高等数学课件下第105对坐标曲面积分

则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
P d ydz Q dzdx R d xd y
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
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Pdydz称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; Qdzdx 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; Rdxdy 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y 取上侧, R(x,y,z)是 上的连续函数, 则
R(x,y,z)dxdyDxy
R(x,y,z(x,
n
y))
d
xd
y
证:
R(x,y,z)dxdy
lim
0
i
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
P d y d z Q d zd x R d x d y
若记 正侧的单位法向量为 n (co ,cso ,cso )
令 d S n d S ( y d z d , d z d x , d x d y ) A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) )
I
S
2d ydz xcos2 x
dz cos
d
2
x y
dxd y z cos2 z
解: 利用轮换对称性, 有
S
2 x
dy cos
d
2
z x
Baidu Nhomakorabea
S
2d xd z cos2
y z
,
Scdzod2sxySdcxod2syz0
I
S
dxdy zcos2 z
2
x2y21
dxdy 1x2y2co 2 s1x2y2
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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P d y d z Q d zd x R d x d y
3. 性质
AndS AdS
k
(1) 若 i , 且i 之间无公共内点, 则
i 1
k
AdS
i1
i
AdS
(2) 用ˉ 表示 的反向曲面, 则
A dS A dS
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
lim 0
i1
P (i,i,i)co i Q s(i,i,i)co i s
R (i,i, i)co isSi
P c o Q s c o R s co d S s
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P dydzQ dzdxR dxdy
P c o Q s c o R s co d S s 令 A(P ,Q ,R ),n (c,o co s ,cso ) s
1
R (i,i,i) (Si)xy
∵ 取上侧, (Si)xy (i)xy
iz(i,i)
n
lim
0
i1
R(i,i,z(i,i))(i)xy
D xyR (x,y,z(x),d y )xdy
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说明: 如果积分曲面 取下侧, 则
R(x,y,z)dxdyDxyR(x,y,z(x, y))dxdy
2 1
2 d
rdr
1
4
d 1r2
0 0 1r2co2s 1r2
0co2s 1r2
4ta1n
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四、两类曲面积分的联系
P dydz Q d zdxR d xdy
n
lim
0
i1
P (i,i,i) ( S i)y z Q (i,i, i) (S i)zx R (i, i, i) (S i)xy
• 若 :x x (y ,z ),(y ,z ) D y z,则有
P(x,y,z)dydzD yzP(x(y,
z)
,yz,)d ydz
(前正后负)
• 若 :y y (z ,x ),(z ,x ) D z x ,则有
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx (右正左负)
的底部 2 :z a 2 (x a 2 ,y a 2 )取下侧
3 3 D 1 xy((za 2x)xd )dxd xdy y 2 D (xzy( xa 2) dx x)ddyxdy
3a dxdy 3 a3 Dxy
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例2. 计算曲面积分 xyzdxdy, 其中 为球面 x2
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例1. 计算 ( x y ) d y d z ( y z ) d z d x ( z x ) d x d y
其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
y
原式 3 (zx)dxdy
x
的顶部 1 :z a 2(x a 2 ,y a 2 )取上侧
x(y 1x2y2)dxdy D xy xy1x2y2dxdy D xy
2 xy1x2y2dxdy D xy
z
2 r2sin co s1r2rdrd
2
D xy
2sin2d
1r3
1r2 dr
0
0
oD x y x
1 1
y
2 15
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例3. 设S 是球面 x2y2z21的外侧 , 计算
高等数学课件下第105对坐标
2. 定义. 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个
向量场 A ( P ( x ,y , z ) Q ( , x ,y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
y2z21外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z 2
根据对称性 xydzxdy0
oD x y 1 y
解: 把 分为上下两部分
x
1
1:z1x2y2
2:z1x2y2 (x,y)Dxy: xx2 0,yy2 1 0
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xyzdxdy1xyzdxdy2xyzdxdy
d S n d S ( y d z d , d z d x , d x d y )
向量形式 AdS A ndS
AnAn( A 在 n 上的投影)
An dS
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例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为