实验五线性卷积与循环卷积的计算

实验五 线性卷积与循环卷积的计算

一 实验目的

（1） 进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；

（2） 通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力； （3） 掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。

二 实验原理与方法

1、线性卷积

线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为，系统的单位脉冲响应为，输出序列为，则系统输出为：

或

上式称为离散卷积或线性卷积。

图1示出线性时不变系统的输入、输出关系。

→ L. T. I —→ —→ —→

图1 线性时不变系统的输入、输出关系

2、循环卷积

设两个有限长序列和，均为点长

如果

)(n x )(n h )(n y ∑∞

-∞

==-=

m n h n x m n h m x n y )

(*)()()()(∑+∞

-∞

==-=

m n x n h m n x m h n y )

(*)()()()()(n δ)(n h )(1n x )(2n x N )(1n x )(1k X )(2n x )(2k X )()()(213k X k X k X ⋅=

)(n x L. T. I h(n)

∑+∞

-∞

=-=m m n h m x n y )

()()(D F T D F T

则

○N

上式称为循环卷积或圆周卷积

注：为序列的周期化序列；为的主值序列。 上机编程计算时，可表示如下：

3、两个有限长序列的线性卷积

序列为点长，序列为点长，为这两个序列的线性卷积，则为

且线性卷积的最大长，也就是说当和时

。

4、循环卷积与线性卷积的关系

序列为点长，序列为点长，若序列和进行N 点的循环卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于循环卷积的长度：

当时循环（圆周）卷积等于线性卷积，即

○N

当时，循环卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时间混叠，即

)

()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=∑-=[]

∑---=1

021)()(N m N m n x m x )(1n x =10)

(2-≤≤N n n x )(~

1n x )(1n x )()(~1n R n x N )(~1n x )(3n x ∑∑-+==-++

-=1

1

2

1

213)()()()()(N n m n

m m n N x

m x m n x m x n x )(1n x L )(2n x P )(3n x )(3n x ∑+∞

-∞

=-=

m m n x

m x n x )()()(2

1

3)(3n x 1-+P L 1-≤n 1-+≥P L n 0)(3=n x )(1n x L )(2n x P )(1n x )(2n x 1-+≥P L N )(1n x )(*)()(212n x n x n x =1-+

⎪⎨⎧-≤≤+=∑+∞

-∞

=n

N n rN n x n x r N 其它010)

()(33

三 实验任务

对于无限长序列不能用MATLAB 直接计算线性卷积，在MATLAB 内部只提供了一个

conv 函数计算两个有限长序列的线性卷积。对于循环卷积MA TLAB 内部没有提供现成的函数，我们可以按照定义式直接编程计算。

（1）已知两序列：

试求它们的线性卷积y l (n )=h (n )*x (n )和N 点的圆周卷积，画出序列图，并研究两者之间的关系。

⎩⎨

⎧≤≤=⎩⎨

⎧≤≤=其它

其它0

501)(01108.0)(n n h n n x n