《二次函数的图像和性质》第二课时课件
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26.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件(共12张PPT)
为0 。
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C
)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
4.已知抛物线y=2x2-＜1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1.5
1
0.5
y3x2 1
1
2
-0.5
-1
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 y 1x2 2 3
5 4
y
3 y 1 x2 2
3
3 2
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O –1
–2
y 1x2 2
–3
3
–4
–5
12345
y 1 x2 2 3
y 1 x2 3
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
1
-6 -4 -2
2
4
6
x y=3x2 y=3x2–1
… –1 –0.6
…3
1.08
…2
0.08
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
-2
-1
–0.3
0
0.3
0.27
0
0.27
–0.73 – 1 –0.73
y 3x2
2
0.6 1 … 1.08 3 … 0.08 2 …
谢谢观赏
You made my day!
初中数学_二次函数的图象和性质第二课时教学课件设计
2．如图，抛物线y＝x2与直线y＝2x在第一象限内有一个交点A. (1)你能求出A点坐标吗？ (2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请 你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意得yy＝ ＝2x2x，，解得xy11＝ ＝00， ，xy22＝ ＝24， ， ∴A(2，4)
(2)存在满足条件的点P.当OA＝OP时，∵OA＝ 22＋42＝2 5， ∴P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)；当OA＝AP时，过A作AQ⊥x轴于Q， ∴PQ＝OQ＝2，∴P3(4，0)；当PA＝PO时，设P点坐标为(x，0)， 则x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，∴P4(5，0)．综上可知，所求P点的坐 标为P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)，P3(4，0)，P4(5，0)
最值
当x=0时,函数有最小值为0. 当x=0时,函数有最大值为0.
1、二次函数 y x 2 的顶点坐标是（0,0），对称轴是 y轴 ，
图像在 x 轴的 上方 （顶点除外），开口方向向 向上，当x <0 时，y 随着 x 的增大而减小，当 >0 时，y 随着x
的增大而增大。
2、抛物线 y 3x 2，当 x >0
第3题图
作业：习题22.1第3、4题
1．已知二次函数 (1)求m的值； (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x 取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并 指出x取何值时，y随x的增大而增大．
解：(1)m＝±2 (2)m＝2，y最小＝0；x＜0 (3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
小是一样的．其中正确的说法有( C )
A．1个
B．2个
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第2课时)
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表,
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
新知讲解
然后描点画图,
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的
a<0,开口向下
=
−
-4
− .
如图所示
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表,
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
新知讲解
然后描点画图,
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的
a<0,开口向下
=
−
-4
− .
如图所示
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
二次函数图象和性质2精品PPT课件
, |a|越大,抛物线的开口就越小.
例2 已知函数 y (m 3)xm22m6是关于x的二次函数． （1）求满足条件的m的值； （2）当m为何值时，它的图象有最低点？此时当x为何 值时，y随x的增大而增大？
解：（1）根据题意得m-3≠0且m2-2m-6=2， 解得m1=-2，m2=4． 所以满足条件的m的值为-2或4；
解 列表
描点和连线：画出图像在y轴右边的部分，再利 用对称性画出y轴左边的部分.
这样我们得到了 y 1 x2
4
y
的图像，如图
o
－4 －2
24
－2
x
－4
三 系数a对图象的影响
问题3在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2,y 1 x2
2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
二 抛物线y=ax2(a<0)的性质
图 顶点
原点, 是图象的最高点．
象 开口 特 征 对称性
开口向下． 关于y轴对称．
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变 量取值的增大而减小，简称为“右降” ；
函 数
增减性
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变 量取值的增大而增大，简称为“左升”.
性 质
也可表示为：x<0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小．
2、抛物线y= x2的开口向 上 ，顶点坐标为 （0,0） ，
对称轴为y轴 ，当x=-2时，y4=
；当y=3时，x=± 3
,
当x≤0时，y随x的增大而减少 ；当x＞0时，y随x的增大而增大 .
导入新课
你还记得如何画
y
1 2
x2
的图象吗？
首先列表;
数学九年级上册第2课时二次函数y=a(xh)2的图象和性质(共18张PPT)
直线x=2
知识梳理
（一）抛物线y=a(x-h)2特点：
1.当a>0时，开口 向上 ；当a<0时，开口 向下； 2. 顶点坐标是（h,0）； 3. 对称轴是直线 直线x=h。 4、当a>0时,在对称轴的左侧,即x <h 时，y随x的增大而 减小 ;
在对称轴的右侧,即x >h 时，y随x的增大而 增大 . 当a<0时, 在对称轴的左侧,即x <h 时，y随x的增大而 增大 ;
y＝(x-1)2
（1） y＝(x-1)2的开口向 上 ， 对称轴是直线 x=1 ，
顶点坐标是（1,0）。 图象有最 低 点， 即x= 1 时，y有最小值是 0 ；
在对称轴的左侧，
即x <1 时，y随x的增大而 减小 ；
在对称轴的右侧，
即x >1 时，y随x的增大而 增大 。 y＝(x-1)2 可以看作由y=x2
抛物线 y 1 (x 1)、2 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 x2
2
2
2
有什么关系？
y
即:
1
y
1 2
向左平移 x2 1个单位
y
1 2
(x 1)2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 2
y
1 2
x2向右平移 1个单位
2
2
2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它
们的开口方向、对称轴及顶点．
（思考）按下列要求求出二次函数的解析 式：形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但 开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物 线解析式
顶点坐标是（-1,0）。
二次函数的图像与性质第二课时说课课件
讲授新课：逐步深入，化解难点
引入二次函数的定义和一般形式，解释 二次函数系数对图像的影响。
通过图像展示二次函数的开口方向、对 称轴和顶点等性质，帮助学生形成直观
认识。
详细讲解二次函数的最大值和最小值问 题，引导学生理解最值的求解方法和实
际意义。
巩固练习：针对训练，提高能力
提供多种类型的练习题，包括求解析 式、判断图像形状、求最值等，让学 生全面巩固所学知识。
课后拓展延伸建议
深入研究
选择一个具体的二次函数 ，深入研究其图像和性质 ，并撰写研究报告；
拓展应用
尝试将二次函数应用于实 际问题中，例如解决最优 化问题；
自主探索
探索二次函数与其他数学 知识点的联系，例如与三 角函数、数列等的结合。
个性化辅导策略
针对学生的不同兴趣点，提供与二次函数相关的趣味 数学题目或数学史话等阅读材料，激发学生的学习兴 趣；
知识点梳理与分析
知识点2
二次函数的图像特征
分析
学生需要掌握二次函数的图像是一条抛物线，理解抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本概念，并能够根据函 数的表达式绘制出相应的图像。
知识点梳理与分析
知识点3
二次函数的性质
分析
学生需要深入理解二次函数的性质，包括开口方向（由$a$的正负决定）、顶点坐标（可以通过公式 $-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a})$求得）、对称轴（$x=-frac{b}{2a}$）等。同时，要了解这些性质在实 际问题中的应用。
定期查看学生作业，了解学生对知 识点的掌握情况。
小组讨论表现
评估学生在小组讨论中的贡献，包 括提出问题和解答问题的能力。
结果性评价方法
单元测试
二次函数的图像与性质(第二课时)说课课件
二次函数的图像与性质第二课时说课课件教材背景分析一教材的地位与作用二次函数的图像与性质是在学生已经学习过一次函数包括正比例函数反比例函数的图像与性质以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的它既是前面所学知识的应用拓展是对前面所学一次函数反比例函数图像与性质的一次升华又是今后学习二次函数的应用二次函数与一元二次方程的联系的预备知识又是学生高中阶段数学学习的基础知识
引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观 多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极 性。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学结构设计
建立以“实施主体性教学，培养学生自学能力”为主的课堂 教学结构模式——学教结合式 让学生先自学，然后由老师来教，这样容易激发学生的求知 欲望，调动学生学习的兴趣。以“学教结合”为模式的课堂结构 设计为“五个阶段”： ①准备阶段。教师引导学生确定学习目标。 ②自学阶段。学生围绕目标自学。 ③议论阶段。让学生自我表现，相互质疑，相互交流，启发 理解。 ④点拨阶段。在学生自学基础上，教师加以点拨，让学生心 领神会，豁然贯通。 ⑤延伸阶段。这一阶段是让学生从“学会”到“会学”的升 华。延伸阶段要做到“三化”，一是知识的深化，二是知识向能 力、技能的转化，三是学习方法的固化，即演练巩固，牢固掌握 其方法。
教学过程设计 复习 探究导入新课 见课件制作 见课件制作 见课件制作 教材P36练习1、2、3
新课学习
课堂练习 思考总结 作业布置
见课件制作 A、教材P38——A组1(1)(2); B、基础训练P15—P16。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件 教学评价设计
本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利 用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特 别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的 二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结 合图形，分析说出二次函数y=ax2的有关性质，充分体现了 “数形结合”的数学思想。为了突出重点，攻破难点，我 要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后 总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主 体，老师起主导作用的教学原则。本节课，让学生有观察， 有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣， 从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。
引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观 多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极 性。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学结构设计
建立以“实施主体性教学，培养学生自学能力”为主的课堂 教学结构模式——学教结合式 让学生先自学，然后由老师来教，这样容易激发学生的求知 欲望，调动学生学习的兴趣。以“学教结合”为模式的课堂结构 设计为“五个阶段”： ①准备阶段。教师引导学生确定学习目标。 ②自学阶段。学生围绕目标自学。 ③议论阶段。让学生自我表现，相互质疑，相互交流，启发 理解。 ④点拨阶段。在学生自学基础上，教师加以点拨，让学生心 领神会，豁然贯通。 ⑤延伸阶段。这一阶段是让学生从“学会”到“会学”的升 华。延伸阶段要做到“三化”，一是知识的深化，二是知识向能 力、技能的转化，三是学习方法的固化，即演练巩固，牢固掌握 其方法。
教学过程设计 复习 探究导入新课 见课件制作 见课件制作 见课件制作 教材P36练习1、2、3
新课学习
课堂练习 思考总结 作业布置
见课件制作 A、教材P38——A组1(1)(2); B、基础训练P15—P16。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件 教学评价设计
本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利 用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特 别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的 二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结 合图形，分析说出二次函数y=ax2的有关性质，充分体现了 “数形结合”的数学思想。为了突出重点，攻破难点，我 要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后 总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主 体，老师起主导作用的教学原则。本节课，让学生有观察， 有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣， 从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
二次函数的图象和性质第二课时课件
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
活动3 探究型例题 例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），
你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？
【解题过程】 解法2： 由A（0，1），B（1，2），C（2，1）三个点的特征
以及二次函数图象的对称性，可得点B（1，2）是函数图 象的顶点坐标。
（其中x1，x2为交点的横坐标）
再把点（0，-3）代入上式得
∴a（0+3）（0+1）=-3，解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-（x+3）（x+1）， 即y＝-x2-4x-3。
【思路点拨】因为已知点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为
交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的
三元一次方程组简单，而顶点可根据顶点公式求出。
（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
S△ABC
1 1 6 2
3。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
活动3 探究型例题 例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C
（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？
【解题过程】 解法1：
∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1，∴c=1。
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1，
将点（1，2）和（2，1）分别代入y=ax2+bx+1，得
2 a b 1，
1=4a 2b 1，
解得
a 1，
b
2。
活动3 探究型例题 例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），
你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？
【解题过程】 解法2： 由A（0，1），B（1，2），C（2，1）三个点的特征
以及二次函数图象的对称性，可得点B（1，2）是函数图 象的顶点坐标。
（其中x1，x2为交点的横坐标）
再把点（0，-3）代入上式得
∴a（0+3）（0+1）=-3，解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-（x+3）（x+1）， 即y＝-x2-4x-3。
【思路点拨】因为已知点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为
交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的
三元一次方程组简单，而顶点可根据顶点公式求出。
（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
S△ABC
1 1 6 2
3。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
活动3 探究型例题 例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C
（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？
【解题过程】 解法1：
∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1，∴c=1。
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1，
将点（1，2）和（2，1）分别代入y=ax2+bx+1，得
2 a b 1，
1=4a 2b 1，
解得
a 1，
b
2。
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c> 0 时,向上平移c个单位长度得到；
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
2 二次函数的图象和性质课件
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
向上 直线x=－3 (－3, 5 ) 向下 直线x=1 ( 1 , －2 )
y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 , 7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
(1)当a>0时, 开口向上;当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
y=ax2、y=a(x－h)2、y=a(x－h)2+k之间的关系：
y=ax2 向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2
向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
A
∵这段抛物线经过点(3,0)
2
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y－=
3 4
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
O
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
左减右增
左增右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移 y=ax2
k<0 下移
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
向上 直线x=－3 (－3, 5 ) 向下 直线x=1 ( 1 , －2 )
y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 , 7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
(1)当a>0时, 开口向上;当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
y=ax2、y=a(x－h)2、y=a(x－h)2+k之间的关系：
y=ax2 向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2
向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
A
∵这段抛物线经过点(3,0)
2
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y－=
3 4
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
O
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
左减右增
左增右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移 y=ax2
k<0 下移
九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第2课时)》
y2＜y3＜y1
________________
．
解：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝3＞0，开口向上，
∴当x＜－ 2时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－ 2时，
即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3 2，y1)，
∴点A在抛物线上关于x=- 2的对称点A′的坐标为( 2，y1)．
y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大
而减小；x＜h时，y随x
的增大而增大.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
素养考点 二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
例 若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点，A(－3 2 ，y1)，
B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
22.1 二次函数的图像和性质
能力提升题
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2 与y＝2(x-2)2 的图
象，分别指出两个图象之间的相互关系．
y
解：图象如右图.
y = 2x2
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的
图象向右平移2个单位得到.
x
O
2
课堂检测
22.1 二次函数的图像和性质
拓广探索题
y 1 x2
式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a =
因此平移后二次函数关系式为y＝
1
(x－3)2.
4
1
，
4
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，
括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号二次函数的图像和性质
________________
．
解：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝3＞0，开口向上，
∴当x＜－ 2时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－ 2时，
即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3 2，y1)，
∴点A在抛物线上关于x=- 2的对称点A′的坐标为( 2，y1)．
y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大
而减小；x＜h时，y随x
的增大而增大.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
素养考点 二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
例 若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点，A(－3 2 ，y1)，
B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
22.1 二次函数的图像和性质
能力提升题
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2 与y＝2(x-2)2 的图
象，分别指出两个图象之间的相互关系．
y
解：图象如右图.
y = 2x2
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的
图象向右平移2个单位得到.
x
O
2
课堂检测
22.1 二次函数的图像和性质
拓广探索题
y 1 x2
式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a =
因此平移后二次函数关系式为y＝
1
(x－3)2.
4
1
，
4
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，
括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号二次函数的图像和性质
二次函数的图象和性质初中数学课件
增大
当x>0时，y随x的增大而
减小 ，
.
5.(1)已知点(-1，y1), (-3，y2)都在二次函数y=-5x2的图象
上，则y1，y2的大小关系是
y1 ＞y2 .
(2)已知点(-2，y1), (3，y2)都在二次函数y=7x2的图象上，
则y1 ，y2的大小关系是
y1 ＜y2
.
22.1二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax²
的图象和性质
温故知新
图象的形状；
图象的形状；
图象的位置；
性质：y随x的增
大如何变化.
一
次
函
数
类比
y=kx
(k≠0)
由
特
殊
到
一
般
二
次
函
数
y=ax²
(a≠0)
k＞0，k＜0，
a＞0，a＜0，
y=x，y=-x.
y=x²，y=-x².
图象的位置；
性质：y随x的增
二次函数 y = ax 2 的图象特征．
(1)在同一直角坐标系中，画出a<0的几个二次函数的图象，并
考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
(2)当a<0时，说出二次函数 y = ax 2 的图象特征．
y
1
-8
-
-2
-
0
0
0
1
-
-
-2
2
-2
-8
…
…
…
1
2
-1
1
3
2
当x>0时，y随x的增大而
减小 ，
.
5.(1)已知点(-1，y1), (-3，y2)都在二次函数y=-5x2的图象
上，则y1，y2的大小关系是
y1 ＞y2 .
(2)已知点(-2，y1), (3，y2)都在二次函数y=7x2的图象上，
则y1 ，y2的大小关系是
y1 ＜y2
.
22.1二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax²
的图象和性质
温故知新
图象的形状；
图象的形状；
图象的位置；
性质：y随x的增
大如何变化.
一
次
函
数
类比
y=kx
(k≠0)
由
特
殊
到
一
般
二
次
函
数
y=ax²
(a≠0)
k＞0，k＜0，
a＞0，a＜0，
y=x，y=-x.
y=x²，y=-x².
图象的位置；
性质：y随x的增
二次函数 y = ax 2 的图象特征．
(1)在同一直角坐标系中，画出a<0的几个二次函数的图象，并
考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
(2)当a<0时，说出二次函数 y = ax 2 的图象特征．
y
1
-8
-
-2
-
0
0
0
1
-
-
-2
2
-2
-8
…
…
…
1
2
-1
1
3
2
《二次函数的图像与性质》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (5)
最||值 当x =0时,y最||小值为0. 当x =0时,y最||大值为0.
y x2
抛物线y =x2与y = -x2 关于x轴对称
抛物线y =x2与y = -x2 关于原点中|心对称
y x2
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =2x²+1的图象与 二次函数y =2x²的图象.
二次函数y =2x²+1的图象与二次函数y =2x²的图象 有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
3.把函数y =3x2 +2的图象沿x轴对折 ,得到的图 象的函数解析式为 y = -3x2 -2.
4.〔m,n)在y =ax2 +a的图象上 ,〔 - m,n 〕 _在____〔在 ,不在〕y =ax2 +a的图象上.
5. 假设y =x2 +〔2k -1〕的顶点位于x轴上方 , 那么＞
k_______
二次项系数为 -2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
位置不同; 最||大值不同: 分别是1和0..
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =3x²-1的图 象与二次函数y =3x²的图象.
二次函数y =3x²一l的图象与二次函数y =3x²的 图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口 方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
2、二次函数极值为2 ,且过〔3 ,1〕、 〔 -1,1〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -h)2 +2
例题选讲
例 4 有一个抛物线形的立交桥拱 ,这个桥拱的最||大高
度 为16m ,跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 解：(设如抛以物以线以的下表图达)式,为求y抛物=线ax的2＋表b达x＋式c．,
《二次函数的图像和性质》第二课时课件
移2个单位得到.
2.已知s= –(x+1)2,当x为 –1 时，s取最为 大 . 值为 0 .
3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解 析式是( D ).
A.y=(x+1)2
B. y= –(x+1)2
C.y=(x–1)2
D. y= –(x–1)
4.函数y=2x2的图象是_抛__物___线，开口向_上_,对称轴是 _y_轴___，顶点坐标是_(_0_,_0_)__，当x=__0_时，函数有最 __小__值为__0__；在对称轴左侧， y随x的增大而 __减__小___，在对称轴右侧， y随x的增大而___增__大__.
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
1 －2 ···
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
课堂小结
y =ax2 + k
y =a(x -h )2
上下平移，上加下减 左右平移，左加右减
上下平移 y=ax2 左右平移
作业
课本 P.36 第1,2题
再见
2
2
就得到抛物线 y 1 x 12
．
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
y 1 x2 －6 2
24
y 1 x 12
2
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的开口向__下___，对称轴是__x_=_1__，顶点是_2(_1_,_0_)_．
抛物线
y 1 x 12
2
y
1 2
x
1与2 抛物线
有什么关系？
y 1 x2 2
可以发现,把抛物线
y 1 x2 2
向左平移1个单位,就得到
抛物线 y 1 x 12 ;把抛物线 y 1 x2 向右平移1个单位，
2
y 1 x2 2
－4 －2 －2
24
－4
y 1 x 12
－6
y 1 x 12
2
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下,对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作x=－1,顶点是(-1,0);抛物线 y 1 x 12
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 －2 ···
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
5.函数y=-2x2+4的图象开口向__下__，对称轴是__y_轴__， 顶点坐标是__(0_,_4)___，当x=__0__时，函数有最__大__值 为__4__；当x<0时，y随x的增大而__增__大___，当x>0时， y随x的增大__减__小___.
6.函数y =-2(x+1)2的图象开口向__下__,对称轴是直__线__x=_-,1 顶点坐标是_(_-_1,_0_),当x=__-_1 _时,函数有最_大___值为__0__； 当x_<___-1_时,y随x的增大而增大,当x_>___-1_时,y随x的增 大而减小. 7.抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的__形_状____ 相同，_位__置____不同.抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向 __下_平移___4_单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线 y=3x2向__右__平移__1__单位而得到.
学习目标：
1.会画出y=ax2+k这类函数的图象．通过比较，了解
这类函数的性质．
2. 会画出y=a(x-h)2这类函数的图象．通过比较，了
解这类函数的性质．
3.了解经过沿y轴向上或向下平移，可由抛物线y=ax2 得到抛物线y=ax2+k．沿x轴向右或向左平移，可由 抛物线y=ax2得到抛物线a(x-h)2
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开
口方向、对称轴以及顶点坐标.
合作探究一: 二次函数y=ax2 ＋k的图象
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
x ... ... -3 2 -1 0 1 2 3 ... ...
y=x2+1 ... ... 10 5 2 1
2 5 10 ... ...
y=x2-1 ... ... 8 3 0 -1 0 3 8 ... ...
y=x2+1
想一想：三条抛物线 有什么关系？
y=x2-1
答：形状相同，位置不同. 三个图象之间通过沿y轴平 移可重合.
结论 上下平移，上加下减
归纳: 二次函数y=ax2 ＋k的性质
1.二次函数y=x2+k的图象是什么？ 答：是抛物线
y 1 x 12
2 －4 －2
－2
y 1 x 12
2
24
a＜0时，开口向下, 最高点是顶 点; 对称轴是 直线x=h ,顶点坐
－4
标是 (h,0) . 当x<h时y随x的
－6
y 1 x2 2
增大而增大；当x>h时y随x的增
大而减小；
1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 y=0.5x2 先向 左 .
移2个单位得到.
2.已知s= –(x+1)2,当x为 –1 时，s取最为 大 . 值为 0 .
3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解 析式是( D ).
A.y=(x+1)2
B. y= –(x+1)2
C.y=(x–1)2
D. y= –(x–1)
4.函数y=2x2的图象是_抛__物___线，开口向_上_,对称轴是 _y_轴___，顶点坐标是_(_0_,_0_)__，当x=__0_时，函数有最 __小__值为__0__；在对称轴左侧， y随x的增大而 __减__小___，在对称轴右侧， y随x的增大而___增__大__.
大而增大
最小值 y随x的增
是k 大而减小
（0,k）
最大值
是k
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
合作探究二: 二次函数y=a(x-h)2的图象
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 顶 点坐 y的 轴 标 最值
增减性
在对称 在对称 轴左侧 轴右侧
y=ax2
a＞0 向上 y轴 a＜0 向下 y轴
a＞0 向上 y轴
y=ax2+k
a＜0 向下 y轴
最小值 y随x的增
（0,0） 是0 大而减小
（0,0）
（0,k）
最大值 是0
y随x的增
2
2
就得到抛物线 y 1 x 12
．
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
y 1 x2 －6 2
24
y 1 x 12
2
归纳: 二次函数y=a(x-h)2 的性质
y=a(x-h)2的图象是抛物线
a＞0时,开口向上,最低点是顶点;对称轴是直线x=h, 顶点坐标是 (h,0) .当x<h时y随x的增大而减小；当 x>h时y随x的增大而增大；
课堂小结
y =ax2 + k
y =a(x -h )2
上下平移，上加下减 左右平移，左加右减
上下平移 y=ax2 左右平移
作业
课本 P.36 第1,2题
再见
抛物线
y 1 x 12
2
y
1 2
x
1与2 抛物线
有什么关系？
y 1 x2 2
可以发现,把抛物线
y 1 x2 2
向左平移1个单位,就得到
抛物线 y 1 x 12 ;把抛物线 y 1 x2 向右平移1个单位，
2
y 1 x2 2
－4 －2 －2
24
－4
y 1 x 12
－6
y 1 x 12
2
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下,对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作x=－1,顶点是(-1,0);抛物线 y 1 x 12
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 －2 ···
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
5.函数y=-2x2+4的图象开口向__下__，对称轴是__y_轴__， 顶点坐标是__(0_,_4)___，当x=__0__时，函数有最__大__值 为__4__；当x<0时，y随x的增大而__增__大___，当x>0时， y随x的增大__减__小___.
6.函数y =-2(x+1)2的图象开口向__下__,对称轴是直__线__x=_-,1 顶点坐标是_(_-_1,_0_),当x=__-_1 _时,函数有最_大___值为__0__； 当x_<___-1_时,y随x的增大而增大,当x_>___-1_时,y随x的增 大而减小. 7.抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的__形_状____ 相同，_位__置____不同.抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向 __下_平移___4_单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线 y=3x2向__右__平移__1__单位而得到.
学习目标：
1.会画出y=ax2+k这类函数的图象．通过比较，了解
这类函数的性质．
2. 会画出y=a(x-h)2这类函数的图象．通过比较，了
解这类函数的性质．
3.了解经过沿y轴向上或向下平移，可由抛物线y=ax2 得到抛物线y=ax2+k．沿x轴向右或向左平移，可由 抛物线y=ax2得到抛物线a(x-h)2
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开
口方向、对称轴以及顶点坐标.
合作探究一: 二次函数y=ax2 ＋k的图象
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
x ... ... -3 2 -1 0 1 2 3 ... ...
y=x2+1 ... ... 10 5 2 1
2 5 10 ... ...
y=x2-1 ... ... 8 3 0 -1 0 3 8 ... ...
y=x2+1
想一想：三条抛物线 有什么关系？
y=x2-1
答：形状相同，位置不同. 三个图象之间通过沿y轴平 移可重合.
结论 上下平移，上加下减
归纳: 二次函数y=ax2 ＋k的性质
1.二次函数y=x2+k的图象是什么？ 答：是抛物线
y 1 x 12
2 －4 －2
－2
y 1 x 12
2
24
a＜0时，开口向下, 最高点是顶 点; 对称轴是 直线x=h ,顶点坐
－4
标是 (h,0) . 当x<h时y随x的
－6
y 1 x2 2
增大而增大；当x>h时y随x的增
大而减小；
1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 y=0.5x2 先向 左 .
移2个单位得到.
2.已知s= –(x+1)2,当x为 –1 时，s取最为 大 . 值为 0 .
3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解 析式是( D ).
A.y=(x+1)2
B. y= –(x+1)2
C.y=(x–1)2
D. y= –(x–1)
4.函数y=2x2的图象是_抛__物___线，开口向_上_,对称轴是 _y_轴___，顶点坐标是_(_0_,_0_)__，当x=__0_时，函数有最 __小__值为__0__；在对称轴左侧， y随x的增大而 __减__小___，在对称轴右侧， y随x的增大而___增__大__.
大而增大
最小值 y随x的增
是k 大而减小
（0,k）
最大值
是k
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
合作探究二: 二次函数y=a(x-h)2的图象
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 顶 点坐 y的 轴 标 最值
增减性
在对称 在对称 轴左侧 轴右侧
y=ax2
a＞0 向上 y轴 a＜0 向下 y轴
a＞0 向上 y轴
y=ax2+k
a＜0 向下 y轴
最小值 y随x的增
（0,0） 是0 大而减小
（0,0）
（0,k）
最大值 是0
y随x的增
2
2
就得到抛物线 y 1 x 12
．
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
y 1 x2 －6 2
24
y 1 x 12
2
归纳: 二次函数y=a(x-h)2 的性质
y=a(x-h)2的图象是抛物线
a＞0时,开口向上,最低点是顶点;对称轴是直线x=h, 顶点坐标是 (h,0) .当x<h时y随x的增大而减小；当 x>h时y随x的增大而增大；
课堂小结
y =ax2 + k
y =a(x -h )2
上下平移，上加下减 左右平移，左加右减
上下平移 y=ax2 左右平移
作业
课本 P.36 第1,2题
再见