随机变量及其分布总结课件
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随机变量函数的分布课件
解
X ~ N 0,1
fX x
1
x2
e 2,
x ,
2
第一步 先求Y的分布函数.
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y)
① 当 y 0 时，FY y 0,
② 当 y 0 时，FY ( y) P(Y y) P( y X y )
1
y x2
2
y x2
e 2 dx
fY
(
y
)
f
X
0,
[h(
y)]
|
h(
y
)
|,
y
其他,
,
其中 min(g(), g()), max(g(), g()),
h(y)是g(x)的反函数.
例4 设随机变量 X ~ N 0,1 , 试证明X的线性函数
Y aX b, a 0 也服从正态分布．
解 X的概率密度为
fX (x)
1
( x μ)2
P 0.3 0.3 0.4
二、连续型随机变量函数的分布
1. 分布函数法 设连续型随机变量X的分布函数为FX ( x), Y g( x) 的概率分布？
方法：根据X的分布先求随机变量Y 的分布函数，
FY ( y) P(Y y) P{g( X ) y},
利用不等式等价变形，将事件“g( X ) y”转化为X的 不等式，然后通过分布函数求Y = g(X)的概率密度.
8
0 y 1 2, 2
所以Y的概率密度
y1
fY ( y)
8
,
0,
1 y 5, 其他.
例2 设随机变量X具有概率密度
f
X
(
x)
x 2
,
第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
《随机变量及分布》课件
应用
广泛应用于统计学和实证研究中的抽 样分布及模拟实验。
总结
• 随机变量与分布的概念 • 离散型随机变量及其分布 • 连续型随机变量及其分布 • 常见离散型与连续型随机变量分布 • 中心极限定理的应用
次数的概率分布。
3
几何分布
用于描述在成功与失败交替出现的是/
超几何分布
4
非试验中成功首次出现的概率分布。
用来描述无放回抽样实验中成功次数 的概率分布。
常见的连续型随机变量分布
均匀分布
在某个区间内取值的概率密度函数恒定的随 机变量。
指数分布
描述等待时间的概率分布。
正态分布
钟形曲线，广泛应用于自然科学和社会科学 中。
样本空间与事件
样本空间是所有可能的结果的集合，事件是样 本空间的子集。
离散型随机变量
概率分布函数
描述离散型随机变量的取值与可能取到的值与其概率乘积的 和。
概率质量函数
用来描述离散型随机变量分布的函数。
方差
测量随机变量离其期望值的平均距离。
连续型随机变量
概率密度函数
《随机变量及分布》PPT 课件
欢迎来到《随机变量及分布》PPT课件。本课程将带你深入了解随机变量的概 念、离散型和连续型随机变量的分布以及中心极限定理的应用。
随机变量
什么是随机变量
对随机试验结果的数值化描述，并依赖于试验 的具体情况。
离散型随机变量
取有限个或可数个数值的随机变量。
连续型随机变量
取连续数值的随机变量。
描述连续型随机变量在某个区间内取值的概率 密度。
累积分布函数
描述连续型随机变量在某个数值前取值的概率。
期望
随机变量每个可能取到的值与其概率密度乘积 的积分。
《随机变量及其分布总结》ppt课件
（2）概率计算：
若X ~ B(n, p)，
则P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1, 2,L
,n
（3）期望与方差：
若X ~ B(n, p)，则E( X ) np
若X ~ B(n, p)，则D( X ) np(1 p)
13
4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P( A) C（32 0.4)2 (0.6) 36/125
2、求至少抽出两个2号球的概率
P(B) C（32 0.4)2 (0.6) C33(0.4)3(0.6)0 44 /125
17
变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
1
2
3
设A、B为两个事件 公式：
1、古典概型
P( A)
A事件包含的试验结果数 总试验结果数
2、几何概型
P( A)
A事件的区域长度（面积、体积） 试验全部结果的区域长度（面积、体积）
4
5
6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
… xi
… xn
P
p1
p2
… pi
两个球. 1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）
C13C31 A120
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(B A) P(AB) 1 P( A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
第2章 随机变量及其分布 ppt课件
2.10
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布列．
解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，…，6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R = (，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={；a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布列．
解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，…，6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R = (，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={；a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
随机变量的函数的分布ppt课件
布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解 由题意
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
随机变量函数及其分布.pptx
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
( y)
FY'
(
y)
1 ,
2y
y0
0, 其他
第9页/共57页
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
解 X的密度函数为
f x 1 ex2 /2
Px
(
x)
x3e x2 0, x
,x 0
0
求随机变量 Y X 2和Y 2x 3 的概率密度
解：先求随机变量 Y X 2 的分布函数
FY (y) PY y P x2 y P y x y F x( y) F x( y)
p p y
y
(x)dx (x)dx
- x
- x
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (1211) Φ (1011)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20
p 0.16 0.16 0.68
第18页/共57页
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例 设随机变量x的概率密度为 求随机变量Y=2X+8的概率密度
P
x
(
x)
x / 8,0 x 4 0, 其他情况
解：第一先求Y=2X+8的分布函数 FY (y)
F p (y) Y
pY y
p2x 8 y
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
随机变量及其分布PPT课件
0
F
(
x)
Ax2
1
x0 0 x1 x 1
求常数A及其概率密度
函数 f (x)。
例2. 设连续型随机变量X的概率密度函数为
f (x) Cex2 x ,－∞ < x < +∞，
求常数C。
34
第34页/共67页
注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概 率密度函数可以有很多个，但它们只在有限个 点或可数个点上取值不同。
对于随机试验而言，仅仅知道可能出现的 随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的 可能性有多大。
对于随机变量X来说，就是X取什么值不 重要，重要的是X取这些值的概率有多大。
4
第4页/共67页
定义：设X是一个随机变量， x R 是一个实
数，函数 F(x) P(X x) 就称为随机变量X
的概率累积分布函数(cdf: cumulative
,n
求正数 a 的值。
例2. 设离散型随机变量X的分布列
P( X k) C pk , k 1, 2, k!
其中， 0 p 1 为已知，求常数C。
12
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离散型随机变量X的分布函数为
F(x) P(X x) pk xk x
例3. 求随机变量X的分布函数。
X的分布列为 X 0 1 2 3
pap设随机变量x只可能取0和1两个数值它的分布律为第15页共67页162二项分布binomialdistribution若随机变量x的分布律为其中则称x服从参数为np的二项分布记为二项分布随机变量x对应n重贝努里试验中成功的次数
§2.1 随机变量
从概率的定义我们知道，概率是自变量为 集合的特殊函数；为了能用变量、函数及微积 分等工具来研究事件发生的概率，需要引入概 率论中的重要概念――随机变量。
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
《随机变量及其分布》PPT课件
个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
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1
2
3
设A、B为两个事件 公式：
1、古典概型
P( A)
?
A事件包含的试验结果数 总试验结果数
2、几何概型
P ( A) ? A事件的区域长度（面积、体积） 试验全部结果的区域长度（面积、体积）
4
5
6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量 X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn
P ( A) ? C（32 0.4)2 (0.6) ? 36/125
2、求至少抽出两个2号球的概率
P (B) ? C（32 0.4)2 (0.6) ? C33 (0.4)3(0.6) 0 ? 44 /125
17
变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_9_73____.
（注意：面积等同于概率）
14
15
应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P(X
?
2)
?
C42C61 C130
21
22
…
k …n
C C k n? k M N?M CNn
…
C C n 0 M N? M CNn
（2）期望与方差： 无特定公式 ( 需列出分布列，在利用公式求 )
12
3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了 n次）
（在抽取物件时，要有放回抽取）
（2）概率计算：
若 X ~ B ( n , p )，
若X服从两点分布，则 E( X) ? p
若X服从两点分布，则 D( X ) ? p(1 ? p)
11
2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中， 不放回的 从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
X0
1…
P
C C 0 n M N?M CNn
C C 1 n?1 M N? M CNn
8
8、期望与方差的性质
E(aX ? b) ? aE ( X) ? b
E (aX ? bY ) ? aE ( X ) ? bE (Y)
D(aX ? b) ? a 2D?X ?
9
10
1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有 0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X0 1 P 1-p p
（2）期望与方差：
? P(a ? x ? b) ? p(x)dx ? F (b) ? F (a) a
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,? 2) 。（EX= m ， DX=? 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__;
EX ? 4 DX ? 16
15
18
变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号 2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为 1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
X
0
1
2
P 2 / 3 4/15 1/15
则称 D(X) ? (x1 ? E(X))2 p1 ? ? ? (xi ? E(X))2 pi ? ? ? (xn ? E(X))2 pn
n
?? (xi ? E(X ))2 pi 为随机变量 X的方差。 i?1
称 ? ( X) ? D(X) 为随机变量 X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量 偏离于均值 的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
则 P (X
?
k) ?
C
k n
pk
(1
?
p)n?k , k
?
0,1, 2, L
,n
（3）期望与方差：
若 X ~ B(n, p )，则 E ( X ) ? np
若 X ~ B(n, p )，则 D ( X ) ? np (1 ? p)
13
4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P
p1
p2
… pi
… pn
n
? 则称 E(X) ? x1p1 ? x2 p2 ?? ? xi pi ?? ? xn pn ? xi pi i?1
它反映了离散型随机变量取值的 平均水平。
7
7、方差
一般地，若离散型随机变量 X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
两个球. 1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）?
C13C31 A120
?
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P (B A) ? P ( AB) ? 1 P( A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6
P 1/15 4/15 1/ 3 4/15 1/15
20
解 因为X~N (110,202),
所以μ=110,σ=20.
P(110-20<X≤110+20)=0.682 7. 所以,X>130的概率为 1 (1? 0.682 7) ? 0.158 7.
2 所以,X≥90的概率为0.682 7+0.158 7=0.841 4.
∴及格的人数为54×0.841 4≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人).
EX ? 0.4
19
正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N (110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤ X≤150), 而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
?
0.3
何 分
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P(X
?
2）?
P(X
?
2) ?
P(X
?
3) ?
C42C61 C130
?
C43 C130
?
1 3
16
变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率
2
3
设A、B为两个事件 公式：
1、古典概型
P( A)
?
A事件包含的试验结果数 总试验结果数
2、几何概型
P ( A) ? A事件的区域长度（面积、体积） 试验全部结果的区域长度（面积、体积）
4
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6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量 X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn
P ( A) ? C（32 0.4)2 (0.6) ? 36/125
2、求至少抽出两个2号球的概率
P (B) ? C（32 0.4)2 (0.6) ? C33 (0.4)3(0.6) 0 ? 44 /125
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变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_9_73____.
（注意：面积等同于概率）
14
15
应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P(X
?
2)
?
C42C61 C130
21
22
…
k …n
C C k n? k M N?M CNn
…
C C n 0 M N? M CNn
（2）期望与方差： 无特定公式 ( 需列出分布列，在利用公式求 )
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3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了 n次）
（在抽取物件时，要有放回抽取）
（2）概率计算：
若 X ~ B ( n , p )，
若X服从两点分布，则 E( X) ? p
若X服从两点分布，则 D( X ) ? p(1 ? p)
11
2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中， 不放回的 从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
X0
1…
P
C C 0 n M N?M CNn
C C 1 n?1 M N? M CNn
8
8、期望与方差的性质
E(aX ? b) ? aE ( X) ? b
E (aX ? bY ) ? aE ( X ) ? bE (Y)
D(aX ? b) ? a 2D?X ?
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1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有 0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X0 1 P 1-p p
（2）期望与方差：
? P(a ? x ? b) ? p(x)dx ? F (b) ? F (a) a
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,? 2) 。（EX= m ， DX=? 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__;
EX ? 4 DX ? 16
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变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号 2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为 1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
X
0
1
2
P 2 / 3 4/15 1/15
则称 D(X) ? (x1 ? E(X))2 p1 ? ? ? (xi ? E(X))2 pi ? ? ? (xn ? E(X))2 pn
n
?? (xi ? E(X ))2 pi 为随机变量 X的方差。 i?1
称 ? ( X) ? D(X) 为随机变量 X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量 偏离于均值 的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
则 P (X
?
k) ?
C
k n
pk
(1
?
p)n?k , k
?
0,1, 2, L
,n
（3）期望与方差：
若 X ~ B(n, p )，则 E ( X ) ? np
若 X ~ B(n, p )，则 D ( X ) ? np (1 ? p)
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4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P
p1
p2
… pi
… pn
n
? 则称 E(X) ? x1p1 ? x2 p2 ?? ? xi pi ?? ? xn pn ? xi pi i?1
它反映了离散型随机变量取值的 平均水平。
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7、方差
一般地，若离散型随机变量 X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
两个球. 1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）?
C13C31 A120
?
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P (B A) ? P ( AB) ? 1 P( A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6
P 1/15 4/15 1/ 3 4/15 1/15
20
解 因为X~N (110,202),
所以μ=110,σ=20.
P(110-20<X≤110+20)=0.682 7. 所以,X>130的概率为 1 (1? 0.682 7) ? 0.158 7.
2 所以,X≥90的概率为0.682 7+0.158 7=0.841 4.
∴及格的人数为54×0.841 4≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人).
EX ? 0.4
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正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N (110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤ X≤150), 而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
?
0.3
何 分
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P(X
?
2）?
P(X
?
2) ?
P(X
?
3) ?
C42C61 C130
?
C43 C130
?
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变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率