二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案

1、 重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。

2、 难点：二项式定理的发现。

三、教学过程

1、情景设置

问题1:若今天是星期一，再过 30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“

30被7除后算余数”是多少。

问题2:若今天是星期一，再过 8n (n N )天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“

8n (7 1)n 被7除后算余数”是多少，也就是研究

(a b)n (n N )的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难 求解了。

2、新授

第一步：让学生展开

1

(a b) a b

初步归纳出下式：

n n n 1 n22 n33

n

(ab) a abab a b

b ©)

(设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”

，起到了“先行组织者”的

作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后 的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知 结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械 的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。 )

练习：展开(a b)7

教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉 三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早

400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以

鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。

第二步：继续设疑

如何展开(a b)100以及(a b)n (n N )呢？

(设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷

的方法的欲望。)

(a

b) 2 a 2ab b 2 ；

(a b) (a b)2

(a b) 3 a 3a 2b 3ab 2 b 3 ； (a b) (a b)3(a b) 4

a 4a 3

b 6a 2b 2 4ab 3 b 4 (a b)5

(a b)5

(a b)

5

a 5a 4

b 10a 3b 2

10a 2b 3 5ab 4

b 5

教师将以上各展开式的系数整理成如下模型

继续新授

师：为了寻找规律，我们将(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)中第一个括号中的

字母分别记成印,b1 ；第二个括号中的字母分别记成a2,b2 ；依次类推。请再次用多项式乘

法运算法则计算：

(a b)4 i佝bj(a2b2 )(a3b3)(a4 b4)

818283844

...... a

a〔a 2 a3

b4a1a2a4b3a〔a3 a4

b?a? a 3346……a b

a〔a 2匕3匕4a〔33匕2

匕a〔34匕2

匕

a 2 a3 b［匕

4

a 2 a 4 d 匕3 a 3 a 4 d

b 2……a2b2

a1b2b3b4a2b1b3b4a3b-i b2b4a4b1b2b3...... a b b1b2b3b4••…b4

(设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有

的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。)

问题1：以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a,b各来自

哪个括号？

2 2

问题2：既然以上的字母a,b分别来自4个不同的括号，a b项的系数你能用组合数

来表示吗?

问题3:你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？ (预期答案： 有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是

a 、一个是

b 。每个括

号只能取一个字母，任取两个

a 、两个

b ，然后相乘，问不同的取法有几种？

)

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：

① 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ ② 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通 项等概念，这是本课的重点。

(设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材 料潜在的意义，从而使学

习成为有意义的学习。

)

4、巩固应用

1 1

【例1】展开①(1

-)4 ②(2. x ——)6

x

. x

2x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

1 9

3

②求(X ―)9的展开式中含x 3项的系数。

x

变式：在二项式定理中，令 a 1,b x ，得到怎样的公式?

4

(a b) (a b)(a b)(a b)(a b)

括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。

呈现二项式定理一一板书课题：

(a b)n C°a n C l a n1b C 2a n 2b 2

3、深化认识

请学生总结：

a 4 a 3b

a 2

b 2

ab 3 b 4

C n a n r b r C ；；b n (n N )。

【例2】①求(1