相似理论与量纲分析

第三章 汽车空气动力学之实验模拟的基础知识
在研究某些具体流动现象时，必须要考虑哪些参量在 流动中起主要作用，怎样利用流动过程的相似性来系 统地研究它们之间的函数关系，怎样在实验室简单条 件下模拟大型工程或自然中的大尺度现象。这些都是 实验流体力学首先关心的问题，也是相似理论首先研 究的问题。因此在实验研究中从一开始就需要确定实 验中主要满足的相似条件，从而可以有计划地对实验 作系统的组织和安排；其次，必须考虑相应的实验手 段，最有效地达成实验目的。
2 L
2
可以写成：
Fy
yL v
2 y
2 y

Fm
m Lm vm
2 2
3.1 流动的力学相似
显然，
F
L2 v 2
为一个无量纲数，称为牛顿数，用Ne表示。即
Ne F
L2 v 2
于是有： ( Ne) ( Ne) y m
就是说，如果两个几何相似的流动现象达成动力相似，则它 们的牛顿数必相等；反之如果两个流动现象的牛顿数相等， 那么它们之间是动力相似的。这个最基本的动力相似条件称 为牛顿相似定律。
3.2模型相似准则
在地面上，原型水流与模型水流的重力加速度可认为是一样 1 的，即 g y g m ，即 g ，因此可有水流比尺：
0.5 v L
或
v y vm L
0.5
可以得到原型流量与模型流量之间的关系：
Q
Qy Qm Ay v y Am vm
2.5
或者
L L L
t
ty tm
const .
3.1 流动的力学相似
于是得到速度比尺、加速度比尺与模型比 尺、时间比尺的关系式：
Ly Vy Vm ty Lm tm Ly Lm 1 ty tm
V




L t
const .
Ly
a
ay am

ty tm
2
Lm
2

Ly

1
2 2

L t
2
const .
二、运动相似
运动相似系指两个流动现象的运动状态与运动轨迹呈几 何相似；或者说，原型流动与模型流动中对应点处的速 度向量是相互平行且大小互成比例，即速度比尺为：
V
vy vm const.
两个流动现象达成运动相似时，它们之间相应质点的 运动轨迹也达成几何相似，并且通过相应线段的时间也成
固定的比例。即时间比尺为：
3.2 模型相似准则
牛顿相似定律是判别两个流动动力相似的一般规律。牛顿 相似准则中的外力F是作用于流体的所有外力之和。这个相似 对作用于流体的各种不同性质的力是普遍适用的。在自然界， 作用于流体的外力是多种多样的，例如重力，阻力，弹性力， 压力，表面张力等。一般情况下，某一流动现象发生的原因， 不外是上述5种力的某几种同时作用下发生的。动力相似中应 该包括所有外力相似，而实际上同时满足所有外力是不可能 的。对于某个具体的流动来说，总有一种和两种外力居于支 配地位，它们决定着流体的运动状态。因此在模型实验中， 只要使其中起主导作用的外力满足相似条件，就能基本上反 映出流体的运动状态。这种只考虑某一种外力的动力相似条 件称为相似准则和特种模型定律。
上式表明，如果两个几何相似的水流粘 滞阻力作用下达成动力相似，则它们的雷诺
数必相等；反之，如果两个水流的雷诺数相
等，则这两个水流一定在粘滞阻力作用下动 力相似。对于气流运动，结论也是相同的。 这就是粘滞阻力相似准则，又称雷诺相似准 则。
3.2模型相似准则 三、压力相似准则（欧拉相似准则） 如果两个相似流动中起主导作用的力是压力，作用于原 型和模型的相应部分的压力分别以Py和Pm表示，由于P=pA因 而压力比尺： Py p y Ay 2
const .
3.1 流动的力学相似
显然，要使模型中的流动与原型相似， 除了上述的几何相似、运动相似和动力 相似（热相似）外，还必须使两个流动 的边界条件和起始条件相似。上述的这 种物理相似称为流动的力学相似。
3.1 流动的力学相似
流体的运动微分方程式，实际上就是惯性力、压力、弹
性力、粘性力以及其他外力的平衡关系式。在两个力学相似 的流动中，对应质点上这些力应当方向一致，大小互成比例。 因此，力学相似的两个流动具有相同的微分方程式。反之， 如果两个流动具有相同的运动微分方程式，则它们将具有运 动相似和动力相似的性质，而几何相似实质上是包含在动力 相似和运动相似之中的。因而，如果两个流动满足同一运动 微分方程，并且具有相似的边界条件和起始条件，那么，这 两个流动就是力学相似的。
2 0.5
2.5
Q y Qm L
3.2模型相似准则
二、阻力相似准则 （一）层流阻力相似准则（雷诺相似准则） 如果两个水流中起主导作用的是阻力，而阻力包括粘滞阻 力和紊动阻力两部分。先讨论仅有粘滞阻力的层流运动的
相似条件。粘滞阻力的表达式为：
F A dv dy
以动力粘性系数 代入上式，则粘滞阻力的比尺为：
3.1 流动的力学相似
由于经济上的考虑和技术上的限制，对实物进行
实验会遇到很大的困难。因此很多问题就是在实验室 条件下进行模型研究的。 对于模型实验研究，必须解决如何制造模型，如 何安排实验，以及如何把模型实验的结果换算到实物 上去等一系列问题。流动的力学相似理论，对于如何 布置实验以得到正确的结果，可以提供指示或答案,而 总结实验结果也只是对于力学相似的流动才有可能。
3.1 流动的力学相似
在流体力学的范畴内，构成力学相似的两个流动，
通常一个指实际的流动现象，称为原型；另一个是在 实验室中进行重演或者预演的流动现象，称为模型。 所谓力学相似，系指两个流动系统中相应点处的各种 物理量彼此之间互相平行（指向量物理量，如速度与 力等），并且互相成一定的比例（指向量或标量物理 量的数值，标量如压力与时间等）。对于一般的流体 运动，力学相似要求满足下面几个相似：
2
W
Wy Wm
L const.
3
3.1 流动的力学相似
从理论上讲，最好能做到所有模型尺寸全按一个比尺 缩小或放大，这种长、宽、高比尺均一致的模型称为正 态模型。在流体力学模型实验中，通常遇到的是这类模 型。在有的情况下，不能做到这一点，例如进行天然河 道流动的模型实验，由于天然河道的长度比宽度和水深 要大得多，如果按照同一比例尺缩制模型，势必造成水 深太小甚至改变了模型中水流的性质；同样，对于列车、 桥梁等长度特大结构的空气动力实验，就要分别采用不 同的长度比尺、宽度比尺和高度比尺，因而这种模型就 改变了原有的形状。这种比尺不一样的模型称为变态模 型。
因而有：
F
Fy Fm
yVy a y mVm am
L a
3
3.1 流动的力学相似
而加速度比尺可写成
a
于是可得到力的比尺：
v t

L
2 t
const.
F
3 L
L t2
L 2 2 L v t
F
F y F m
y y Ay v y Lm m m Am vm Ly
L v
3.2模型相似准则
在粘滞阻力作用下原型与模型水流相似，同样必须满足 牛顿相似定律，由于作用力中以粘滞阻力为主，于是有：
L v L v
3.2模型相似准则
在水力学中，根据重力相似准则设计的模型实验有堰
流、孔口管嘴泄流以及流过水工建筑物等以重力为主导 的水流运动。对于波浪运动、船舶和水上飞机浮筒等水 上运动物体的波浪阻力问题，也必须根据重力相似准则 设计模型。在空气动力学中，对于具有加速度的运动物 体，例如飞机的机动飞行，设计模型实验也要满足重力 相似准则，才能保证机动飞行姿态相似。
3.1 流动的力学相似
四、热相似 热相似的条件是：对于几何相似的流场，还必须要温度场 相似和热流量相似．即要求对应点的温度成比例，并且，在 对应点上，通过其相互对应的微元上的热流量方向相同、大
小成比例．若我们用θ麦示温度．用q表示热流量，则有：

q
y m
qy qm
const .
第三章 汽车空气动力学之实验模拟的 基础知识
实验研究包括现场实验(如飞行试验、水利、环境 或化工中的现场测量)和实验室模拟两种方法。现场实 验耗费人力，是在实验研究未能充分发展时不得已的
办法，对于某些大型项目和设施来说常常是对全部研
究工作最后检验以及对实验室模拟中忽略和不足之处 的必要补充。实验室模拟则是利用自然现象中惊人的 相似性在实验室较简单设施中作精细的观察测量，从 而使人们的认识过程产生新的飞跃。
3.2模型相似准则
上式可以简化为： 或者： 而
v
2
v
2
v
2 y

vm g m Lm
2
g L
1
g y Ly
gL 为一无量纲的纯数，代表惯性力与重力的比值，用Fr表
示，称为佛汝德数。即：
则有
Fr
v
2
gL
( Fr ) y ( Fr ) m
上式表明，如果两个几何相似的水流在重力作用下达成动力 相似，则它们的佛汝德数必相等，反之，如果两个水流的佛 汝德数相等，则这两个水流一定是在重力作用下动力相似的。 这就是重力相似准则，又称佛汝德相似准则。
3.1 流动的力学相似
一、几何相似
模型的边界形状和原型的边界形状相似，这就
是几何相似。设以Ly 代表原型的特征长度，Lm 代表模型的特征长度，以δL代表原型长度与模 型长度之比值，简称模型比尺，即：
L
Ly Lm
const .
3.1 流动的力学相似
显然，面积比和体积比分别为：
A
Ay Am L const .
3.1 流动的力学相似
模型与原型表面粗糙度的相似，也是属于几何相似 的范畴。严格来讲，要实现这种相似是非常困难的。因 此，一般情况下是不考虑粗糙度相似的。只有在流体阻 力实验、附面层实验等情况下才考虑表面粗糙度的相似， 此时只要使模型与原型的平均相对粗糙度相等即可，这
是可以实现的。
3.1 流动的力学相似
Ny
Qm
dm Nm
Qy d Ny
3 y

Qm d Nm
3 m
const .
3.1 流动的力学相似
三、动力相似 动力相似系指原型流动和模型流动中对应点作用着同样性质的 外力，并且互相平行、大小互成比例，即力的比尺为：
F
由牛顿第二定律得知：
Fy Fm
c百度文库nst .
F ma Va
Lm t y tm
3.1 流动的力学相似
在流体机械中 ，对应的转
1 速比尺和流量比尺分别 N t const . Nm 为（式中dy 和dm分别为 3 Qy 叶轮原型与模型的直径， L Q const . Ny和Nm分别为它们的转 Qm t 3 速。 ）： Qy dyNy 3 Q L N 3 const .
3.2模型相似准则
一、重力相似准则（佛汝德相似准则） 如果两个相似水流中起主导作用的是重力，作用于原型和模 型的相应部分的重力分别以Gy和Gm表示，由于 G gW ，因 而重力的比尺为：
G
Gy Gm
y g yW y m g mWm
g L
3
要使在重力作用下原型与模型相似，同样必须满足动力相似的 一般规律，而由于作用力F中仅考虑重力G，因而F=G，即。 2 2 3 于是得到： L v g L
3.2模型相似准则
在水流状态中，急流跟缓流的性质很不一样。缓流中干
扰微波可以往上游传播，急流则不能。这两种水流的定量 界限就是用佛汝德数Fr 来表示的。佛汝德数综合反映了水 流运动的惯性作用和重力作用。当惯性力作用大于重力作 用时，Fr>1，水流的性质为急流，当重力作用大于惯性力 作用时，Fr<1，水流的性质为缓流。两个作用力相等时， Fr=1，水流处于临界状态。因此要保证原型与模型水流的 相似，在重力作用下的水流就是要保证两个水流同是急流 或缓流，而且在缓急程度上必须相等。
2 2
简化后得到：
v L
1
也可写成：
或
v y Ly vm Lm
y v y Ly m vm Lm
作为一个无量纲的数，代表惯性力与层流粘滞阻力的比值， y m y m
用Re表示，称为雷诺数。即：
所以有：
(Re) y (Re) m
Re vL


vL
3.2模型相似准则