第三讲 从欧氏几何到非欧几何

欧几里得公理化方法：
演绎推理
定义、 公设（公理）
几何定理
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念 和一组不加证明的公设（公理）出发，用纯逻辑 推理的法则，演绎出该系统的所有概念和命题， 把该系统建立成一个演绎系统。 这种构造逻辑系统的思想称为“公理化思想”； 相应的方法则称为“公理化方法”
原始定义 点是没有部分的那种东西；
在引力场中，如果把光线看成直线，则三角形内角和 大于180°。如果把拉紧了的线看成直线，也是一样的。
再看“真”的标准
标准一：光走的是直线。 标准二：拉紧了的线是直的。 标准三：两点间最短路线是直的。 标准四：圆周率为π的半径若采用标准三、四， 则欧氏几何是对的。
其中S是三角形面积， R是圆球半径。 内角和与180度的差 与面积成正比。
罗氏几何模型——双曲几何
把双曲面上曲线叫做“直线” 一条直线外有无数条平行线
三角形内角和小于180度。
且有：
其中S是三角形面积， c是某个正的常数。 内角和与180度的差 与面积成正比。
宇宙大爆炸
质量密度大于临界密度， 引力便使宇宙停止膨胀， 并令它重新收缩，成为封 闭宇宙。 质量密度小于临界密度， 宇宙便无休止地膨胀，成 为开放宇宙。
相容性原则 任何公理间不能自相矛盾
独立性原则 任一条公理都不能从别的公理中推出来 完全性原则 本系统的一切定理都由该系统的公理推出
产生的影响
牛顿的名著《自然哲学的数学原理》形式类似于《几 何原本》；
荷兰哲学家史宾诺莎Spinoza的经典名著伦理学，结构 完全仿照《几何原本》 ； 狭义相对论中，爱因斯坦把整个理论建立在两条公理 上：相对原理和光速不变原理；
哪种几何是真的
相对论动摇了欧氏几何的地位，但没有否定欧氏几何。
真与不真，在于你的选择
欧氏几何在数学上简单，在牛顿力学中也适用，并且在地 球上是符合经验的。 黎曼几何适于描述广义相对论所说的空间现象。 物理学选择了黎曼几何，但是这并不妨碍中学生学习欧氏几何， 正如华氏摄氏两种温度计都在适用一样。
豁然开朗
美国的《独立宣言》也有《几何原本》的影子，首先 写道：“我们认为下面这些真理是不言而喻的：人人 生而平等。造物主赋予他们若干不可剥夺的权利，其 中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。”
公设是真理吗
公设乃自明之理，它们既不是来自经验，也不是来自 逻辑分析，而是来自人类理性的先天洞察能力。
第五公设是自明之理吗
公理并非自明之理。公理是对数学对象的性质的约定。
几何体系是个抽象系统，无所谓真假问题。 公理对不对，对数学家来说是没有意义的。 数学家只说：如果某一些对象适合于这些公理，它一定 也适合于从公理推出的定理。故，数学定理总是对的。
第五公设看起来就不同于其它4条公设，好像能用其它公 设证明出来，但数学家们得到的却只是它的等价命题： 过直线外一点能且仅能作一条平行线。 三角形的内角和为180度。 不共线的三点确定唯一的一个圆。
另辟蹊径
到19世纪，数学家开始从反面入手想问题了。 如果假设第五公设不成立，最终能导出矛盾， 就等于用反证法证明了第五公设。 结果却得出许多看似荒谬的结论 , 但这些结论并不与 任何公设相抵触. 于是另一套新的几何系统诞生了！
第三讲
从欧氏几何到非欧几何
几何原本
《几何原本》整个希腊数学成果、 方法、思想和精神的结晶。自它 问世之日起，在长达二千多年的 时间里一直盛行不衰。它历经多 次翻译和修订，自1482年第一个 印刷本出版后，至今已有一千多 种不同的版本。除了《圣经》之 外，没有任何其他著作，其研究、 使用和传播之广泛，能够与《几 何原本》相比。但《几何原本》 超越民族、种族、宗教信仰、文 化意识方面的影响，却是《圣经》 所无法比拟的。
罗氏几何与黎曼几何
罗氏几何： 过直线外一点可作无穷多条平行线。 三角形的内角和小于180度。 相似三角形必全等。 圆周率大于π ，等等。 黎曼几何： 不存在平行线。 三角形的内角和大于180度。 直线不能无限延长。 圆周率小于π ，等等。
黎曼几何模型——球面几何（椭圆几何）
把球面上的大圆叫做“直线” 每两条“直线”都相交。 由“直线”围成的三角形 内角和大于180度。 且有：
已知一点和一距离， 可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；
所有的直角彼此相等；
若一直线与其他两直线相交，以至该直线一侧的两 内角之和小于两直角，则那两直线延伸足够长后必 相交于该侧。
基本原理 认识真理的方法： 从少数几条明白清楚的前提出发，
用逻辑工具证明自己的所有其他结论。
如果前提是真理，则结论也是真理。 一个公理体系必须满足：
柳暗花明
俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利的波尔约和高斯几 乎同时各自独立地发现了这另一种非欧几何学。
轩然大波
一方面，大家认为只有一种真实的几何，那就是欧几里 得几何。如果欧氏几何是真的，那么另外的几何学就应 该是假的。 另一方面，反对非欧几何的人一直不能从非欧几何中推 出矛盾。恰恰相反，数学家利用在欧氏几何之内构造模 型的办法，证明了如果欧氏几何内部无矛盾，那么非欧 几何也一定无矛盾。 于是非欧几何的地位得以确认，却是在首创者们离世后. 之后，德国数学家黎曼(Riemann)又发展了他们的思想， 1854 年在哥丁根大学的讲演中提出了另一种非欧几何， 但这一理论在他生前也未得到应有的评价．
线只有长度而没有宽度；
直线是其上各点一样地平放着的线； 面只有长度和宽度；
平面是其上各线一样地平放着的面；
„„ 共23条
五条公理 等于同量的量彼此相等； 等量加等量，其和相等；
等量减等量，其差相等；
彼此能重合的物体是全等的； 整体大于部分。
五条公设 从一点到另一点可作一条直线； 直线可以无限延长；
封闭宇宙类似球 体表面，大小有 限但无边。 开放宇宙类似双 曲面。
寻根溯源
定义 公设 （如：两点可以确定一直线） 如何解释几何术语 －－“直”
标准一：光走的是直线。 标准二：拉紧了的线是直的。 标准三：两点间最短路线是直的。 标准四：圆周率为π的半径是直的。
它们矛盾吗？
欧氏几何的最大挑战－－相对论