 再

考

虑

0x +

→，取

2log (1)

δε=+，则当

0x δ

<<时，

()1212121x x f x δε-=-=-<-=，所以0

lim ()1x f x +

→=。所以0

lim ()1x f x →=。