海伦公式-.ppt

3
p3 27
p2 27, p 3 3
Smin 3 3
谢谢
2
2
2
(a b c) [(a b c) b][(a b c) c][(a b c) c]
2
2
2
2
p( p a)( p b)( p c)
三、向量证明法
证明: 在三角形 A中B, 设C
ar a ,
b b,
c c,
uuur ,BC
ar,
uuur r CA b,
uuur r AB c
b
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
C
h
a
[再用a,b,c表示h]
c-t
t
A
cD B
[进而求出面积S ]
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2, Rt△ACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2, h2=a2-t2=b2-(c-t)2
由a2-t2=b2-(c-t)2
r 2( x y z) xyz..............(1)
又如图
a b c (x z) (x y) (z y) 2x
x abc 2
同理：y b c a ; z a c b ..........(2)
2
Hale Waihona Puke Baidu
2
将（2）代入（1）得
r2 a b c a b ca c bb c a
因为： AB的C面积为:
S 1 ab sin C
所以:
S2
1
|
r a
r |2| b
|2
sin2
C
1
|
r a
2r |2| b
|2
(1 cos2
C)
4
4
1
|
r a
|2|
r b
|2
1
|
r a
|2|
r b
|2
cos2
C
4
4
＝
1
(|
r a
|2|
r b
|2
rr (a b)2 )
4
………………(1)
因为:
a
b
c
,
0
所以: a b ,c 所以:
(ar
r b
)2
,
cr 2
所以:
a
b
1
(c2
a2
b …2 )…………………
(2)
2
将(2)式代入(1)式, 并化简得:
S 2 1 [a2b2 1 (c2 a2 b2 )2 ]
4
4
1 [2ab (c2 a2 b2 )][2ab (c2 a2 b2 )] 16
移项得 a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c) A
进而有
t a2 b2 c2 2c
C
b
h
a
c-t c
t DB
[再用a,b,c表示出h]
h2
a2
t2
a2
a2
b2 2c
c2
2
4a2c2 (a2 b2 c2 )2
4c 2
[2ac (a2 b2 c2 )][2ac (a2 b2 c2 )] A
转化为数学语言为下列图形：
问题提出
公式推导
一：余弦定理证明法
①
② ③
把③② 代入①，得：
“三斜求积” 公式
公式转化
过程梳理
余弦定理
“三斜求积”公式
等价
海伦公式
公式转化
等 价
课堂练习
自主探究 除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？
勾股定理法
向量法
内切圆法
二：勾股定理证明法 如图, AB=c, BC=a, CA=b,CD⊥AB于D, CD=h, 又记 BD=t,则 AD= c-t
四：内切圆证明法
由内切圆易知S=pr,
又A+B+C =180o
tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C =1
22
22
22
图中有
tan A r ;tan B r ;tan C r 2y 2z 2x
代入前式得
r •r r • r r• r 1 yz yx zx
△ABC，设
．
AB x
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
C
M
A
B
N
（第24题）
解：设⊿ABC的面积为S,由本题
AB=c=x,AC=b=1,BC=a=3-x,
∴p=
1 2
a
b
=c2
∴S= p p a p b p =c
22 3 x2 12 x
❖海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部 分已失传。主要著作是《量度论》一书。该书共3 卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积 和将图形分成比例的问题。其中卷Ⅰ第8题给出著 名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。
新课导入
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中 斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为 田几何？
选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修 五
第一章“阅读与思考”
新课导入 运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
问题提出
海伦
❖ 海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生 平不详。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教 过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采 众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式， 注重数学的实际应用。
2
8
r2
a
b 2
c
2
a
b
ca
c 8
bb
c
a
a
b 2
c
r a b c a b ca c bb c aa b c
2
16
即S= p( p a)( p b)( p c)
运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两
点M，N 4 ，MA 1，MB 1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为
中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成
4 故当a 2 3时，Smax 2 2
运用3：求内切圆半径为1的三角形面积的最小值
解，设三边长为a,b,c,半径为r,则p= a+b c 2
由海伦公式和S pr，得
p( p a)( p b)( p c) pr p
p ( p a)( p b)( p c)
pa
pb 3
pc
4c 2
[(a
c)2
b2 ][b2 4c 2
(a
c)2 ]
(a
b
c)(a
b
c)(b 4c 2
a
c)(b
a
c)
h
(a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 4c 2
C
b
ha
c-
t
tc D B
(a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
2c
[求出面积S ]
∴ S=22(x-1)(2-x)=﹣
∴当x=
26=2
时3 2
即S=
2最大。 2
2x2 6x 4 = S 2最大12，
运用2：AB=2,AC= BC2,求三角形ABC面积的最大值? 解 设BC=a,则AC= 2a, 由海伦公式S= p( p a)( p b)( p c) 易得S 128-（a2 12)2
C
S 1 ch 2
1 c (a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
2
2c
(a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
A
4
b
h
a
c-t c
t DB
(a b c) (a b c) (a b c) (a b c)
2
1 [(a b)2 c2 ][c2 (a b)2 ] 16
1 (a b c)(a b c)(c a b)(c a b) 16
1 2 p (2 p 2c) (2 p 2b) (2 p 2a). 16
S 2 p( p a)( p b)( p c)
S p( p a)( p b)( p c)