§6.2 分式线性映射

cz d
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
OPOPr2
r
则称 P 与 P 关于
O P
P
圆周 C 对称。
如图，从 P 作圆周 C 的切线 P T ，
由 T 作 O P 的垂线 T P 与 O P 交于 P ，
角的。
综上可得下面定理。 定理6.6 分式线性映射在扩充复平面上是 一一对应的保角映射。
2、保圆性 在扩充复平面上直线可看作是半径无穷
大的圆周，以下提到圆周时均包括直线。
z为平移变换
ei z 为旋转变换 kz 为将模放大 k 倍
这三个映射在扩充复平面将圆周映成圆周，
该性质称为保圆性。
下面讨论反演变换
规定其等于它们在映射 1 下所映成的 z
通过原点 0 的两条像曲线的夹角。
下面以 z为例说明 z处的
保角性：
令 1, 1
z
则 z成为
1
该映射在 0 处解析，且导数不为零，
因此，在 0 处，即 z在
z处是保角的。 同理其它几个映射在 z处也是保角的。 类似地可以证明反演变换在 z 0 处是保
§6.2 分式线性映射
一、分式线性映射
分式线性映射定义为
az b
cz d
a 其中 c
b 0
d
a 、b 、 c 、 d 均为常数。
条件 adbc0是为了使
d
dz
ad bc (czd)2
0
因此分式线性映射是保角映射。
对于分式线性映射 a z b
cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c 0 时
则 P 与 P 关 于圆周 C 对称。
规定：无穷远点
CT
关于圆周的对称点
r
为圆心 O 。
O P
P
若设
z rei ，则 1
1 z
1 ei r
，
因此 1 z 1，则 z 与 1是关于单位圆周
z 1 的对称点（如图）。 y
z
又 1 ，
C
则 与 1 是关于实
1
轴的对称点（如图）。
O
x
这样可得出反演变换 1 的几何意义。 z
z d 映射为
c
z 映射为 a
当c 0 时
c
z 映射为
容易求出该映射的逆映射 z d b c a
d b
由于
adbc0
c a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性
映射, 且为扩充复平面上的一一映射。
容易验证分式线性映射的复合仍是分式 线性映射。
二、分式线性映射的分解
当 c 0 时， a z b 可化为：
由 z , A rgA rgz
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转 。
（3） kz (k 0 )
则 k z , A rg A rg k z A rgz
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍。
（4） 1 （称为反演变换） z
该映射可分解为：
1
1, z
1
为了讨论反演变换的几何意义，下面
1
是否具有保圆性。
z
z 平面上的圆方程为：
A (x2y2) B x C y D 0
令 Az0x时为iy直、线 uiv
则 1 变形为：u iv 1
z
x iy
整理得： x
u2
u
v2
、
y
v u2 v2
代入圆方程为：
u2A v2u2B uv2u2C vv2D 0 即： D (u 2 v2) B u C vA 0