平面几何在解析几何中的应用

平面几何在解析几何中的应用

南昌大学附中 陈一君

一、活用几何关系速解圆类问题

在解析几何中，作为二次曲线的圆是研究直线的延续和学习圆锥曲线的基础.圆既是轴对称图，又是中心对称图形，其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系，对于解析几何中圆的某些问题，若能活用题中几何要素的关系，解题就会变得简单而快捷，圆涉及的知识点主要有：圆中切割线定理、圆幂定理、垂径定理.

活用圆的几何性质可以快速解决圆类问题，降低运算量，培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力.解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何活用几何关系速解圆类问题.

【例题】已知直线:l y x b =+和圆2

2

:20C x y y ++=相交于不同两点A ，B ，点p 在直线l 上，且满足 2PA PB ⋅=，当b 变化时，求p 的轨迹．

图1

【常规解法】设点(),P m n ，

则:l y x b =+

的参数方程为() (1)x m t y n ⎧

=+⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

为参数 将（1）代入2

2

20x y y ++=，得

222211

2022m t n t n ++++++=，

22220, (2)t t m n n +++++=

显然0∆>．

设方程（2）的两根为12t t ，，由 2PA PB ⋅=， 依题意点p 在AB 或BA 的延长线上，

∴ 2PA PB PA PB ⋅=⋅=，即122t t ⋅= ∴2222m n n ++=．

即2

2

22x y y ++=为p 的轨迹方程，表示以()0,-1为圆心，

【点评】由 2PA PB ⋅=联想到直线的参数方程中t 的几何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中的地位来说对更多高三学生来说亦属不易，还有运算量相比较还是比较大的，时间成本的控制不如方法一．需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成 【利用圆的几何性质解法】圆22

:20C x y y ++=的圆心(0,1),1C r -=．由切割线定理，

如图1所示，有2

21PT

PA PB =⋅=>，

故点p 在圆C ∴点p 的轨迹方程为2

2

(1)3x y ++=．

【点评】显然直线AB 是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制．

通过本节微专题学习，发现求解圆的问题时，若能充分揭示问题中的几何关系，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍.切割线定理、圆幂定理、垂径定理是圆的对称性的反映，它们在圆中的应用程度非常之广泛.

【针对训练】（2013年福建高考文科试题）如图，抛物线2

:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|OC|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M 、N ．

（I ）若点C 的纵坐标为2，求|MN|；

（II ）若A F

AM AN ⋅２

＝，求圆C 的半径．

【分析】本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识．根据条件圆心C 在抛物线上且过原点，解法如下：

（Ⅰ）抛物线2

:4E y x =的准线l 的方程为=-1x ，由点C 的纵坐标为2，得点C 坐标

()1,2，所以点C 到准线l 的距离d =2，又|CO |=5．所以2MN

==．

（Ⅱ）【常规解法】设2

004

y C y （，）

，则圆C 的方程为：2

2422

0000()416y y x y y y ⎛⎫-+-=

+ ⎪⎝

⎭，即22200202y x x y y y -+-=，由1x =-， 2

2

0021+02

y y y y -+=

设()()121,1y y --M 、N ，得到2

220002012=44(1)240

2

1

2y y y y y y ∆-+=->=+⎧⎪⎨⎪⎩

由A F

AM AN ⋅２

＝，得124y y =，

2

00142y y ∴+=⇒=0∆>

圆心C

的坐标为3(2C

或3

(,2C

，从而得2

33,4CO CO ==，即圆C 的半

径为r =

【利用圆的几何性质解法】抓住圆的几何特征结合垂径定理，从圆幂定理为切入点有下列简洁解法：设圆C 与x 轴交于不同的两点O 、G ．由圆幂定理知：|AO|·|AG|＝|AM|·|AN|．由条件F ()1,0，A F

AM AN ⋅２

＝，即４＝|AM |·|AN |＝|AO |·|AG |，由条件设

2

004

y C y （，）

，则2200022y y G AG （）,＝＋１＝４

，2006y y ∴∴＝，＝

∴3(2C

或3

(,2C

，r ==

【点评】（I ）涉及抛物线与圆的位置关系问题，关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原点这些

几何特征，结合垂径定理和根与系数关系解决问题．（II ）根据条件抓住几何特征通过圆幂定理解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的几何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果．

二、解析几何中巧用三角形相似简化计算

解析几何是建立在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解决几何问题的一门学科，它开创了数、形结合研究方法.解决解析几何问题的最大难度是如何把握好解题的总体思想策略.但在平时的解析几何教学中，师生往往偏重于相关量的数量关系的研究，摒弃了最基本，最直接的解题思路，不重视平面几何知识,但解析几何的“魂”还是“几何”特征.

在现代中学教学中，解解析几何时，可以灵活应用平面几何知识，找到简捷的解题途径，简化解析几何的解题过程，降低运算量.运用平面几何知识，能培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力.解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何利用平面几何的三角形相似知识巧妙解决解析几何的问题.

【例题】如图：椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点为12F F ，，上顶点为A ，离心率

1

2

e =

，点P 为第一象限内椭圆上的一个点，且112

:2:1,PF A PF F S S = 则直线1PF 的斜率

为

.