巧用正四面体的_补形正方体_解题_曹开清

在■AOB 中 , cos ∠AOB =
3 2×1 ×1
=-13 , ∠AOB =arccos (-13 ), 故答案选(C). 例 5 正四面体 ABCD 的棱长为 a , E 、F 分
别是 AD 、BC 的中点 , 求(1)异面直线 EF 与 CD 所成的角 ;(2)异面直线 EF 和 CD 的距离 .
类比引路方向明确 , 举一反三本质看透 .
第 3 感 :见异思迁 , 为时尚早
到了题(4), 小小忽然“ 见异思迁” 了 , 不再 用待定系 数法 构 造“ 等 比数 列” 了 , 而 是 转 而 用 两 边 同 时 除 以
2n +1
,
得到a2nn
+1 +1
-a2nn
=
1 2
3 2
n
, 再用叠 加法完成 .是不
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中学生数学 · 2010 年 3 月上 · 第 389 期(高中)
解 如图 4 , 根据
题意 画 出 正四 面 体 和
定的补形正方 体 .容易得到 , 正四面体的补形
其补形正方体的棱长为 1 , 对角线长为 3 ;由性
质(2)知
,
正四面体的外接球半径为
3 2
,
故表面
正方体有如下性质 : (1)正四面体的体积等于其补形正方体体
积为 4π(23)2 =3π.
积的
1 3
;
(2)正四面体的外接球和其补形正方体的
外接球是同一个球 ;
是前面(2)(3)两 题的 方法做 不了 呢? 起码要 尝试 一下
吧 ! 也许小小 尝试过 了但没 有成功 ? 小小 没做任 何交
代 , 就见异思迁了 , 我读时 感到有点小小的“ 郁闷” , 深怕
因为过早见异思迁 , 以致错过一次很好的探究机会 ! 解 设 an+1 +λ· 3n +1 =2(an +λ· 3n), 整理为 an+1 =2an -λ· 3n , 对照已知条件 an +1 =2an +3n 得 λ=-1 . ∴ an -3n =(a1 -31)· 2n-1 , ∴ an =3n -2n .也成啊 ! 第 4 感 :成功之母 , 虽败犹荣 对题(5), 让我 们尝试 故技重演 :设 an +1 +λ· 2n +1
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. 解 因为正四面体
图 2
(C)arcco s(-13 ) (D)arccos(-14 ) 解 如图 3 , 正四面 体 ABCD 的 外 接 球 半 径为 1 , 由性质(2)知 , 其 补形正方体的外接球直
径为 2 , 棱长为 2 , 面对 3
图 3
角线长为 AB =
8 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
2
12 +12 - 8
第 1 感 :秀枝一株 , 嫁接成林 原文问题串 : (1)已知数列{an}中 , a1 =1 , an+1 =2an , 求通 项公 式 an ; (2)已知数列{an}中 , a1 =1 , an +1 =2an +1, 求 an ; (3)已知数列{an}中 , a1 =1 , an +1 =2an +n, 求 an ; (4)已知数列{an}中 , a1 =1, an +1 =2an +3n , 求 an ; (5)已知数列{an}中 , a1 =1, an +1 =2an +2n , 求 an . [ 注 :第(4)问本来是原文 末尾的 思考题 , 笔者 把它 调到这里 , 是因 为从(3)到(4)再到(5), 衔接 过渡 较合 理 , 便于启发学生 思维 .因 此 , 在 后面 的“ 第 3 感” 的行 文中 , 将跟原文略有出入 , 但不改变原文精神 .] 从课本例 题习 题 出 发 , 以 题 组 形式 , 进 行变 式 教 学 , 无论从方法还是内容上都 起着“ 固体 拓新” 的作 用 , 对于完善知识结构和认知结构 , 培养提 出问题和解决问 题的能力以及 创新能 力 , 都 是大有 裨益的 ! 其效 果, 那 是整天疲于奔命打乱仗式的题海战术所无法比拟的 ! 第 2 感 :类比引路 , 举一反三 题(1)是源头 , 启发题(2)用待定 系数法 :设 an +1 + λ=2(an +λ), 可转化 为等比 数列 ;从题(2)和题(3), 常 数 1 变 成一次函数 n , 解答时 仍可 用待定 系数 法 , 相应 地 , 把 an+1 +λ=2(an +λ)改为 an+1 +k(n +1)+p = 2(an +kn +p),[ 注意体会为什么 等号左边 第二项 要写 成 k(n+1)] , 仍可转化为等比数列 !
面体的体积等于
.
解 因为球直径为 2R , 由性质(2)知 , 正四
面体补形正方体的棱长为 2 R , 体积为 8 R3 ,
3
33
再由性质(1)知
,
正四面体的
体积等
于
1 3
· 3
8
3
R3
=8273 R3 . 例 2 图 2 是一体
积为 72 的正四面体 , 连 结两 个面的中 心 E 、F , 则 线 段 EF 的 长 是
=2(an +λ· 2n), 整理为 an +1 =2an +2λ· 2n -λ· 2n+1 , 得 an+1 =2an , 这与已知不符 , λ求不出来 , 不灵 !
不要害怕失败 , 失败是成功 之母呀 , 我 们再稍做 调 整 ! 既然设待定常数不成 , 何不改设待定函数 ? 试试 !
解 设 an+1 +φ(n+1)· 2n =2[ an +φ(n)· 2n -1] , 整理为 an +1 =2an +[ φ(n)-φ(n +1)] · 2n , 对照 an+1 =2an +2n , 得 φ(n +1)-φ(n)=-1 . 取 φ(n)= -(n -1), 得 an -(n -1)· 2n-1 =[ a1 -(1-1)· 20] · 2n -1
(3)正四面体的棱长等于其补形正方体棱
例 4 若正四面体 ABCD 的四个顶点在 半径为 1 的球面上 , 则 A 、B 两点间的球面距离 为( ).
(A)arccos(- 33) (B)arccos(-36)
长的 2倍 .
二 、正四面体的补形正方体在解题中的应用
例 1 已知球的半径为 R , 则其内接正四
由性质(3)知 ,
正方体棱长为
2 2
a
,
故所求距离
思 路
等于 42a .
与
方 通过上述例子我们看到 :利用正四面体的
法 补形正方体解题简捷而准确 , 是解决正四面体
问题行之有效的方法 .
(责审 张思明)
《小小求通项》读后感
广东省广州市华南新城碧泉居 11 —701(511442) 百 友
今 读本刊 2009 年第 4 期(上)仓 万林 、徐波老 师的 《 小小求通项》 , 很受 启发 , 有 几个 感想 , 写出 来看 看同 学们有无同感 ?
中学生数学 · 2010 年 3 月上 · 第 389 期(高中)
巧用正四面体的“补形正方体”解题
思 路
江苏 省泰 州市 朱庄 中学(225 300) 曹开 清
与 一 、正四面体的补形正方体的定义及其性质 方 在一个正方体的相
对两个面上 , 取两条不共
法 面的面对角线 , 再将这两
的体积为 72 , 由性质(1)知 , 其补形正方体的体 积为 216 , 从而棱长为 6 .又由性质(3)知 , 正四面
它的补形正方体 .
(1) 直 线 EF 与 CD 所成的角为 45°, 因
为 EF 和正方体竖直方 向的棱平行 ! 答案可
图 4
谓脱口而 出 .但是 如果仅 画出 正四 面体 ABCD , 解答就困难了 .
(2)异面直线 EF 与 CD 的距离 等于 EF
到侧面 CD 的距离 , 由于正四面体的棱长为 a ,
体的棱长为 6 2 , 故 EF =23 (12 · 6 2)=2 2 .
条对角 线的四 个端点 两
例 3 一个正四面体的棱长为 2 , 四个顶
两相连 , 便得到一个正四
点在同一球面上 , 则此球的表面积为
.
面体 , 我们称正方体为所
图 1
解 正四面体的棱长为 2 , 由性质(1)知 ,
得正四面体的补形正方体(如图 1). 显然 , 任意一个正四面体都有一个大小一