(完整版)第五章滞止参数与气动函数
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气体动力学函数
⋅
γ + 1
RT t
⋅ √
2γ
γ + 1
RT t ⋅ Aq (λ)
或写为
pt
ṁ = K
（6）
Aq (λ)
√T t
γ+1
式中： K
=
√
γ
R
(
2
γ+1
γ−1
)
，对于空气，取 γ
时， K
= 1.4
。
= 0.0404
式（6）在气体动力学中非常有用。因为很多问题都近似满足绝能等熵流动，总温和总压在流动过程中保持不变，根据流量连续，在任意截面处有
cr V cr )
只与速度系
数有关，并定义它为流量函数
ρV
（4）
q (λ) =
ρ cr V cr
是气体的密流，表示单位面积的流量，所以流量函数的物理意义是气体的密流与临界密流之比。
下面来推导流量函数的关系式。
1
ρV
ρ/ρ t
ρ
=
λ =
ρ cr V cr
ρ cr
γ−1
(1 −Biblioteka γ+12γ−1
λ )
3 冲量函数
流体力学使用欧拉法，所以这里所说的冲量和理论力学中定义的冲量有一些不同。对于如图4所示的一维变截面管流，以虚线所示的范围为控制体，忽略重力和黏性影响，
则该控制体只受表面力的作用，可以列出动量方程
图4 一维变截面管道流动受力分析
F + p 1 A 1 − p 2 A 2 = ṁV 2 − ṁV 1
则对应着减速。
1
( )
0.8
()
0.6
0.4
0.2
滞止参数和界状态参一
? 按一定的过程将气流速度阻滞到零，此时 气流的参数称为滞止参数，又叫总参数。
为了描述流场中一点的状态，可以给出 该点气体压力、温度和速度等参数的数值。 但是，在工程应用上，往往是给出该点气流 的滞止参数 (滞止温度、滞止压力等 )和数的 数值。这是因为运用滞止参数分析或计算问 题比较方便，同时滞止参数也比较容易测量。 所以滞止参数得到了极其广泛的应用。
1 RT1?
? ??1 ? ?
(
1
p1?
)
k ?1 k
? ? ?
?
?
w?
c22 2
? p2 ?
（4）
? 上式右边两项分别是气体对外界作的机械 功和气体膨胀后所具有的动能。它们是由 于气体从滞止后的压力 膨胀到压力 p1?作
功的P2 结果。当T1* ? 常数 ，即气流的总能量相 同，如果膨胀同样压力P2 则总压p1? 越大，
和T *表示。
? 根据总焓和总温的定义 (参看图2—3—6)，
即 把 气 流 由 速 度c1 ? c(i1 ? i) 绝 能 地 滞 止 到 零 (c2 ? 0)，此时所对应的焓 (i就2 ) 是总焓，
即
i* ? i ? c2 2
或
CPT *
?
CPT
?
c2 2
? 2．总温的物理意义
?
由于气体的总焓和总温之间只差一个作为倍数的
T
才有显著的差别。
? 3．气体在流动中的总温变化规律
?
为了便于分析总温 (总焓)的变化规律，首先
引用总焓的概念， (i* ? i ? c2 ) 将能量 2
方程式加以简化 ,根据(2-3-15) 式
?
q外
?
w
?
(i2
为了描述流场中一点的状态，可以给出 该点气体压力、温度和速度等参数的数值。 但是，在工程应用上，往往是给出该点气流 的滞止参数 (滞止温度、滞止压力等 )和数的 数值。这是因为运用滞止参数分析或计算问 题比较方便，同时滞止参数也比较容易测量。 所以滞止参数得到了极其广泛的应用。
1 RT1?
? ??1 ? ?
(
1
p1?
)
k ?1 k
? ? ?
?
?
w?
c22 2
? p2 ?
（4）
? 上式右边两项分别是气体对外界作的机械 功和气体膨胀后所具有的动能。它们是由 于气体从滞止后的压力 膨胀到压力 p1?作
功的P2 结果。当T1* ? 常数 ，即气流的总能量相 同，如果膨胀同样压力P2 则总压p1? 越大，
和T *表示。
? 根据总焓和总温的定义 (参看图2—3—6)，
即 把 气 流 由 速 度c1 ? c(i1 ? i) 绝 能 地 滞 止 到 零 (c2 ? 0)，此时所对应的焓 (i就2 ) 是总焓，
即
i* ? i ? c2 2
或
CPT *
?
CPT
?
c2 2
? 2．总温的物理意义
?
由于气体的总焓和总温之间只差一个作为倍数的
T
才有显著的差别。
? 3．气体在流动中的总温变化规律
?
为了便于分析总温 (总焓)的变化规律，首先
引用总焓的概念， (i* ? i ? c2 ) 将能量 2
方程式加以简化 ,根据(2-3-15) 式
?
q外
?
w
?
(i2
气体动力学函数及应用
( )
*
T P
.
*
( )
• 当k=1.4时，函数 ( )、 ( ) 和 ( )随 数的 变化曲线如图2—3—9所示。从图中可看 出，在任一数下，都有一个确定 ( )数值相对应。当 =0 ( ) 、 ( ) 、 的， ( ) = ( ) =1 ； 数增大时，三个函数 时， ( ) = ( ) = ( ) =0 都减小；当 = 最大时， 不同 数下，这三个函数的大小还与气 体的性质有关。对于空气来说，k=1.4， ( )=0．8333， ( ) =0．5828 当 =1时， ( ) =0．6340。同理，根据静参数与总参 ， 数之比的数值，也可以查出相对应 的 数和M数大小。
2 2 M 2 k 1 k 1 2 1 k 1
• 代入上列诸式，化成数的函数，并分别 ( ) ， ( ) 来表示； ( ) ， 以，
• 可得
T k 1 2 ( ) * 1 k 1 T
p k 1 2 ( ) * (1 ) k 1 p
在 =0和 最大 q ( ) =1，达到最大。这说明， =1 时， 当 =1时，单位面积上通过的流量最 q ( ) 的数值可由气动函数表中查到 大。 （见附录）。
k 1 q ( ) =0时 时， k 1
• 应用相对密度 q( ) ，可以直接根据总参数计 算流量。因为
dm dm C dt 和临C临 dt A A临
•
任一截面单位面积上的流量与临界截面 单位面积流量之比，也就是任一截面的密 流与临界截面密流之比，称为相对密流。 又叫做无量纲密流。 即 A临 C 临C临 A
• 因为临界截面是流管中的最小截面积， 所以临界截面的密度最大，也就是说， 临界截面的单位面积流量最大。相对 密流一般小于 1。它的大小，可用来说 明任一截面的密流与最大密流接近的 程度，即说明该截面的流通能力的大 小。相对密流越接近 1，说明截面流通 能力越大。临界截面的相对密流等于1。
滞止参数和临界状态参一
M
C2 kRT
就可推出气流的M数，静温T和
速度V来。
• 在研究发动机工作特性或飞行原理时，必
然联系到飞行条件，而应用滞止参数，可
以使飞行条件简化。—般说明飞行条件的
是飞行高度和飞行速度，实际上是给出了
三个参数；ph、TH、c (或者M 数)。由于
•
TH
TH (1
k
2
1
M
2 H
)
•
PH
而总压则要求气流等熵绝能21三滞止参数的应用气流的参数既然是按一定的过程将气流速度滞止到零时的气流参数应用滞止参数来分析或计算问题动能就不会作为单独一项出现从而也就不需要单独地考虑动能的变化这将使分析或计算问题较为简便
滞止参数和临界状态参（一）
介绍滞止参数的定义 及其应用
滞止参数的定义 滞止参数的应用
• 即气体作绝能流动时，不论是否考虑气体
粘性，气流的总温和总焓都保持不变。这
是因为粘性虽然会引起气体的机械能损失，
但是由机械能损失产生的热仍然加给了气
体，该气体的总能量依然保持不变的缘故。
• 如果气流与外界只有热能交换而无机械功交 换( 0) 时，(2-3-9)式简化为
q外 C p (T2 T1 )
• 固总压损失5%，即
P2 0.95 P1
• 故 P2 0.95 P1 0.95 1.545 10 5 1.468 10 5帕 • 根据(2—3—11)式
和T *表示。
• 根据总焓和总温的定义(参看图2—3—6)，
即 把 气 流 由 速 度c1 c(i1 i) 绝 能 地 滞 止 到 零 (c2 0)，此时所对应的焓 (i就2) 是总焓，
即
§8-2滞止参数、声速、马赫数16015
u M c 1.5 299.33 449(m/s)
三、气体动力学函数
气体动力学函数：我们在应 用气体动力学的知识去分 析、研究、计算有关工程 上的问题时，在一些公式 中其速度系数λ往往成几 种常见的组合形式出现， 叫做气体动力学函数。
每个函数用一个符号代表。
把各函数随速度系数变化的 数值计算出来列成数值表， 运用这种函数及其数值表 就可将公式大大简化，而 且使计算工作变得十分简 便。
（c） t3=t+dt
u·dt u·dt
p+dp
ρ+duρ △M c
(c-u)·t (c-u)·dt
二、声速、马赫数和速度系数
2
滞 止
式在中绝：热无摩擦的气流中，各段 面i的能0反cc滞全量0映止部。了k参能断kRR气T数量面T0流是，滞包kp不止kp0含p则变参00热反的数能映，可在机根T0内、械据
一、滞止参数
1 () T 1 k 1 2
T0
k 1
三种 常用 的气 体动
()
p
(1
k
1
2
)
k k 1
p0 2 k 1
力学
函数
4 ()
(1
k
1
2
)
1 k 1
0
k 1
由绝热过程方程式有：
p0 p
0k k
代将将入式Ccp2 pkk0k
pR 1 (1
代k 入1代MT入02)kkTk1+得2vC2：p 得：
二、声速、马赫数和速度系数
【例8－2】气流的速度为 800m/s，温度为530℃， 等熵指数k=1.25，气体 常数R=322.8J/(kg·K)。 试计算当地音速与马赫 数。
三、气体动力学函数
气体动力学函数：我们在应 用气体动力学的知识去分 析、研究、计算有关工程 上的问题时，在一些公式 中其速度系数λ往往成几 种常见的组合形式出现， 叫做气体动力学函数。
每个函数用一个符号代表。
把各函数随速度系数变化的 数值计算出来列成数值表， 运用这种函数及其数值表 就可将公式大大简化，而 且使计算工作变得十分简 便。
（c） t3=t+dt
u·dt u·dt
p+dp
ρ+duρ △M c
(c-u)·t (c-u)·dt
二、声速、马赫数和速度系数
2
滞 止
式在中绝：热无摩擦的气流中，各段 面i的能0反cc滞全量0映止部。了k参能断kRR气T数量面T0流是，滞包kp不止kp0含p则变参00热反的数能映，可在机根T0内、械据
一、滞止参数
1 () T 1 k 1 2
T0
k 1
三种 常用 的气 体动
()
p
(1
k
1
2
)
k k 1
p0 2 k 1
力学
函数
4 ()
(1
k
1
2
)
1 k 1
0
k 1
由绝热过程方程式有：
p0 p
0k k
代将将入式Ccp2 pkk0k
pR 1 (1
代k 入1代MT入02)kkTk1+得2vC2：p 得：
二、声速、马赫数和速度系数
【例8－2】气流的速度为 800m/s，温度为530℃， 等熵指数k=1.25，气体 常数R=322.8J/(kg·K)。 试计算当地音速与马赫 数。
气动函数计算
结果
1
结果
计算
计算
1
结果
1
结果
(, ) ⇒ :
1
结果
(, ) ⇒ :
1
弱激波结果
计算
计算
计算
强激波结果
计算
结果
计算
/ ⇒ /:
/
结果
计算
(, ) ⇒ :
结果
计算
/ ⇒ /:
/
结果
计算
(, ) ⇒ :
结果
计算
/ ⇒ /:
/
结果
计算
/ ⇒ /:
/
结果
计算
正激波：
斜激波：
/ ⇒ :
2/1
结果
计算
(, ) ⇒ /:
1
结果
计算
/ ⇒ :
2/1
结果
计算
(, ) ⇒ /:
1
结果
计算
(, ) ⇒ /:
1
结果
计算
⇒ :
结果
计算
(, ) ⇒ :
结果
计算
(, ) ⇒ :
结果
计算
⇒ ():
结果
(, ) ⇒ :
结果
计算
() ⇒ :
()
亚声速结果
计算
超声速结果
计算
激波和膨胀波关系式：
膨胀波：
朗金-雨贡纽：
⇒ :
结果
计算
/ ⇒ /:
工程流体力学 第5章 可压缩流体的一元流动
解： 由音速方程：
c1 kRT1 1.4 287 （273＋20）＝343m s
c2 kRT2 1.4 287 （273 55）＝296 m s
uu
Ma2 Ma1 Ma1
c2
u
c1
c1 c2 c2
343 296 296
16%
c1
2020年1月10日
FESTO气动中心
5.3 一元等熵流动基本关系
• 利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特 定的状态参数。
2020年1月10日
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5.3.1 滞止状态和滞止参数
•
图6.3.1 气体的滞止状态
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对滞止状态截面和任一截面列能量方程有： 滞止状态时的焓升到最大值，即总焓
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1.理想气体状态方程：
p RT
R是气体常数，空气R=287 J/(kg·K)；T是热力学温度，单位为K
2.连续性方程：
2020年1月10日
可压缩性气体在流管内的定常流动
FESTO气动中心
1u1 A1 2u2 A2
uA c
ln(uA) ln ln u ln A C
2020年1月10日
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马赫角
sin c 1
u Ma
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例题
• 例 飞机在温度 t 20℃的海平面飞行， 与在同温层 t 55℃时飞行，若速度相等，
试求后一情况的马赫数比前一情况的马 赫数大多少？
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c1 kRT1 1.4 287 （273＋20）＝343m s
c2 kRT2 1.4 287 （273 55）＝296 m s
uu
Ma2 Ma1 Ma1
c2
u
c1
c1 c2 c2
343 296 296
16%
c1
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5.3 一元等熵流动基本关系
• 利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特 定的状态参数。
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5.3.1 滞止状态和滞止参数
•
图6.3.1 气体的滞止状态
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对滞止状态截面和任一截面列能量方程有： 滞止状态时的焓升到最大值，即总焓
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1.理想气体状态方程：
p RT
R是气体常数，空气R=287 J/(kg·K)；T是热力学温度，单位为K
2.连续性方程：
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可压缩性气体在流管内的定常流动
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1u1 A1 2u2 A2
uA c
ln(uA) ln ln u ln A C
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马赫角
sin c 1
u Ma
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例题
• 例 飞机在温度 t 20℃的海平面飞行， 与在同温层 t 55℃时飞行，若速度相等，
试求后一情况的马赫数比前一情况的马 赫数大多少？
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工程热力学-第五章
对收缩喷管，压力最多只能 膨胀到临界压力，流速最大 也只能达到当地声速，故最 大质量流量为
qm ,max = Amin 2κ ⎛ 2 ⎞ ⎟ κ +1⎜ κ 1 + ⎝ ⎠
2 κ −1
p0 v0
对缩放喷管，由于最小截面的流量限制，尽管在Ma>1 时流速和截面积都在增大，但质量流量保持不变
取对数
定熵指数大于1，故气流在喷管里面压力不断 降低的同时，音速也是不断降低的
5.3 喷管的计算 一、流速计算
1.流速计算公式 能量方程式： h0 = h2 +
c
2 f2
2
= h1 +
c
2 f1
2
= h+
c
2 f
2
任意截面流速： c f = 出口截面流速： cf 2 =
2 ( h0 − h )
2 ( h0 − h2 ) = 2 ( h1 − h2 ) + c 2 f1
c f ,cr = c = kpcr vcr
5.2 促使流速改变的条件
喷管中的音速变化
c = kpv
1 ln c = ( ln κ + ln p + ln v ) 2 dc 1 ⎛ dp dv ⎞ 求微分 = ⎜ + ⎟ c 2⎝ p v ⎠ dc 1 ⎛ 1 ⎞ dp = ⎜1 − ⎟ c 2⎝ κ ⎠ p dp dv 过程方程： +κ =0 p v
pcr ??
根据临界截面的定义(Ma=1)： c f ,cr = κ pcr vcr
κ −1 ⎡ ⎤ κ pcr vcr 2 ⎢ ⎛ pcr ⎞ ⎥ 1− ⎜ = ⎟ ⎥ ⎢ κ −1 p 0 v0 p0 ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
空气动力学与热学基础——第十五讲
和 T *表示。
根据总焓和总温的定义(参看图2—3—6)，即
把 气 流 由 速 度 c1 c(i1 i) 绝 能 地 滞 止 到 零 (c2 0)，此时所对应的焓 (i2 )就是总焓，
即
i* i c2 2
或
CPT
*
CPT
c2 2
2．总温的物理意义
由于气体的总焓和总温之间只差一个作为倍数的常数
加到气流中，故总温不变。由此可知，流动损失增加时，
总能量虽然未变，但改变了气体的能量分配，使机械能
减小，气体做功本领下降，而内能增加。
当气体与外界只有机械功交换而无热量交 换时(q外 0 )，(2—3-9)式简写为
w i2 i1
或
w Cp (T2 T1 )
这就说明，当外界对气流作功(如压缩器叶 轮对气流作功)时，气流的总温(总焓)会增 加；反之，若气流对外界作功(如燃气流对 涡轮作功)时，则气流总温(总焓)就减少。
已
C P T1
c12 2
C p (T1
T2 )
w
c22 2
（2）
知
CP
kR k 1
（3）
T1 T2
(
p1 p2
)
k 1 k
将(3)式和(4)式代入(2)得
k
k
1
RT1
1
(
1 p1 )
k 1 k
w
c22 2
p2
（4）
上式右边两项分别是气体对外界作的机械功 和气体膨胀后所具有的动能。它们是由于气
也就是代表气流所具有的总能量的大小。总温越高，
表示气流的总能量越大。
利用关系式CP
k R可把总温公式写成
k 1
将音速 a
根据总焓和总温的定义(参看图2—3—6)，即
把 气 流 由 速 度 c1 c(i1 i) 绝 能 地 滞 止 到 零 (c2 0)，此时所对应的焓 (i2 )就是总焓，
即
i* i c2 2
或
CPT
*
CPT
c2 2
2．总温的物理意义
由于气体的总焓和总温之间只差一个作为倍数的常数
加到气流中，故总温不变。由此可知，流动损失增加时，
总能量虽然未变，但改变了气体的能量分配，使机械能
减小，气体做功本领下降，而内能增加。
当气体与外界只有机械功交换而无热量交 换时(q外 0 )，(2—3-9)式简写为
w i2 i1
或
w Cp (T2 T1 )
这就说明，当外界对气流作功(如压缩器叶 轮对气流作功)时，气流的总温(总焓)会增 加；反之，若气流对外界作功(如燃气流对 涡轮作功)时，则气流总温(总焓)就减少。
已
C P T1
c12 2
C p (T1
T2 )
w
c22 2
（2）
知
CP
kR k 1
（3）
T1 T2
(
p1 p2
)
k 1 k
将(3)式和(4)式代入(2)得
k
k
1
RT1
1
(
1 p1 )
k 1 k
w
c22 2
p2
（4）
上式右边两项分别是气体对外界作的机械功 和气体膨胀后所具有的动能。它们是由于气
也就是代表气流所具有的总能量的大小。总温越高，
表示气流的总能量越大。
利用关系式CP
k R可把总温公式写成
k 1
将音速 a
气体动力学总复习
激波计算公式 3)普朗特关系式 反映了激波前后的速度间的关系
斜激波:
k 1 2 V1nV2 n c Vt k 1
2 cr
正激波:
k 1 Vt 1n 2 n 1 k 1 ccr
2
VV 1 2 c
2 cr
12 1
结论：正激波，波后的气流永远是亚声速的。而斜 激波波前气流的法向分速是超声速，波后的法向分 速是亚声速。但斜激波后的合成速度可能是超声速 的，也可能是亚声速的。 2019/2/25
p1 p 2 2V22n 1V12 n
2V2 nV2t 1V1nV1t 0
将连续方程带入上式得 V1t V2t 能量方程 状态方程
V12 V22 c pT1 c pT2 2 2
2 V12 V c pT1 n c pT2 2 n 2 2
p RT
2019/2/25
20
4.激波的形成及其传播速度
激波的传播速度 VS
p2 p1 2 2 1 1
p2 p1 2 p1 p2 p1 1 p2 p1 1 c1 VS 1 1 1 2 k 1 1 2 2 1 1 p1 p2 , p p2 p1 1 上式可见 激波传播速度取决于 1 1 c1 1 1 2 k 1 p 1/p p1/ p2
k k 1
k 1 2 1 k 1
1 k 1
2019/2/25
10.流量函数 q
q
11
1 k 1
V k 1 crVcr 2
1 k 1
1
k 1 2 k 1
斜激波:
k 1 2 V1nV2 n c Vt k 1
2 cr
正激波:
k 1 Vt 1n 2 n 1 k 1 ccr
2
VV 1 2 c
2 cr
12 1
结论：正激波，波后的气流永远是亚声速的。而斜 激波波前气流的法向分速是超声速，波后的法向分 速是亚声速。但斜激波后的合成速度可能是超声速 的，也可能是亚声速的。 2019/2/25
p1 p 2 2V22n 1V12 n
2V2 nV2t 1V1nV1t 0
将连续方程带入上式得 V1t V2t 能量方程 状态方程
V12 V22 c pT1 c pT2 2 2
2 V12 V c pT1 n c pT2 2 n 2 2
p RT
2019/2/25
20
4.激波的形成及其传播速度
激波的传播速度 VS
p2 p1 2 2 1 1
p2 p1 2 p1 p2 p1 1 p2 p1 1 c1 VS 1 1 1 2 k 1 1 2 2 1 1 p1 p2 , p p2 p1 1 上式可见 激波传播速度取决于 1 1 c1 1 1 2 k 1 p 1/p p1/ p2
k k 1
k 1 2 1 k 1
1 k 1
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10.流量函数 q
q
11
1 k 1
V k 1 crVcr 2
1 k 1
1
k 1 2 k 1
知识点15
1
2
1
Ma
2
1
0
1
2
1
Ma
2
1 1
c c0
1
2
1
Ma
2
1 2
临界状态参数
T 2
T0 1
p p0
2
1
1
0
1
2 1
1
2
2 RT 2
1
1
2 2c2 2
1
1 1 Ma 2
（1 1 Ma 2）1
2
1
2
T （1 1 Ma 2）1 1 2
To
2
2ho
2. 导出 P /与Poρ/ ρ0 关系式
P P
/
RT C
h
1 2
v2
h0
T
1 2C p
v2
T0
c p R /( 1) Ma v / c c0 RT0
p / const
T0 T
c02 c2
1
1 Ma2 2
0
(1
1
Ma
2
)
1 1
2
p0
(1
1
Ma
2
)
1
p
2
说明：
临界参数与滞止参数的关系
绝能等熵流中，各临 界参数均保持不变。
高等流体力学第5讲
第五讲 气动函数及压力波一、 气流参数（一）滞止参数如果按照一定的过程将气流速度滞止到零，此时气流的参数就叫做滞止参数。
滞止状态的概念可以很形象地用图5-1来表示。
它是假想把某一点处的气流引入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。
根据一元稳定绝能流动的能量方程式2211221122h v h v +=+ 可知气体的焓值随气流速度的减小而增大。
如果把气流由速度v 1=v （焓h 1=h ）绝能地滞止到v 2=0，此时所对应的焓值h 2就称为滞止焓，用符号h *表示，则*212h h v =+如果研究的是定热比容的完全气体，h =c p T ，则式（9一22）可改p c v T T /212*+= （5－1） 式中 T *称为滞止温度，它是把气流速度绝能滞止到零时的温度。
将式(5—1)两边同除以T ，则有2*2221111/1/()12212p kR k v T T v c T v T k c -=+=+=+- 所以*211Ma 2k T T -=+（5－2） 前面得到了滞止温度与温度的比与Ma 数的关系式，下面我们来推导一下其它滞止参数的表达式。
完全气体的状态方程和滞止状态的状态方程可表示为p =ρRT 和p *=ρRT * ，两者相除则有***()()p p ρρT T =。
（a ） 对等熵流动有p */ ρ*k =常数，p / ρk =常数，两者相比，则有**()k p p ρρ=。
（b ） 由式（a ）和（b ）可得图5-1 滞止参数模型**2111()(1Ma )2k kk k k p p T T ---==+ （5－3）11**2111()(1Ma )2k k k ρρT T ---==+ （5－4）由式（9－2、3、4）可知，气流参数与其滞止参数的比值只是气流Ma 数的函数。
这种函数关系是分析和计算气体流动的基础，在气体动力学中占有非常重要地位。
这里应强调的是，在气体动力学中，引进滞止状态的概念是把它作为一个参考状态。
工程热力学第五章气体的流动和压缩
压缩过程的热力学分析 p T
2s p2 2n 2T
p2
2T 2n 2s
p1 1
p1
j m n s 一种为过程进行得极快,视为绝热过程； 一种为散热良好,视为定温过程； 实际压缩过程在这两者之间
1 v
二.理论耗功
p2 p1
wC vdp
1
2
所以wC取决于初、 终态及过程特征
1.绝热压缩
Ma 1 音速流动 Ma 1 超音速流动
§5-2 喷管中气流参数变化 和喷管截面变化的关系
什么是喷管 用于增加气体或蒸气流速的变截面短管
喷管中的流动过程
流速很快，过程很短，近似绝热
Ac qm 常数 v
ln A ln c ln v 常数
d A 喷管 dv dc A v c
v2s v2n v2T
理想压缩是 等温压缩
b）通常为多变压缩,
wCn
1<n<κ
n
T2 n v2 n
压气机所需功: wc=-wt
绝热压缩: wc=△h 任何工质,可逆不可逆 =Cp,0(T2-T1) 理想气体,可逆不可逆 =γ0/(γ0 -1)(p2v2-p1v1) 理想气体,可逆绝热 = γ0 /(γ0 -1) p1v1〔(p2/p1)(γ0 -1)/ γ0 -1〕 同上 = γ0 /(γ0 -1) RgT1〔(p2/p1)(γ0 -1)/ γ0 -1〕 同上
* c cs
1 2 p 1 1 p *
§5-3
气体流经喷管的流速和流量
临界压力比
临界截面上的气体压力pc与滞止压力p* 之比称为临界压力比，用βc 表示
五章节滞止参数与气动函数
由出口截面上总、静参数间的关系为
k
p2 p2
TT22k1
11140.031.663 97.48
得 p 2 1 . 6 6 3 p 2 1 . 6 6 3 7 . 0 1 0 5 1 1 . 6 1 0 5 P a
所以
p2 p1
11.6 12
0.97
【例5-4】若飞机在3000m高空以马赫数3的速度等速飞行 问机翼表面可能达到的最高温度是多少？假定流动是绝热的
早已液化
对于绝能流动，由上式可知 Vmax 是个常数，因此，常用极限速度作为一个参考速度
二 临界参数
绝能等熵
V
V c , Ma 1
的状态为临界状态，该状态的静参数为临界参数即
pcr,Tcr, cr,ccr,Vcr
绝能能量方程:
c2
V2 c2
V2max
k1 2 k1 2
VVmax,c0
C
M＜1
界温度
Vcr ccr 代入式
c2 V2 c2 V2max k1 2 k1 2
得
V2 max
c2
cc2r
k1
2 k1 2k1
临界声速、极限速度及滞止声速的关系式为
ccrk k 1 1V m axk2 1ck2 k1R T
利用总、静参数与马赫数之间的关系
T T
1k21Ma2
1
ppTT 1k21Ma2k1
T T
1k21Ma2
k
p p
1k21Ma2
k1
完全气体滞止前后的状态
代入
p
RT
p RT
1
ppTT 1k21Ma2k1
5.2.2关于总压的讨论
总压的物理意义
第四章 滞止参数与气动函数
p2 A2 p1 A1 Fi r 2 r 1
于是要使亚音速气流绝能 等熵地加速到超音速，可 以通过拉瓦尔管实现 有时给定气流的静压，于是引入y（λ）
q ( ) p y , W Km Ay ( ) T*
③
冲量函数
Fi ( p2 A2 p1 A1 ) W (c2 c1 ) Fi p2 A2 Wc2 ( p1 A1 Wc1 ) J Wc pA Fi J 2 J1
i i ,T T
1
2
1
2
气体做绝能流动，不论
对于总温：
绝能 流动
可逆 与否
总温 不变
从外界 吸热， 总温增 加
对外做 功，总 温减小
总压
绝能流动中，气流的总压变化规律
气体在管道中做无摩擦的可逆绝能流动
由于气体做绝能流动，可以断定
对于完全气体的等熵流动
p p RT s
a RT
对于空气
a 2 0 .0 5 T
气体的可压缩性随其状态参数的变化而变化，因而音 速也随状态参数变化。所以，音速指的是某一点在某 一瞬时的音速，即所谓当地音速
对于激波、爆炸波等强扰动波，其传播速度大于音速， 并且随着波强的增大而加快
③
滞止参数的应用
基于滞止参数的定义，在分析和计算中，气流的动能项将不做 显式出现，使方程得到简化 引入总温和总焓以后的能量方程
c2 2 c2 2 q ws i2 i2 q ws i2 i1 2 2
热量和功的交换结果，改变气流的总焓 定比热完全气体的绝能等熵流动
aA d a dc A
于是要使亚音速气流绝能 等熵地加速到超音速，可 以通过拉瓦尔管实现 有时给定气流的静压，于是引入y（λ）
q ( ) p y , W Km Ay ( ) T*
③
冲量函数
Fi ( p2 A2 p1 A1 ) W (c2 c1 ) Fi p2 A2 Wc2 ( p1 A1 Wc1 ) J Wc pA Fi J 2 J1
i i ,T T
1
2
1
2
气体做绝能流动，不论
对于总温：
绝能 流动
可逆 与否
总温 不变
从外界 吸热， 总温增 加
对外做 功，总 温减小
总压
绝能流动中，气流的总压变化规律
气体在管道中做无摩擦的可逆绝能流动
由于气体做绝能流动，可以断定
对于完全气体的等熵流动
p p RT s
a RT
对于空气
a 2 0 .0 5 T
气体的可压缩性随其状态参数的变化而变化，因而音 速也随状态参数变化。所以，音速指的是某一点在某 一瞬时的音速，即所谓当地音速
对于激波、爆炸波等强扰动波，其传播速度大于音速， 并且随着波强的增大而加快
③
滞止参数的应用
基于滞止参数的定义，在分析和计算中，气流的动能项将不做 显式出现，使方程得到简化 引入总温和总焓以后的能量方程
c2 2 c2 2 q ws i2 i2 q ws i2 i1 2 2
热量和功的交换结果，改变气流的总焓 定比热完全气体的绝能等熵流动
aA d a dc A
§8-2滞止参数、声速、马赫数16015
§8-2滞止参数、声速、马赫数16015工程流体力学多媒体课件第七章非牛顿流体运动规律与应用石油与化学工程系孟士杰主要内容第八章气体动力学基础与应用§8-1一元稳定流动基本方程§8-2滞止参数、声速、马赫数§8-3气体流动的计算§8-2滞止参数、声速、马赫数主要内容声速、滞止参数马赫数和气体动力速度系数学函数一、滞止参数滞止温度 1 T0将流动气体引入储气罐、箱等容器内，使之变为静止的气体，此时储滞止压力p0 藏容器内气体各参数称为滞止参数。
由不可压缩流的伯努利方程式，当不计位能时由绝热过程的能量方程式有 : 由滞止压力 p 和滞 0 v 2 有： i ? ? 常量 ? i20 止温度 ? v T0 ，根据气0 体状态方程式就可 i 0 为气流的总焓，它表示单 2 位质量气流所具有的总能量。
或求得滞止密度?0：当定压比热 C P 为常数时， ?v2 i = p0 ? p + p CPT，i0 = CPT0，代入上式得 : 0 22p+p ? 常数2v 2?0 ? T0 ? T + RT0 此式表明，不可压缩流 2Cp滞止密度 4 ?0当气流等熵滞止时， v 趋于零等熵滞止时， v趋于零，，则T趋于 T0 。
该式对可压缩则 p趋于 p0。
和不可压缩流均适用。
二、声速、马赫数和速度系数1声速 cdp dt时间内，扰动移动而被压缩，与此同时获得于是可以得出：在可压缩气体的流动，气流中如果有c? （a） d? 与活塞运动相同的u。
按动量定 m —n所经过的静止气体的质量扰动，它的压力、速度、密度综上所述，气体中音速 c ，并不取 t1=0 律可得 : p ? M 为：的变化，是以压力扰动波传播 ? 常数绝热过程中，决于压力和密度的绝对值，而k ? [(p+d p ) －p]A u 的。
这个压力扰动波，实质上?M=?Ac dd t t=?Acdt· 是决定于两者的比值，也就是 dp p ；代入气体状态 2 化简上式得：故是声速在气流介质中传递，就 ? ? k 在c d t 时间后这部分质量被压缩，密决定于绝对温度 T。
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☻造成扰动的来源（如击鼓时鼓膜的振动，谈话时声带的振动）
叫做扰动源。
微扰动 扰动
强扰动
气流参数变化为无限小量 dp, dT,dρ 鼓膜和声带的振动所引起的扰动即为微扰动
气流参数变化为有限量 Δp, ΔT, Δ ρ
扰动在介质中是以波的形式，向四周传播的
2.声速
微扰动波在介质中的传播速度，就是声速 ☻鼓膜压缩邻近空气的这一扰动，即所产生的微扰动波相当 于活塞在一个半无限长直管中，由于活塞速度增加，压缩邻 近气体而引起的微扰动波。该扰动波以声速C向右传播
如何定义滞止参数
定义：当气流中某点的速度按照一定过程（绝能，绝能等 熵）滞止到零时，此时的气流参数为该点的滞止参数,对应 的状态为滞止状态，用 p T 表示
PLAY
(二) 滞止焓与滞止温度 绝能流动能量方程
hV2 2
h1
V12 2
绝
能
V1 h1 V1
V1 0
对于定比热容的完全气体有
h Cp T
滞止声速 C kRT *
（三） 滞止压强和滞止密度
将气流速度绝能等熵地滞止到零时的压强和密度就称为滞
止压强和滞止密度 对完全气体，由等熵关系式
k
p p
T T
k1
得：
T T
1
k
2
1
M
2 a
k
p p
1
k
1 2
M
2 a
k 1
完全气体滞止前后的状态
代入
p
RT
p
RT
1
p p
T T
1
T T V2 2C p
h h V 2 2
可见，总温与静温
之比取决于气流的 M a
数
Cp
kR k 1
M
2 a
V2 c2
V2 kRT
T T
1
k
2
1
M
2 a
滞止状态与实际状态在 T S 图上的表示
T
点 1 代表气流被滞止之前的状
态，其静温为 T1 ，速度为 V1 T*1
点 1代表了气流的滞止状态，
影响总压的因素
影响总压变化的因素有粘性耗散、轴功与加热量
k
2
1
M
2 a
k
1
5.2.2关于总压的讨论
总压的物理意义
尽管两股气流有同样的总能量，做功能力却不相同，总压高 的做功能力大。如保持出口气流总温不变，总压降低到和出 口压强一样时，气流就不可能再膨胀降压而加速了。这样的 气流虽有同样的总温，但由于总压过低，已失去了做功能力 。所以，我们可以用气流的总压的高低来代表气流做功能力 的大小。因此气流的总压也可看作为气流的能量可以利用的 量度
其温度为 T ， 线段 11*
的长度应为 V12 2Cp
T1
能量方程简化为
q WS h2 h1 C p T2 T1
1*
P*1
V12 2CP
P1
1
s
绝能流动 完全气体有
h2 h1
T2 T1
对绝能流动的气体，气流的总焓（或总温）保持不变。
对燃烧室内，能量方程式可写成：
qபைடு நூலகம் h2 h1 C p T2 T1
一. 滞止参数 拟解决以下问题
➢ 1 为什么要定义滞止参数?它是如何定义的？ ➢ 2 每个滞止参数如何定义？有什么相同点，不同点？ ➢ 3 某一点处滞止参数的概念 ➢ 4 滞止参数在流动过程中是如何变化的？ ➢ 5 滞止参数与坐标系之间的关系
(一) 滞止参数的定义 为什么定义滞止参数 ➢ 便于气动计算 ➢ 容易测量
第五章滞止参数与气动函数
➢微扰动的传播及马赫数 ➢几个气流的参考参数 ➢气体动力学函数及其应用 ➢小结
§5.1 微扰动的传播及马赫数
➢微扰动的传播 ➢声速与马赫数
PLAY 击鼓PLAY
1. 微扰动的传播
☻物理学中曾指出，在气体所占的空间中某点的压强、密度和 温度等参数发生了改变，这种现象被称为气体受到了扰动。
C dp
d
在微扰动传播过程中，气体参数变化量都是无限小量。忽略 粘性，整个过程近似为可逆过程
由于扰动传播过程进行得非常迅速。介质来不及和外界交换 热量，这就使得此过程接近于绝热过程。
可以认为微扰动的传播过程是个等熵过程
完全气体在等熵过程中压强和密度之间的关系是
p 常数
k
ln p k ln 常数
加给气流的热量用以增大气流的总焓
对压气机、涡轮，能量方程式可写成：
Ws h2* h1* Cp T2* T1*
加给气流的机械功用以增大气流的总焓，或气流的总焓降低转 变成对外做的机械功
【例5-1】某压气机在地面试验时，测得出口气流总温为T2 310K
空气流量为 qm 50kg s 求带动压气机所需要的功率为多少？设空气
为亚声速气流
当气流速度大于当地声速时（即 M a 1 ），称其为超声速
气流
当物体上部分区域的流动为 M a 1 而其余部分上的流动 M a 1 时，则在该物体上的某点（或线）必定有 M a 1 ，这种既有
亚声速，又有超声速的混合流动叫跨声速流动
§5.2几个气流的参考参数
5.2.1气流的滞止参数
play
为分析简单，选用与扰动波一起运动的相对坐标系
X
C-dV ρ+dρ
P+dP T+dT
CρP T
沿X方向应用动量方程 pA p dpA AC C dV C
应用连续方程
AC dA C dV
dV d C
dp CdV
要具体计算声速还必须知道在微扰 动传播过程中的压强p和密度ρ之 间的关系
的定压比热容 C p 1004 J kg K
解： 对压气机，q 0
则 WS Cp T2 T1
压气机进口气流总温为：
T1 288K
WS Cp T1 T2 1004288 310 22.09 KJ kg
WS 为负值，表明是外界对气体做功
则带动压气机所需要的功率
N qm W 5022.09 1104.5KW
气体微团的运动速度与 气体微团当地的声速之 比
VdV dp d dp 等熵过程 d
M
2 a
dV V
d
在绝能等熵流动中，气流速度相对变化量所引起的密度相对变
化量与
M
2 a
成正比
几种流动
➢亚声速气流
➢超声速气流
➢跨声速流动
Ma 1 Ma 1
Ma 1 Ma 1
Ma 1
当气体速度小于当地声速时（即 M a 1 ）时，称这种气流
dp k d p
C k p kRT
p k p kRT
对于空气
R 287.06 J kg K
k 1.4
C 20.05 T m s
C k p kRT
气体的声速的大小与气体的性质和绝对温度有关
3. 马赫数 M a
气流的压缩性除了与气体的声速有关外，还与气流的速度大 小有关
Ma
V C
叫做扰动源。
微扰动 扰动
强扰动
气流参数变化为无限小量 dp, dT,dρ 鼓膜和声带的振动所引起的扰动即为微扰动
气流参数变化为有限量 Δp, ΔT, Δ ρ
扰动在介质中是以波的形式，向四周传播的
2.声速
微扰动波在介质中的传播速度，就是声速 ☻鼓膜压缩邻近空气的这一扰动，即所产生的微扰动波相当 于活塞在一个半无限长直管中，由于活塞速度增加，压缩邻 近气体而引起的微扰动波。该扰动波以声速C向右传播
如何定义滞止参数
定义：当气流中某点的速度按照一定过程（绝能，绝能等 熵）滞止到零时，此时的气流参数为该点的滞止参数,对应 的状态为滞止状态，用 p T 表示
PLAY
(二) 滞止焓与滞止温度 绝能流动能量方程
hV2 2
h1
V12 2
绝
能
V1 h1 V1
V1 0
对于定比热容的完全气体有
h Cp T
滞止声速 C kRT *
（三） 滞止压强和滞止密度
将气流速度绝能等熵地滞止到零时的压强和密度就称为滞
止压强和滞止密度 对完全气体，由等熵关系式
k
p p
T T
k1
得：
T T
1
k
2
1
M
2 a
k
p p
1
k
1 2
M
2 a
k 1
完全气体滞止前后的状态
代入
p
RT
p
RT
1
p p
T T
1
T T V2 2C p
h h V 2 2
可见，总温与静温
之比取决于气流的 M a
数
Cp
kR k 1
M
2 a
V2 c2
V2 kRT
T T
1
k
2
1
M
2 a
滞止状态与实际状态在 T S 图上的表示
T
点 1 代表气流被滞止之前的状
态，其静温为 T1 ，速度为 V1 T*1
点 1代表了气流的滞止状态，
影响总压的因素
影响总压变化的因素有粘性耗散、轴功与加热量
k
2
1
M
2 a
k
1
5.2.2关于总压的讨论
总压的物理意义
尽管两股气流有同样的总能量，做功能力却不相同，总压高 的做功能力大。如保持出口气流总温不变，总压降低到和出 口压强一样时，气流就不可能再膨胀降压而加速了。这样的 气流虽有同样的总温，但由于总压过低，已失去了做功能力 。所以，我们可以用气流的总压的高低来代表气流做功能力 的大小。因此气流的总压也可看作为气流的能量可以利用的 量度
其温度为 T ， 线段 11*
的长度应为 V12 2Cp
T1
能量方程简化为
q WS h2 h1 C p T2 T1
1*
P*1
V12 2CP
P1
1
s
绝能流动 完全气体有
h2 h1
T2 T1
对绝能流动的气体，气流的总焓（或总温）保持不变。
对燃烧室内，能量方程式可写成：
qபைடு நூலகம் h2 h1 C p T2 T1
一. 滞止参数 拟解决以下问题
➢ 1 为什么要定义滞止参数?它是如何定义的？ ➢ 2 每个滞止参数如何定义？有什么相同点，不同点？ ➢ 3 某一点处滞止参数的概念 ➢ 4 滞止参数在流动过程中是如何变化的？ ➢ 5 滞止参数与坐标系之间的关系
(一) 滞止参数的定义 为什么定义滞止参数 ➢ 便于气动计算 ➢ 容易测量
第五章滞止参数与气动函数
➢微扰动的传播及马赫数 ➢几个气流的参考参数 ➢气体动力学函数及其应用 ➢小结
§5.1 微扰动的传播及马赫数
➢微扰动的传播 ➢声速与马赫数
PLAY 击鼓PLAY
1. 微扰动的传播
☻物理学中曾指出，在气体所占的空间中某点的压强、密度和 温度等参数发生了改变，这种现象被称为气体受到了扰动。
C dp
d
在微扰动传播过程中，气体参数变化量都是无限小量。忽略 粘性，整个过程近似为可逆过程
由于扰动传播过程进行得非常迅速。介质来不及和外界交换 热量，这就使得此过程接近于绝热过程。
可以认为微扰动的传播过程是个等熵过程
完全气体在等熵过程中压强和密度之间的关系是
p 常数
k
ln p k ln 常数
加给气流的热量用以增大气流的总焓
对压气机、涡轮，能量方程式可写成：
Ws h2* h1* Cp T2* T1*
加给气流的机械功用以增大气流的总焓，或气流的总焓降低转 变成对外做的机械功
【例5-1】某压气机在地面试验时，测得出口气流总温为T2 310K
空气流量为 qm 50kg s 求带动压气机所需要的功率为多少？设空气
为亚声速气流
当气流速度大于当地声速时（即 M a 1 ），称其为超声速
气流
当物体上部分区域的流动为 M a 1 而其余部分上的流动 M a 1 时，则在该物体上的某点（或线）必定有 M a 1 ，这种既有
亚声速，又有超声速的混合流动叫跨声速流动
§5.2几个气流的参考参数
5.2.1气流的滞止参数
play
为分析简单，选用与扰动波一起运动的相对坐标系
X
C-dV ρ+dρ
P+dP T+dT
CρP T
沿X方向应用动量方程 pA p dpA AC C dV C
应用连续方程
AC dA C dV
dV d C
dp CdV
要具体计算声速还必须知道在微扰 动传播过程中的压强p和密度ρ之 间的关系
的定压比热容 C p 1004 J kg K
解： 对压气机，q 0
则 WS Cp T2 T1
压气机进口气流总温为：
T1 288K
WS Cp T1 T2 1004288 310 22.09 KJ kg
WS 为负值，表明是外界对气体做功
则带动压气机所需要的功率
N qm W 5022.09 1104.5KW
气体微团的运动速度与 气体微团当地的声速之 比
VdV dp d dp 等熵过程 d
M
2 a
dV V
d
在绝能等熵流动中，气流速度相对变化量所引起的密度相对变
化量与
M
2 a
成正比
几种流动
➢亚声速气流
➢超声速气流
➢跨声速流动
Ma 1 Ma 1
Ma 1 Ma 1
Ma 1
当气体速度小于当地声速时（即 M a 1 ）时，称这种气流
dp k d p
C k p kRT
p k p kRT
对于空气
R 287.06 J kg K
k 1.4
C 20.05 T m s
C k p kRT
气体的声速的大小与气体的性质和绝对温度有关
3. 马赫数 M a
气流的压缩性除了与气体的声速有关外，还与气流的速度大 小有关
Ma
V C