浅谈不定积分的解题方法

本科学生毕业论文

浅谈不定积分的解题方法

摘要

本文介绍求不定积分的若干方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法和有理函数积分法等，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性.

关键词：不定积分;直接积分法;还原积分发;分部积分法;有理函数积分法

ABSTRACT

There are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples.

Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method

目录

1 引论 (1)

2不定积分 (1)

2.1 不定积分定义 (1)

2.2 经典例题 (1)

3 直接积分法 (2)

4换元积分法 (2)

4.1 第一换元积分法 (3)

4.1.1 凑微分法 (3)

4.1.2常用凑微分法公式 (4)

4.2 第二换元积分法 (4)

4.2.1根式代换法 (5)

4.2.2 三角代换 (5)

4.2.3 倒代换 (6)

5 分部积分法 (7)

5.1分部积分法 (7)

5.2 积分的关键 (7)

6 有理函数积分法 (7)

6.1有理函数积分法 (7)

6.2分式有理函数 (8)

7 结论 (10)

参考文献 (11)

1 引论

微积分是高等院校的一门重要基础课程，当代著名数学家柯朗[1]曾指出≪微积分≫和≪数学分析≫是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等数学的一种特别有效的工具. 不定积分是数学分析的基本内容和主要内容，不定积分也是微分学和积分学的联系纽带. 不定积分的一个重要内容，不定积分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定积分思维方灵活多样，它要根据不同题型特点采取不同的解法，不定积分运算是微分运算的逆运算. 下面把常用的不定积分的解法分类归纳，以便学生更好地掌握，求解不定积分的常规方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法和特殊积分法. 而实际运用中使用较多的是换元积分法和分部积分法，分部积分法是学生学习的一个难点, 掌握不定积分的解法比较困难，但是求导相对容易，因为只要熟记了基本初等函数的导数公式、掌握了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，就可以求出任何函数的导数.可是不定积分就没有这么容易，第一是没有适用于一切初等函数不定积分的方法，第二是许多初等函数的原函数本身就不是初等函数, 而出现不定积分存在但是求不出来的情况.

2 不定积分

2.1不定积分的定义

不定积分的定义[2]若在某以区间上()()'F x f x =则在这个区间上函数F(x)叫函数()f x 的原函数. 我们把函数()f x 的原函数的一般表达式称为()f x 的不定积分.记为()f x dx ⎰，亦即

()()f x dx F x C =+⎰,

其中()F x 是()f x 的一个原函数，C 为任意常熟，又称()f x 是被积函数，x 为积分变量，C 为积分常数，记号:("∫")为积分号.

例1 求多项式的积分()2321x x dx -+⎰

解 利用积分的运算法则,有

原式23232x dx xdx dx x x x C =-+=-++⎰⎰⎰.

3 直接积分法

直接积分法[3]就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法，直接积分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形，变为代数和，再逐项积分.

直接积分法的关键[4]是： 熟练的掌握积分的基本公式和运算法则是关键,也是学习不定积分的基本要求，由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分公式是与基本微分公式对应的积分公式 在基本微分公式较熟悉的前提下，基本积分公式是不难记住的 .

例2 求2cot xdx ⎰

分析：基本关系中没有关于2cot x 的积分，但是由于他相关的2csc x 积分,于是，把2cot x 用2csc x 来表示，然后代入公式：

解 ()22cot csc 1cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰.

例3 求4

2

1x dx x +⎰ 解 原式()42

32211111arctan 113

x dx x dx dx x x x C x x +-==-+=-++++⎰⎰⎰. 例4 求2cos x xdx *⎰ 解 21cos 21cos 21sin 2cos 22224

x x x

x xdx dx dx dx x C +*==+=++⎰⎰⎰⎰. 例5 求cos 2cos sin x

dx x x

-⎰

解 被积函数有不同三角函数sin ,cos x x 和cos2x 可利用倍角公式为

()22cos 2cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin x x x

dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--⎰⎰⎰ .

4 换元积分法