减缩样本空间法

概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
联系：事件A，B都发生了 区别：
（1）在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异， A先B后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
（2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本
空间；在P（AB）中，样本空间仍为 。
因而有 P(B A) P(AB)
那么所有可能的抽取的情况变为A= YYY ,YYY .
由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的
概率为 n(B) 1 n(A) 2
知道第一名同学的结 果会影响最后一名同 学中奖的概率吗？
P(B | A) n(B) ? n( A)
(通常适用古典概率模型) (适用于一般的概率模型)
条件概率 Conditional Probability
例题1 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？
解1： 设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
你能算吗？
某日你妈妈带你到她的一个朋友家做客， 闲谈间正巧碰到她的女儿回家，这时主人 介绍说：“这是我的一个女儿，我还有一 个孩子呢。”这个家庭中有两个孩子，已 知其中有一个是女孩，问这时另一个孩子 也是女孩的概率为多大？
问题 这个家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩， 问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？
由条件概率的公式得
P(B A) n( AB) 6 n( A) 9
2. 3
课堂小结
1. 条件概率的定义.
P(B A) P( AB) P( A)
2. 条件概率的性质.
（1）减缩样本空间法
• （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次 抽到理科题的概率
课堂练习
掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点条件下， 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10},
B={第一颗掷出6点}
P( A | B) n( AB) 3 1 n(B) 6 2
小结
解2： 设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
只需求事件 A 发生的条件下，
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A） 由条件概率定义得：
51
B3
A
2
P(B |
A)
p( AB) p( A)
1 3
1

2
4,6
3 解法二（条件概率定义法）
例 2 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，
A=={{已已知知一老个是大女是孩女}＝孩{}(男＝,女{), (女(女,,男男),, (女(女,女,女)})}
B {另一个也是女孩} {(女,女)}
所以所求概率为 1 . 2
思考：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同
学无放回地抽取，问最后一名同学中奖的概率是否比 其他同学小？
因为已经知道第一位同学没有抽到中奖奖券，
j 号产品,则试验的样本空间为
{(1,2), (1,3), (1,4), (2,1),(2,3),(2,4) ,L ,(4,1),(4,2),(4,3)},
A {(1, 2),(1, 3),(1,4),(2,1),(2, 3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,4)},
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)},
练习2. 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二 等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设 事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二 次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，P(B) 70 0.7 100
（2）方法1：因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以
解 {(男,男), (男,女), (女,男), (女,女)}
A={已知一个是女孩}＝{(男,女), (女,男), (女,女)}
B {另一个也是女孩} {(女,女)}
所以所求概率为 1 . 3
问题 这个家庭中有两个孩子，已知老大是女孩， 问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？
解 {(男,男), (男,女), (女,男), (女,女)}
1、定义
一般地,设Ａ，Ｂ为两个事件, 且Ｐ（A）＞０， 称
P(B A) P( AB) P( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把 P（B︱A）读作 A 发生的条件下 B 的概率。
2条件概率的性质：
(1)任何事件的条件概率都在 0和1之间，即0 P(B A ) 1.
(2)条件概率的加法公式 若B和C是两个互斥事件, 则 P(B UC A) P(B A) P(C A)
只需求事件 A 发生的条件下，
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A）
51
B3
A
2
P(B | A) n( AB) 2
4,6
n( A) 3 解法一（减缩样本空间法）
例题1 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？
Q B AAB B
P(B A) 70 0.7368
方法2：
95

P(B
A)

P( AB) P( A)

70 95
100 100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

0.7368
B 70
5
95A
• 例3：在5道题中有3道理科题和2道文科题。如 果不放回地依次抽取抽取2道题，求：
• （1）第一次抽到理科题的概率
• （2）第一次和第二次都抽到理科题的概率