5、复合函数微分法与隐函数微分法

v t
w t
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理：若函数u=u(x,y)，v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x
及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连
续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)处对x
及y的偏导数都存在，且有：
z
z x
z u
u x
证明略
推广： 设z=f(u,v,w) ,u=u(t)，v=v(t)，w=w(t) ， 则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为 z
全
导
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
数
公 式
dz z du z dv dt u dt v dt
u t
例1：设z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求 z 和 z x y
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v
eu y sin v e cos v
z
u
v
exy y sin(x y) e cos(x y) x y x y
z z u z v y u y v y
确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求
dy d 2 y dx x0 , dx2 x0
问题：求方程的 dy 有多少种方法？求d 2 y有什么方法？
dx
dx2
构造以x,y为变量的二元函数
F(x,y)=siny+ex-xy-1
(1) Fx ex y, Fy cos y x 连续 (2) F(0, 0) 0
两边对x求偏导数
F F dy 0 x y dx
在(x0,y0)的某邻域内 Fy 0 dy Fx dx Fy
定理1：设函数F(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内满足
(1)具有连续的偏导数； (2) F(x0,y0)=0
(3) Fy(x0,y0) 0 (Fx(x0,y0) 0)
分析：函数z的两个自变量为x,y
法2：利用隐函数求导
y是常数
2x 2z z 4 z 0 z x
x x
x 2 z
再对x求偏导数
2
2
z x
z x
x
z x
4
x
z x
0
2z x2
1
z x
2
2z
2 z2 x2 2 z3
小结：隐函数求导方法
(1)运用公式
dy Fx dx Fy
z v
v x
f1 u1
f2 v1
u
v
z y
z u
u y
z v
v y
f1 u2
f2 v2
x
yx y
(1)因变量z有两个自变量x,y
(2)在对应法则f下z有两个中间变量u,v
(3)两个中间变量u,v都分别有两个自变量x,y
公式记忆法： 总原则 “联线相乘，分线相加”
z
z
uv
u
v
tt
x yx y
eu sin v x eu cos v
eu xsin v cosv exy xsin(x y) cos(x y)
例2：设z=uv+sint，u=et，v=cost，求全导数 dz dt
dz z du z dv z dt u dt v dt t
vet u(sin t) cos t cos tet et (sin t) cos t
(3) Fy (0, 0) 1 0 所以，在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数
y=f(x)，且
dy Fx ex y
1
dx x0
Fy x0
cos y x x0
d2y dx2
x0
d dx
ex cos
y yx
符号已说明y是x的函数 运用复合函数求导数
x0, y0, y1
ex ycos y x ex y sin y y 1
u x
2xyfu
2xyf1
z f1 u, v,u x2 y, v y2
2z x2
2y
f1
x
f1 u
u x
2y
f1
xf11
2 yx
2z
xy
2x
f1
y
f1 u
u y
f1 v
dv dy
2x
f1 y
f11 x2 f12 2 y
例4：设 z
f
y x
,
f
(u) 为可微函数，证明：
z
y
0，所确定的隐函数
z z xy
x y
证明：设 u x z , v y z
y
x
练习:P220 7,8,9,10,11
F1
1
1 y
z x
F2
z x
x x2
z
0
z yzF2 x2 yF1 x x2F1 xyF2
F1
z y
y y2
z
F2
1
1 x
z y
f1 1
z x
f2
yz
xy
z x
z
f1
yzf
2
x
1
f1
xyf
2
例3：证z 明z(方x, 程y) 满F 足x ：zy ,
x
y
z x
z y z
0，所确定的隐函数
z xy
x y
证明：设 u x z , v y z
y
x
请分析证明过程是否有错。 若有错，错在哪，如何纠正。
z x
定理：若函数u=u(t)，v=v(t)都在点t可导，函数z=f(合函数z=f(u(t),v(t))
在点t可导，且有链式法则： 显函数 z
dz z du z dv dt u dt v dt
uv
(1)z只有一个自变量
tt
(2)z有两个中间变量
(3)两个中间变量u,v都只一个自变量
cos y x2
x0
y0
y1
3
cos y y ex y xy 0
法2：利用隐函数求导
y ex y
1
x0 cos y x
(0,0)
2、定理2：若函数F(x,y,z)满足：
(1)在点P0(x0,y0,z0)的某邻域内有连续偏导数
(2) F(x0,y0,z0)=0
(3) Fz(x0,y0,z0) 0
(3)求z 有多少种方法 x
法1：运用定理
构造三元函数F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z 先求出 z x
z Fx 2x x
两边对x求偏导数
x Fz 2z 4 2 z
x
z x
x
2
x
z
2
z
x
2 z2
z x
2 z2 2 z3
x2
2z 例1：设x2+y2+z2-4z=0，求 x2
都具有可微条件时，由公式记忆法有：
x
z f f v x x v x
z f v y v y
f1
f
2
1
f
2
2
v xy
注意：区别 z 和 f
x x
z
(1)因变量z有两个自变量x,y，求
x
时y为常数
f
(2)函数z在对应法则f下有两个变量x,v，求 x 时v为常数
小结：三种多元复合显函数求偏导的方法
1、定理1：设函数F(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内满足
(1)具有连续的偏导数； 问题：加 线的函数所表
(2) F(x0,y0)=0
示的对应法则一样吗？
(3) Fy(x0,y0) 0 (Fx(x0,y0) 0)
则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值 连续函数y=f(x)，满足条件y0=f(x0)，并有连续导数
(1)几条路线，就是几项的和
(2)对于每一项，路线上有几步，就是几步的乘积
(3)对于每一步，从前向后有分支，说明是多元函数， 前面变量就对后面变量求偏导；没分支，说明是 一元函数，前面变量就对后面变量求导数。
3、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元
函数的情形
z=f
函数 z f (x,v),v (x, y)
则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0)的某邻域内可唯一确定一 个单值连续函数z=f(x,y)，满足条件z0=f(x0,y0)， 并有连续导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
2z 例1：设x2+y2+z2-4z=0，求 x2 分析:(1)三元方程求高阶导数
(2)要先求出 z x
则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值 连续函数y=f(x)，满足条件y0=f(x0)，并有连续导数
dy Fx dx Fy
例1：验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)的某邻域可 确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求
dy , d 2 y
dx x0
dx2 x0
例1：验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)的某邻域可
F1
1
1 y
z x
F2
z x x
x2
z
z x
x2 yF1 yzF2 x2 y x2F1 xyF2
z y
F1
z y
y y2
z
F2
1
1 x
z y
z y
xy2F2 xy2 xyF1
xzF1 y2F2
例3：证z 明z(方x, 程y) 满F 足x ：zy
, x
y z x
(x=f(y)) dy Fx （隐函数求导公式）
dx Fy
dy dx
----一元函数的求导
Fx , Fy ----二元函数的偏导数
故使用公式时要注意确定一元函数的自变量和因变量，
并构造二元函数。
推导：设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则
F(x, f (x)) F(x, y) 0
或 z Fx , z Fy x Fz y Fz
(2)利用复合函数求导法则直接计算
例2（综合题）：设z=f(x+y+z , xyz)，求 z x
分析式子构成，复合抽象显函数，z是x,y的函数， x+y+z , xyz为中间变量
z有双重身份，既是因变量又是自变量
利用复合函数求导法则直接计算
z x
复合函数微分法与隐函数微分法
注意：本节的知识点容易让人产生混乱
一、复合函数微分法
复习： 一元复合函数 y f (u),u (x)
求导法则 dy dy du f (u) u dx du dx
微分法则 dy f (u)du f (u)(x)dx
要求：熟练掌握多元复合显函数求导的链式法则
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形
x z y z 0
z
x y
z df u , z df u x du x y du y
u xy
x z y z x df u y df u x y du x du y
x
df du
y x2
y
df du
1 x
0
练习:P220 1,2,3,4,5,6
二、隐函数的微分法 目的：掌握由方程所确定的隐函数的导数的求法 研究内容： (1)方程在一定条件下能确定什么样的函数 (2)在方程能确定隐函数时，研究求导方法
0
z xzF1 xy2F2 y xyF1 y2F2
x yzF2 x2 yF1 y xzF1 xy2F2 yzF2 x2 yF1 xzF1 xy2F2 z xy
x2F1 xyF2
x2F1 xyF2
xF1 yF2
选择=结果
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z uv t tt
et cos t sin t cos t
小结：使用复合函数求导的链式法则，要 “弄清结构，选对公式”
例3：设z=f(x2y，y2)，求 z , 2 z , 2 z
y x2 xy
令u=x2y，v=y2
z
u
v
z y
f u
u y
f v
dv dy
x2
f1
2
yf
2
xy
y
z x
f u