振动理论肆

i i
yi 2 (t )
1 M i pi 1 i
2

t
0
e i pi (t ) sin[ 1 i pi (t )]qi ( )d
2
则，系统总响应：{x(t )} yi (t ){X i }
对于有阻尼系统，其自由振动响应部分很快衰减，故通常只 考虑其稳态响应部分。 上述通过模态坐标变换，求出解耦后各个模态坐标的响应 (自由响应或强迫响应)然后根据坐标变换关系(线性迭加式)求 得原来物理坐标下响应的方法，叫做模态迭加法. 多自由度线性系统的振动
求逆，得 稳态响应 的振幅：
b1 1 k22 2 m22 k12 2 m12 F1 2 2 2 b2 ( ) k21 m21 k11 m11 F2
反共振现象与动力吸振器
2
其中
2 2 k m k m12 2 11 11 12 ( ) k21 2 m21 k22 2 m22
5 固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵具有加权正交性。
多自由度线性系统的振动
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无阻尼多自由度系统的谐响应分析与动力吸振原理
简谐激励下，两自由度无阻尼系统强迫振动方程
1 k11 k12 x1 F1 x m11 m12 sin t m 2 k21 k22 x2 F2 x 21 m22
那么当激励频率为
p
m1 k1/2
F1sinpt k1/2
F1sinpt k1/2
m1 k2 k1/2 m2
k1 m1
质量m1的振动幅值b1=0。这种现象称为动力吸振，附加的质 量弹簧系统(m2，k2)称为动力吸振器。 反共振现象与动力吸振器
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无阻尼动力吸振器原理分析 带有附加子系统后，振动方程为：
多自由度线性系统的振动
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响应求解：对于解耦后得到各模态坐标的微分方程，响应由 两部分组成： yi (t ) yi1 (t ) yi 2 (t ) i 0 i pi yi 0 y 2 2 p t yi1 (t ) e [ yi 0 cos( 1 i pi t ) sin( 1 i pi t )] 2 1 i pi
若仅在m1上作用有激振力 F1sinωt， F2＝0 得各自由度振幅：
b1 1 k22 2 m22 F1 2 2 b2 ( ) k21 m21
当外激励频率
pa
k 22 m22
时
b1等于零，即质点m1此时不振动，仅质点m2振动。 工程上广泛应用的动力吸振器就是根据反共振发生原理， 在原来(主)振动系统上设计一个附加的系统(附加系统)来抑 制原系统的振动。 反共振现象与动力吸振器
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k 2 k2 x1 F1 sin pt k2 x2 0
F1sinpt m1
x1 b1 设稳态响应为： sin pt x2 b2
x(t ) h(t ) f ( )d h( ) f (t )d
0 0 t t
多自由度线性系统的振动
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对于线性无阻尼系统自由振动 已经证明刚度阵和质量阵可以通过利用固有振型的正交性来 实现对角化，即进行解耦 对于线性无阻尼系统强迫振动 它与自由振动的区别在于多了一个激励力项，模态坐标变换 后，激励力向量前乘一个模态矩阵的转置仍然是一个列向量，得 到对应的模态外激力向量，不影响方程的解耦。 对于线性阻尼系统的自由振动和强迫振动 问题的关键在于阻尼阵是否可以解耦，如果可以解耦，则可 以应用模态迭加法进行求解。
多自由度线性系统的振动
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比例阻尼系统的实模态分析方法
有阻尼系统自由振动微分方程为
} [c]{x } [k ]{x} {0} [m]{ x
按照同样的方法，进行模态坐标变换
{x(t )} A{ y(t )}
T T T [ A ] [ m ][ A ]{ y } [ A ] [ c ][ A ]{ y } [ A ] [k ][ A]{y} {0} 得：
sin 1 i 2 pit ]
最后，由坐标变换式求得系统响应{x}=A{y}
比例阻尼系统受迫振动响应模态迭加法
受迫振动微分方程为： [m]{ } [c]{x } [k ]{x} { f (t )} x 引入模态坐标变换 {x(t )} [ A]{y(t )} 这里仍假定系统为比例阻尼系统，即 [c] [m] [k ] 则有
多自由度无阻尼系统的受迫振动微分方程一般形式为
(t ) Kx (t ) f (t ) x M ( 0) x 0 x ( 0) x 0 , x
时域响应分析
讨论线性系统的强迫响应的稳态部分，
(t ) Kx (t ) f (t ) x M (0) 0 x (0) 0, x
r (t ) K r qr (t ) jr (t ) M r q r 1,2,, N r (0) 0 qr (0) 0, q
N N r 1
jr q r (t ) sin r t M r r
φr jr M rr
r 1
则系统的物理坐标响应为： x(t ) φr qr
多自由度线性系统的振动
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例5.3.6：如图所示系统，设 m=1kg，c=6 N/(m/s)，k=100 N/m，在左边质量上作用有 f1=δ(t)。求系统零初始条件下的 响应(固有振型按模态质量为1 归一化)。解： 物理坐标运动微分方程
k c
x1
m
x2 4k
m
k c
f1
二自由度振动系统
1 6 0 x 1 500 400 x1 (t ) x 1 0 0 1 x x x 0 6 400 500 0 2 2 2
动力吸振器的多种具体形式
输电缆上的 动力吸振器
反共振现象与动力吸振器
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• 世界第一座动力吸振器外露于整体设计的大 楼，重达660吨，在85、86、与88楼可以看 到这个带有装饰且外型像大圆球的阻尼器， 其直径5.5米。
上海环球金融中心90层装有两台
“定风珠”
反共振现象与动力吸振器
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无阻尼多自由度系统的一般强迫振动分析
引入模态坐标变换： x (t ) Φq(t )
T M r q r (t ) K r qr (t ) φr f (t ) r 1,2,, N r (0) 0 qr (0) 0, q
多自由度线性系统的振动
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现在考虑第j个自由度受单位脉冲后，第r阶模态坐标响应：
Ci {X i }T [c]{X i }
{X i }T [c]{X j } 0
代入振动方程并前乘[A]T，使坐标解耦，得到 (i 1,2,3.N) i Ci y i Ki yi qi (t ) Mi y
T 其中： qi {X i } { f (t )} 称为(广义)模态激励
sin r t
以上得到的实际是单位脉冲响应矩阵的第j列，如果逐次在 每个自由度上施加单位脉冲，则可以得到N列单位脉冲响应， 将它们写成矩阵的形式，则可以得到多自由度系统的单位脉 冲响应矩阵，即
T φr φr h(t ) sin r t r 1 M rr N
有了单位脉冲矩阵，零初始条件下系统受任意激励后的响应为：
其中模态阻尼率 i Ci / 2 pi M i Ci / 2 M i Ki (i 1,2,3.N) 参照单自由度系统自由振动响应求解方法，可以得到 多自由度线性系统的振动
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yi (t ) e
i pi t
[ yi 0 cos 1 i pit
2
i 0 i pi yi 0 y 1 i 2 pi
实模态分析小结
1 固有振型是用向量形式所描述的系统作固有振动时各坐 标位移之间的比例关系。 2 任一固有振型与非零实数相乘后仍然是系统的固有振型， 为了规范表示，通常要做固有振型的归一化处理。 3 要使系统发生纯固有模态振动，必须满足特定的运动初 始条件。系统发生固有模态振动时，各质量点总是呈现同 频率的简谐振动，但可能是同相，也可能是反相。 4 当初始条件不满足固有(纯)模态振动要求时，系统的自 由振动将是固有模态振动的线性组合。
求系统无阻尼固有频率和相应的固有振型
p1=10 (rad/s) p2=30 (rad/s)
1 B1 1
1 1 1 A 2 1 1
x1
主系统的振幅为： k2 p 2 m2 b1 F1 2 ( p )
附加系统振幅为：
b2 k2 F1 2 ( p )
k1/2
k2 k /2 1
m2 x2
2 这里 ( p 2 ) (k1 k2 m1 p 2 )(k2 m2 p 2 ) k2
因此，只要使
p
k2 pa m2
好象外激励反相直接作 用到m2上一样
吸振器弹簧k2对主系统施加的作用力
ຫໍສະໝຸດ Baidu
F ' k2 ( x1 x2 ) k2b2 sin pt F1 sin pt
该力与主系统受到的外激励平衡，从而消除了主系统的振动。 反共振现象与动力吸振器
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为了在较宽的工作频率范围内减小主系统的振动，可以设 计有阻尼动力吸振器。
现讨论其稳态响应，简谐激励下，设稳态响应为：
x1 b1 sin t x2 b2
k11 2 m11 k12 2 m12 b1 F1 代入方程得： 2 2 k21 m21 k22 m22 b2 F2
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N
i 1
模态迭加法计算多自由度系统振动响应的一般步骤
1. 选取物理坐标系，确定系统的自由度数； 2. 建立系统的振动微分方程； 3. 求解系统无阻尼固有频率和相应的固有模态(归一化)， 构建模态矩阵 [A]； 4. 引入模态坐标，进行模态坐标变换，使振动方程解耦； 5. 计算模态质量、模态阻尼、模态刚度以及模态阻尼率； 6. 计算对应于各模态坐标的初始条件和模态激励； 7. 独立计算模态坐标的响应； 8. 由坐标变换得到系统物理坐标的响应。
对于比例阻尼(经典阻尼)系统， [c] [m] [k ]
则
[ A]T [c][A] [ A]T [m][A] [ A]T [k ][A] [M i ] [ Ki ] [Ci ]
则原方程解耦为
i 2 i pi y i pi2 yi 0 y
就可使主系统振幅 b1 0
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反共振现象与动力吸振器
当主系统上附加动力吸振器后消除了主系统的振动，但动 力吸振器(附加子系统)本身的振幅不为零。 此时
2 2 2 2 ( p a ) (k1 k 2 m1 pa )(k 2 m2 pa ) k2 2 k 2
k2 F1 b2 F 2 1 k2 k2
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动力吸振现象
k1 m1 若外激励频率为 p pn ,则系统将发生共振，振幅会不断增大。 在此系统上再附加一个由质量m2弹簧系数k2组成的子系统，则 只要使子系统的设计参数满足： p2 n
一个单自由度振动系统(m1，k1)，受简 谐激励 F1sinpt的作用，系统固有频率为:
k2 k1 m2 m1