功率谱估计
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4 x
周期图法的方差
这样周期图法的方差和σx4是一个数量级，而信 号的功率是σx2 ，因此周期图法的方差是比较大， 即表示周期图法估计功率谱密度的波动性比较 大 同时由于估计方法的一致性取决于估计的均值 和方差，因此周期图法是非一致性估计。
数据长度N对周期图法的影响
周期图法估计功率谱密度的均值为真实谱和三 角窗函数幅度谱的卷积：
相当于对无限长的样本数据加上了矩形窗函数， 其中矩形窗的长度为N。
窗函数法
在实际采样过程中，只能得到一个样本函数的 有限长数据，就相当于对原无限长的一个样本 数据加上了矩形窗函数。
窗函数法
对时域信号加上窗函数后，对估计的功率谱密 度的影响是如何？
ˆ ( w) P xx
m
x(n) 5sin(nw1 ) v(n)
其中θ是在[0 2 π ]范围内均匀分布的随机变量，v(n) 是均值0、方差1的白噪声，数据长度分别为64、512
数据长度N对周期图法的影响
30 20 10 0 -10
0
1
2
3
4
5
6
7
40 30 20 10 0 -10 0 1 2 3 4 5 6 7
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT
jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0
周期图法的偏移量
这样，功率谱的均值为：
ˆ (w)] P (w) V (w) E[P xx xx
估计的功率谱密度的均值是真实功率谱和三角 窗函数幅度谱的卷积，是有偏估计。 同时随着N→∞，三角窗函数的谱接近于冲激相 应，这样估计的功率谱的均值趋向于真实谱， 因此周期图法是渐进无偏估计。
ˆ (w)] P (w) V (w) E[P xx xx
则三角窗函数的长度为2N-1。
数据长度N对周期图法的影响
由于是卷积的关系，因此三角窗的长度对真实 谱的影响为：
N增加，表示三角窗的时域长度增加，则其频域的主 瓣宽度4π/N 减小，那么三角窗的平滑效果减小，则 估计的谱的波动性增加。
4 x
平均周期图法
减小了方差，但同时牺牲了偏移量和分辨率。 由于平均周期图法假设了每一段估计的功率谱 密度是独立，如果采用同一个样本进行估计， 因此独立性是很难保证的，因此估计功率谱的 方差减小量没有公式计算的小。
平均周期图法
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30
周期图法的方差
这里为了分析简单，假设随机序列是N(0,σx2) 的白噪声信号，其周期图估计的功率谱表示为 IN(w)，则方差为：
2 var[I N (w)] E[I N (w)] | E[I N (w)]|2
sin( N w) 2 {1 [ ]} N sin( N w)
ˆxx (m)e jwm r
估计的自相关函数为：
1 ˆxx (m) r N
n
x ( n ) v ( n ) x ( n m )v ( n m )
其中N为窗函数v(n)的时间长度
窗函数法
则估计功率谱均值取决于自相关函数的均值：
ˆ ( w)] E[ P xx
ˆ ( w)] P ( w) V ( w) E[ P xx c
注意到Vc(w)为确定性信号自相关函数的傅立叶 变换，实际上这个Vc(w) 为确定性信号的功率谱：
1 Vc (w) | V (w) |2 N
其中V(w)为窗函数v(n)的FFT
窗函数法
这样加窗的功率谱密度均值为：
周期图法估计功率谱的性能分析
偏移量 方差 一致性
周期图法的偏移量
与相关法等价，因此功率谱估计为：
ˆ (w) P xx
其均值为：
m ( N 1)
N 1
ˆxx (m)e r
jwm
ˆ ( w)] E[ P xx
m ( N 1)
N 1
jwm ˆ E[rxx (m)]e
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
1 2 ˆ E[ P(w)] P(w) [ | V ( w) | ] N
其中V(w)为时域窗函数的FFT
窗函数法
如果窗函数为矩形窗vR(n)，则估计的功率谱密 度均值为真实功率谱与窗函数功率谱的卷积(实 际上这个窗函数功率谱是三角窗函数的FFT变 换)
窗函数法
如果加载的不是矩形窗，而是相同时间长度N的 其它窗函数，如三角窗、Hanning、Hamming 和Blackman窗，那么对估计的功率谱的影响是 什么呢？
0 200 400 600 800 1000 1200
0
200
400
600
800
1000
1200
N= 256
N=256，L=4
窗函数法
周期图法的功率谱估计为：
N 1 1 ˆ ( w) | x(n)e jwn |2 P xx N n 0
1 | x(n) v(n)e jwn |2 N n
数据长度N对周期图法的影响
40 20 0 -20 -40
0
1
2
3
4
5
6
7
30 20 10 0 -10
0
1
2
3
4
5
6
7
N=40
数据长度N对周期图法的影响
40 20 0 -20 -40 -60 0 1 2 3 4 5 6 7
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
N=64
数据长度N对周期图法的影响
50
0
-50
注意这里三角窗函数的时间长度为2N/L，不是 原来的2N，因此平均周期图法中由于三角窗长 变大，则平滑效果明显，偏移量增大，降低了 频域的分辨率。
平均周期图法
估计功率谱的方差为：
1 ˆ var[ Pxx ( w)] var[ I i ( w)] L
sin( N / L w) {1 [ ]2 } L N / L sin( N / L w)
n
v ( n )v ( n m )
窗函数法
其中 1/N*∑v(n)v(n+m)为数据窗函数v(n)的自相 关函数(确定性信号的自相关函数)。 我们设其为vc(m)：
1 vc N
n
v ( n )v ( n m )
窗函数法
这样估计的功率谱密度的均值为：
周期图法的偏移量
自相关函数为有偏估计：
ˆ (w)] E[ P xx N | m | jwm r ( m ) e xx N m ( N 1)
N 1
m
v(m)rxx (m)e jwm
其中v(m)为三角窗函数：
N | m | v(m) N 0 | m | N else
-100
0
1
2
3
4
5
6
7
30 20 10 0 -10
0
1
2
3
4
百度文库
5
6
7
N=128
周期图法的改进
周期图法的不足
N太大，谱曲线起伏加剧 N太小，谱的分辨率又太小
周期图法的改进
平均周期图法 窗函数法 修正的周期图求平均法
平均周期图法
由于在周期图法中，对功率谱的估计中没有进 行期望运算：
窗函数法
实际上也就相当于对N点的样本函数x(n)加载了 窗函数。
窗函数法
首先由于估计功率谱密度均值是与窗函数能量 谱的卷积关系，因此加窗后，仍然是有偏估计。 并且估计的方差也与矩形窗的方差近似。
其它窗函数的优势？？？
窗函数法
相同时间长度的不同类型窗函数提供了频谱分 辨率(主瓣宽度)和谱掩蔽(旁瓣幅度)的折衷方法。 不同窗函数具有不同主瓣宽度，而旁瓣衰减也 有所不同。
1 L 1 var[ xi ] var( xi ) L i 1 L
平均周期图法
将N点长的一个样本数据[x(0),x(1),…,x(N-1)]分 成L段，每一段的长度是N/L，每一段进行周期 图法的功率谱估计，得到L个估计的功率谱Ii(w)， 则平均的功率谱为：
L 1 ˆ ( w) I ( w) P xx i L i 1
周期图法
由于只有一个样本函数，因此忽略期望运算， 得到周期图法的功率谱估计：
1 jwn 2 ˆ Pxx ( w) | x(n)e | N n 0
N 1
周期图法
x(n)
FFT
取模的平方
ˆ (w) P xx
1/ N
自相关法和周期图法的关系
将周期图法的估计式展开： N 1 1 ˆ ( w) | x(n)e jwn |2 P xx N n 0 N 1 N x(k )e jwk x* (n)e jwn N k 0 n 0
平均周期图法
平均周期图法
则该估计方法的偏移量，即估计功率谱的均值：
ˆ (w)] E[I (w)] E[P xx i
由于Ii(w)是N/L 长度的数据根据周期图法估计 的功率谱，因此该功率谱的均值是真实谱与三 角窗函数幅度谱的卷积，即：
E[ Ii (w)] P(w) V (w)
平均周期图法
1 x(k ) x* (n)e jw( k n ) N k n
令m=k-n，则k=m+n
自相关法和周期图法的关系
1 ˆ Pxx (w) [ m ( N 1) N
N 1 N 1 m
n 0
x* (n) x(n m)]e jwm
m ( N 1)
m
jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]
1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
N 1
jwm ˆ rxx (m)e
这里的自相关函数估计实际上就是有偏估计的 自相关函数。
自相关法和周期图法的关系
因此，利用有偏估计得到的自相关函数，再计 算功率谱，与周期图法估计的功率谱密度是等 价的：
ˆ (w) P ˆ (w) P xx BT
实际上由于周期图法需要傅立叶变换，在快速 傅立叶变换出现之前，自相关法比较多的应用 于谱估计。
1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
m m
ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
数据长度N对周期图法的影响
同时，若N增加，三角窗的主瓣宽度变小，则提 高了估计谱的频谱分辨率，即估计谱能够分辨 真实谱中两个靠的很近的谱峰。
x(n) 5sin(nw1 1 ) 5sin(nw2 2 ) v(n)
其中θ1、θ2是在[0 2π]范围内均匀分布的随机变 量，v(n)是均值0、方差1的白噪声
N 1 1 Pxx ( w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N 2 N 1 n 0
N 1 1 jwn 2 ˆ Pxx ( w) | x(n)e | N n 0
平均周期图法
如果能够对若干样本数据进行周期图法估计功 率谱密度，并进行平均运算。那么从随机信号 处理的角度而言，对L个独立、同分布的随机变 量进行相加，则求和后的随机变量的方差为原 随机变量方差的1/L：
窗函数法
窗函数 矩形窗 Hanning hamming Blackman 旁瓣衰减(dB) 主瓣宽度 (*2pi/N) -13 -32 -43 -58 0.89 1.44 1.30 1.68
周期图法的方差
这样周期图法的方差和σx4是一个数量级，而信 号的功率是σx2 ，因此周期图法的方差是比较大， 即表示周期图法估计功率谱密度的波动性比较 大 同时由于估计方法的一致性取决于估计的均值 和方差，因此周期图法是非一致性估计。
数据长度N对周期图法的影响
周期图法估计功率谱密度的均值为真实谱和三 角窗函数幅度谱的卷积：
相当于对无限长的样本数据加上了矩形窗函数， 其中矩形窗的长度为N。
窗函数法
在实际采样过程中，只能得到一个样本函数的 有限长数据，就相当于对原无限长的一个样本 数据加上了矩形窗函数。
窗函数法
对时域信号加上窗函数后，对估计的功率谱密 度的影响是如何？
ˆ ( w) P xx
m
x(n) 5sin(nw1 ) v(n)
其中θ是在[0 2 π ]范围内均匀分布的随机变量，v(n) 是均值0、方差1的白噪声，数据长度分别为64、512
数据长度N对周期图法的影响
30 20 10 0 -10
0
1
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40 30 20 10 0 -10 0 1 2 3 4 5 6 7
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT
jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0
周期图法的偏移量
这样，功率谱的均值为：
ˆ (w)] P (w) V (w) E[P xx xx
估计的功率谱密度的均值是真实功率谱和三角 窗函数幅度谱的卷积，是有偏估计。 同时随着N→∞，三角窗函数的谱接近于冲激相 应，这样估计的功率谱的均值趋向于真实谱， 因此周期图法是渐进无偏估计。
ˆ (w)] P (w) V (w) E[P xx xx
则三角窗函数的长度为2N-1。
数据长度N对周期图法的影响
由于是卷积的关系，因此三角窗的长度对真实 谱的影响为：
N增加，表示三角窗的时域长度增加，则其频域的主 瓣宽度4π/N 减小，那么三角窗的平滑效果减小，则 估计的谱的波动性增加。
4 x
平均周期图法
减小了方差，但同时牺牲了偏移量和分辨率。 由于平均周期图法假设了每一段估计的功率谱 密度是独立，如果采用同一个样本进行估计， 因此独立性是很难保证的，因此估计功率谱的 方差减小量没有公式计算的小。
平均周期图法
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30
周期图法的方差
这里为了分析简单，假设随机序列是N(0,σx2) 的白噪声信号，其周期图估计的功率谱表示为 IN(w)，则方差为：
2 var[I N (w)] E[I N (w)] | E[I N (w)]|2
sin( N w) 2 {1 [ ]} N sin( N w)
ˆxx (m)e jwm r
估计的自相关函数为：
1 ˆxx (m) r N
n
x ( n ) v ( n ) x ( n m )v ( n m )
其中N为窗函数v(n)的时间长度
窗函数法
则估计功率谱均值取决于自相关函数的均值：
ˆ ( w)] E[ P xx
ˆ ( w)] P ( w) V ( w) E[ P xx c
注意到Vc(w)为确定性信号自相关函数的傅立叶 变换，实际上这个Vc(w) 为确定性信号的功率谱：
1 Vc (w) | V (w) |2 N
其中V(w)为窗函数v(n)的FFT
窗函数法
这样加窗的功率谱密度均值为：
周期图法估计功率谱的性能分析
偏移量 方差 一致性
周期图法的偏移量
与相关法等价，因此功率谱估计为：
ˆ (w) P xx
其均值为：
m ( N 1)
N 1
ˆxx (m)e r
jwm
ˆ ( w)] E[ P xx
m ( N 1)
N 1
jwm ˆ E[rxx (m)]e
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
1 2 ˆ E[ P(w)] P(w) [ | V ( w) | ] N
其中V(w)为时域窗函数的FFT
窗函数法
如果窗函数为矩形窗vR(n)，则估计的功率谱密 度均值为真实功率谱与窗函数功率谱的卷积(实 际上这个窗函数功率谱是三角窗函数的FFT变 换)
窗函数法
如果加载的不是矩形窗，而是相同时间长度N的 其它窗函数，如三角窗、Hanning、Hamming 和Blackman窗，那么对估计的功率谱的影响是 什么呢？
0 200 400 600 800 1000 1200
0
200
400
600
800
1000
1200
N= 256
N=256，L=4
窗函数法
周期图法的功率谱估计为：
N 1 1 ˆ ( w) | x(n)e jwn |2 P xx N n 0
1 | x(n) v(n)e jwn |2 N n
数据长度N对周期图法的影响
40 20 0 -20 -40
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N=40
数据长度N对周期图法的影响
40 20 0 -20 -40 -60 0 1 2 3 4 5 6 7
30
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0
0
1
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N=64
数据长度N对周期图法的影响
50
0
-50
注意这里三角窗函数的时间长度为2N/L，不是 原来的2N，因此平均周期图法中由于三角窗长 变大，则平滑效果明显，偏移量增大，降低了 频域的分辨率。
平均周期图法
估计功率谱的方差为：
1 ˆ var[ Pxx ( w)] var[ I i ( w)] L
sin( N / L w) {1 [ ]2 } L N / L sin( N / L w)
n
v ( n )v ( n m )
窗函数法
其中 1/N*∑v(n)v(n+m)为数据窗函数v(n)的自相 关函数(确定性信号的自相关函数)。 我们设其为vc(m)：
1 vc N
n
v ( n )v ( n m )
窗函数法
这样估计的功率谱密度的均值为：
周期图法的偏移量
自相关函数为有偏估计：
ˆ (w)] E[ P xx N | m | jwm r ( m ) e xx N m ( N 1)
N 1
m
v(m)rxx (m)e jwm
其中v(m)为三角窗函数：
N | m | v(m) N 0 | m | N else
-100
0
1
2
3
4
5
6
7
30 20 10 0 -10
0
1
2
3
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百度文库
5
6
7
N=128
周期图法的改进
周期图法的不足
N太大，谱曲线起伏加剧 N太小，谱的分辨率又太小
周期图法的改进
平均周期图法 窗函数法 修正的周期图求平均法
平均周期图法
由于在周期图法中，对功率谱的估计中没有进 行期望运算：
窗函数法
实际上也就相当于对N点的样本函数x(n)加载了 窗函数。
窗函数法
首先由于估计功率谱密度均值是与窗函数能量 谱的卷积关系，因此加窗后，仍然是有偏估计。 并且估计的方差也与矩形窗的方差近似。
其它窗函数的优势？？？
窗函数法
相同时间长度的不同类型窗函数提供了频谱分 辨率(主瓣宽度)和谱掩蔽(旁瓣幅度)的折衷方法。 不同窗函数具有不同主瓣宽度，而旁瓣衰减也 有所不同。
1 L 1 var[ xi ] var( xi ) L i 1 L
平均周期图法
将N点长的一个样本数据[x(0),x(1),…,x(N-1)]分 成L段，每一段的长度是N/L，每一段进行周期 图法的功率谱估计，得到L个估计的功率谱Ii(w)， 则平均的功率谱为：
L 1 ˆ ( w) I ( w) P xx i L i 1
周期图法
由于只有一个样本函数，因此忽略期望运算， 得到周期图法的功率谱估计：
1 jwn 2 ˆ Pxx ( w) | x(n)e | N n 0
N 1
周期图法
x(n)
FFT
取模的平方
ˆ (w) P xx
1/ N
自相关法和周期图法的关系
将周期图法的估计式展开： N 1 1 ˆ ( w) | x(n)e jwn |2 P xx N n 0 N 1 N x(k )e jwk x* (n)e jwn N k 0 n 0
平均周期图法
平均周期图法
则该估计方法的偏移量，即估计功率谱的均值：
ˆ (w)] E[I (w)] E[P xx i
由于Ii(w)是N/L 长度的数据根据周期图法估计 的功率谱，因此该功率谱的均值是真实谱与三 角窗函数幅度谱的卷积，即：
E[ Ii (w)] P(w) V (w)
平均周期图法
1 x(k ) x* (n)e jw( k n ) N k n
令m=k-n，则k=m+n
自相关法和周期图法的关系
1 ˆ Pxx (w) [ m ( N 1) N
N 1 N 1 m
n 0
x* (n) x(n m)]e jwm
m ( N 1)
m
jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]
1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
N 1
jwm ˆ rxx (m)e
这里的自相关函数估计实际上就是有偏估计的 自相关函数。
自相关法和周期图法的关系
因此，利用有偏估计得到的自相关函数，再计 算功率谱，与周期图法估计的功率谱密度是等 价的：
ˆ (w) P ˆ (w) P xx BT
实际上由于周期图法需要傅立叶变换，在快速 傅立叶变换出现之前，自相关法比较多的应用 于谱估计。
1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
m m
ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
数据长度N对周期图法的影响
同时，若N增加，三角窗的主瓣宽度变小，则提 高了估计谱的频谱分辨率，即估计谱能够分辨 真实谱中两个靠的很近的谱峰。
x(n) 5sin(nw1 1 ) 5sin(nw2 2 ) v(n)
其中θ1、θ2是在[0 2π]范围内均匀分布的随机变 量，v(n)是均值0、方差1的白噪声
N 1 1 Pxx ( w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N 2 N 1 n 0
N 1 1 jwn 2 ˆ Pxx ( w) | x(n)e | N n 0
平均周期图法
如果能够对若干样本数据进行周期图法估计功 率谱密度，并进行平均运算。那么从随机信号 处理的角度而言，对L个独立、同分布的随机变 量进行相加，则求和后的随机变量的方差为原 随机变量方差的1/L：
窗函数法
窗函数 矩形窗 Hanning hamming Blackman 旁瓣衰减(dB) 主瓣宽度 (*2pi/N) -13 -32 -43 -58 0.89 1.44 1.30 1.68